ПРАКТИЧЕСКАЯ РАБОТА №1
в десятичной системе счисления (ССЧ)
Цель работы: изучить принципы представления информации в десятичной системе счисления.
Система счисления — способ записи чисел с помощью заданного набора специальных символов (цифр) и сопоставления этим записям реальных значений. Все системы счисления можно разделить на непозиционные и позиционные. В непозиционных системах счисления, которые появились значительно раньше позиционных, смысл каждого символа не зависит от того места, на котором он стоит. Примером такой системы счисления является римская, в которой для записи чисел используются буквы латинского алфавита. При этом буква I всегда означает единицу, буква — V пять, X — десять, L — пятьдесят, C — сто, D — пятьсот, M — тысячу и т.д.
| Десятичная ССЧ | Римская ССЧ |
| I | |
| V | |
| X | |
| L | |
| C | |
| D | |
| M |
Из этих цифр и составляются все числа. Для правильной записи больших чисел римскими цифрами необходимо сначала записать число тысяч, затем сотен, затем десятков и, наконец, единиц. Если цифра, стоящая слева от данной цифры, меньше её, то она вычитается из данной цифры (принцип вычитания). Если больше то складывается (принцип сложения). Например:
· XLVII = XL (40 = 50 - 10) + V (5) + II (2) = 47
· число 283 по-римски записывается как CCLXXXIII, то есть 100+100+50+30+3=283. Здесь цифра, изображающая сотню, повторена два раза, а цифры, изображающие соответственно десяток и единицу, повторены по три раза
· число 1988. Одна тысяча M, девять сотен CM, восемь десятков LXXX, восемь единиц VIII. Запишем их вместе: MCMLXXXVIII
Но есть одно исключение. Если мы возьмем число 99 и попытаемся перевести, мы в лоб возьмем 100 (С) и вычтем из ста единицу, то есть получается IC. Удобно, компактно, но не правильно. В классической системе римских цифр число, стоящее справа (то есть из которого вычитается), должно быть не больше чем то что слева, умноженное на десять. То есть то же число 99 надо переводить буквально XC(90 = 100 - 10) + IX (9 = 10 - 1) = XCIX. То есть 49 нельзя записывать как IL, только как XLIX.
Есть ещё одно правило. Нельзя делать повторения четырёх цифр подряд (исключение составляет цифра четыре, которую изображают в часах как IIII для лучшего восприятия), то есть число 40 нельзя записывать как XXXX, а только как XL. Из всех этих правил вытекает, что максимальное число, которое можно записать римскими цифрами есть MMMCMXCIX = 3999. Но не стоит отчаиваться! Этруски, которые вроде бы придумали римские цифры, были умными ребятами и сделали хитро — число подчеркнутое палочкой сверху означает количество тысяч. То есть 4000 нужно записывать как IV. Всё просто.
Отсюда сразу вытекает алгоритм действия:
- Если число больше или равно 4000, то делим нацело на 1000 и получаем количество тысяч, засовываем их в этот же алгоритм, что бы вычислить, как они выглядят в римских цифрах, и их подчеркнуть сверху. И вычитаем из исходного числа эти тысячи.
Если меньше, то
- Берём разряд тысяч и переводим в римский эквивалент. Вычитаем их из числа.
- Берём разряд сотен и переводим в римский эквивалент. Вычитаем их из числа.
- Дальше также поступаем с десятками и единицами.
- Повторяем все эти действия пока не вычтется всё.
- Ну и полученные циферки выводим как положено - тысячи подчеркнутые сверху (если их много, если нет, то нужное количество М) и обычным стилем все остальные буквы, которые у нас получились.
Недостатком непозиционных систем является отсутствие формальных правил записи чисел и, соответственно, арифметических действий с многозначными числами. Правила выполнения вычислений с многозначными числами в позиционной системе счисления были разработаны средневековым математиком Мухамедом аль-Хорезми и в Европе были названы алгоритмами (от латинского написания имени аль-Хорезми – Algorithmi).
В вычислительной технике применяются позиционные системы счисления. Позиционных систем счисления существует множество, и отличаются они друг от друга алфавитом — множеством используемых цифр. Размер алфавита (число цифр в нем) называется основанием системы счисления. Последовательная запись символов алфавита (цифр) изображает число. Позиция символа в изображении числа называется разрядом. Разряду с номером 0 соответствует младший разряд целой части числа. Каждому символу соответствует определенное число, которое меньше основания системы счисления. В зависимости от позиции (разряда) числа значение символа умножается на степень основания, показатель которой равен номеру разряда.
Таким образом, целое положительное число А в позиционной системе счисления можно представить выражением:
| (1) |
или 
, где p — основание системы счисления, целое положительное число; a — cимвол (цифра); n — номер старшего разряда числа.
Обозначения цифр берутся из алфавита, который содержит p символов. Каждой цифре соответствует определенный количественный эквивалент. Обозначение ak следует понимать как цифру в k-м разряде. Всегда выполняется неравенство: ak<p.
Запись A(p) указывает, что число А представлено в системе счисления с основанием р:
| (2) |
Примером системы счисления является всем нам хорошо известная десятичная система счисления. Любое число в ней записывается с помощью цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Важно, что значение каждой цифры зависит от того места, на котором она стоит в этой записи. Например, 1575: цифра 5 в записи числа встречается дважды: цифра 5 в последнем разряде — число единиц, а цифра 5, находящаяся в записи числа левее, — число сотен. Т.к. значение каждой цифры (ее "вес") определяется той позицией, которую цифра занимает в записи числа, то система счисления называется позиционной. В десятичной системе счисления значение единицы каждого разряда в 10 раз больше единицы соседнего с ним правого разряда.
Само число 10 называется основанием системы счисления, а цифры, используемые в десятичной системе — базисными числами этой системы.
Но в качестве основания системы счисления можно выбрать любое целое число. Чтобы отличить, в какой системе счисления записано число, будем указывать основание системы счисления в виде индекса в десятичной системе счисления, заключенного в круглые скобки. Если основание системы счисления равно 10 или очевидно из контекста, то индекс будет опущен.
Выполните следующие задания:
1. Представьте следующие десятичные числа в виде позиционной записи:
а) 576; б) 842,3; в) 1924,803; г) 1000; д) 0100,0001; е) 0,002; ж) 25,75;
з) 89; и) 13,5; к) 0,25; л) 834,25; м) 34226; н) 236,14
2. Представьте следующие позиционные записи в виде десятичных чисел:
а) 8*102+5*101+3*100+7*10-1+6*10-2;
б) 0*104+1*103+8*102+4*101+0*100+0*10-1+9*10-2;
с) 9*105+4*103+3*100+4*10-2+4*10-3;
д) 6*102+1*101+4*100+8*10-1+6*10-2;
е) 1*24+1*23+0*22+0*21+1*20+1*2-1+1*2-2;
3. Переведите римскую запись в арабскую:
а) LX; б) XL; в) CXI; г) IXC; д) MDCCCXII; е) MCMLXI
4. Переведите арабскую запись чисел в римскую:
а) 45; б) 55; в) 900; г) 1500; д) 1554; е) 1917
Контрольные вопросы
1. Что называется системой счисления?
2. На какие два типа можно разделить все системы счисления?
3. Какие системы счисления называются непозиционными? Почему? Приведите пример такой системы счисления и записи чисел в ней?
4. Сформулируйте правила перевода чисел из римской в десятичную систему счисления.
5. Какие системы счисления применяются в вычислительной технике: позиционные или непозиционные? Почему?
6. Какие системы счисления называются позиционными?
7. Как изображается число в позиционной системе счисления?
8. Что называется основанием системы счисления?
9. Что называется разрядом в изображении числа?
10. Как можно представить целое положительное число в позиционной системе счисления?
11. Приведите пример позиционной системы счисления.
