Задачи регрессионного анализа

1. Установление формы зависимости между переменными,

2. Оценка модельной функции (модельного уравнения) регрессии,

3. Определение неизвестных (прогнозных) значений зависимой переменной.

Иногда в практике экономических исследований, имеющиеся данные нельзя считать выборкой из многомерной нормально распределенной совокупности.

Если результативный признак (Y) подчиняется нормальному закону распределения, а факторные признаки (X) – произвольному закону распределения, для аналитического выражения формы зависимости используют уравнение регрессии.

Замечание

Если для выражения формы корреляционной связи подходит одновременно несколько функций (прямая, полиномы различных порядков, гипербола, степенная и т.п.) желательно дать окончательное обоснование выбора функции для выражения формы связи на альтернативной основе.

Наиболее простой в технике расчетов является линейная форма регрессии.

Линейная парная регрессия

Уравнение парной регрессии имеет вид:

Замечание

Не следует ожидать получения точного соотношения между исследуемыми экономическими показателями. В экономической теории это проблема решается путём аппроксимацией, а в статистическом анализе, данный факт неточности описывается включением в модель случайным остаточным членом:

где y - зависимая переменная, состоящая из двух составляющих

a + bx – объясняющая составляющая,

где a - постоянная величина (или свободный член уравнения), показывает значение результативного признака y при равенстве нулю факторного.

b - коэффициент регрессии, определяющий наклон линии, вдоль которой рассеяны данные наблюдений, показывает на какую величину в среднем изменится y, если переменную x увеличить на единицу измерения.

Если b >0 - переменные Х и Y положительно коррелированные,

Если b < 0 – отрицательно коррелированны.

- независимая случайная величина. Она отражает тот факт, что изменение Y будет неточно описываться изменением фактора Х, поскольку в реальной ситуации всегда буду присутствовать другие факторы, неучтенные в данной модели.

Для расчета неизвестных параметров a и b пользуется метод наименьших квадратов (МНК). Неизвестные параметры a и b выбираются таким образом, чтобы сумма квадратов отклонений эмпирических значений y_i от значений , найденных по уравнению регрессии была минимальной:

.

На основании необходимого условия экстремума функции двух переменных Q(a,b) приравниваем к нулю ее частные производные:

.

Последняя система является системой двух линейных уравнений с двумя неизвестными.

Разделив обе части уравнений на n и преобразовав их, получим:

или

.

Коэффициент эластичности

Наряду с коэффициентом регрессии в экономическом анализе часто используется показатель эластичности измерения результативного признака относительно факторного.

Коэффициент эластичности показывает, на сколько процентов изменяется в среднем результативный признак у при изменении факторного признака х на 1%.

Э =