Нахождение уравнений регрессии для других элементарных функций

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ ОБРАБОТКИ РЕЗУЛЬТАТОВ ЭКСПЕРИМЕНТОВ

 

1. МЕТОД НАИМЕНЬШИХ КВАДРАТОВ

 

Пусть в результате экспериментов (например, измерений) найдены значений аргумента и соответствующих им значений функции :

Таблица 1

			...
			...

 

Найти формулу, выражающую эту зависимость аналитически и принимающую значения, близкие к табличным.

Одним из распространенных методов нахождения приближающей аналитической функции является метод наименьших квадратов, который формулируется следующим образом: для функции , заданной таблицей, найти функцию определенного вида, такую, чтобы сумма квадратов расстояний между точками и была наименьшей:

 

(1.1)

Уравнение называется уравнением регрессии на .

На рис. 1 показана приближающая функция для заданных табличных значений (они изображены точками). Из рисунка видно, что приближающая функция представляет гладкую кривую

 

 

Рассмотрим метод нахождения приближающей функции на примере приближающей функции с параметрами:

(1.2)

Пусть , . Сумма квадратов разностей соответствующих значений функций и имеет вид

(1.3)

Эта сумма является функцией от параметров Задача сводится к отысканию минимума функции . Используем условие экстремума:

, , …, ,

или

(1.4)

………………………………………………………

Решив эту систему уравнений относительно неизвестных , найдем функцию .

Значения разностей

(1.5)

называются отклонениями экспериментальных значений от вычисленных по формуле (1.2). Для найденной приближающей функции сумма квадратов отклонений

(1.6)

в соответствии с принципом наименьших квадратов должна быть наименьшей.

 

Формулы для функции с параметрами будем использовать для приближающих функций, содержащих два и три параметра.

 

Приближающие функции с двумя параметрами

 

В качестве приближающих функций в зависимости от характера экспериментальных данных часто используют следующие функции:

 

1) 5)

 

2) 6)

 

3) 7)

 

4) 8)

 

Линейная и квадратичная регрессия

 

Рассмотрим линейную регрессию

 

(2.1)

 

Найдем частные производные по параметрам

 

,

 

Составим систему уравнений вида (1.4)

 

,

 

После алгебраических преобразований перепишем систему в виде

 

 

Введем обозначения

 

, , (2.2)

,

 

Тогда последняя система примет вид

 

(2.3)

 

Найдем параметры и , решив систему уравнений (2.3)

 

(2.4)

 

Нахождение уравнений регрессии для других элементарных функций

 

Степенная функция (геометрическая регрессия)

 

(2.5)

 

Полагая, что и , прологарифмируем формулу (2.5)

 

(2.6)

 

Введем новую функцию , новую переменную и новые постоянные и

, (2.7)

, (2.8)

Введенная функцию запишется в виде:

 

(2.9)

 

т.е. задача свелась к отысканию приближающей функции в виде линейной.

 

Для нахождения степенной приближающей функции следует

1) пересчитать исходную таблицу и в новую таблицу значений и по формулам,

2) для новой таблицы значений и найти постоянные и ,

3) после определения постоянных и (см. п.1.1), найдем постоянные и по формулам

 

, (2.10)

 

Показательная функция

(2.11)

Логарифмируя показательную функцию (2.11), получим

 

(2.12)

 

Приняв обозначения , , перепишем (2.12) в виде

 

(2. 13)

 

где , а и определяются по формулам , .

 

Для нахождения показательной приближающей функции следует

1) заменить в исходной таблице , значения на ,

2) для новой таблицы значений и найти постоянные и ,

3) после определения постоянных и (см. п.1.1), найдем постоянные и по формулам , .

 

Дробно-линейная функция

(2.14)

 

Введем новую приближающую функцию по формуле

 

, (2.15)

 

Из последнего равенства видно, что для нахождения параметров и по заданной таблице 1 следует составить новую таблицу, у которой значения аргумента оставить прежними, а значения функции заменить обратными числами, после чего для полученной таблицы найти приближенную функцию . Найденные значения параметров и подставить в формулу функции (2.14).

Логарифмическая функция

(2.16)

 

Очевидно, что для перехода к линейной функции следует сделать замену аргумента по формуле

 

(2.17)

 

Новая приближающая функция примет вид

 

(2.18)

 

Из формул (2.16), (2.17) видно, что для нахождения значений и нужно составить новую таблицу, в которой значения аргумента определяются по формулам (2.17) путем логарифмирования заданных , а значения функции те же, что в исходной таблице. Для линейной функции (2.18) описанным ранее способом найдем коэффициенты и , затем подставим их в искомую формулу (2.16).

 

Гипербола

(2.19)

Для перехода к линейной функции сделаем замену переменной

 

(2.20)

 

Новая приближающая функция запишется в виде

Для нахождения функции (2.19) следует вычислить значения нового аргумента по формулам (2.20) и найти для новой таблицы линейную приближающую функцию. Полученные значения и подставим в искомую формулу (2.19).