1. Для овладения приемами вычислений потребуются демонстрационные и индивидуальные пособия, с помощью которых можно изображать десятки и единицы: пучки — десятки палочек и отдельные палочки или их рисунки. Можно использовать треугольники — десятки кружков и карточки с отдельными кружками (см. рис. на с. 11 настоящего пособия).
2. Для обучения решению задач полезно иметь иллюстративный материал к отдельным видам задач: краткие записи, чертежи, верно и неверно выполненные решения и т. п. (с. 47—78). Для индивидуальной работы удобно иметь карточки с математическими заданиями.
3. Для введения понятий буквенного выражения и уравнения целесообразно иметь демонстрационное наборное полотно с прорезями, чтобы вставлять подвижную ленту с набором чисел (с. 64, 67 учебника).
Рассмотрим работу над устными приемами сложения и вычитания.
На первом уроке по теме (с. 47) проводится подготовительная работа к введению приемов вычислений с двузначными числами: повторяются переместительное и сочетательное свойства сложения (№ 2, первый столбик), эти свойства применяются при вычислении суммы удобным способом (№ 1); дети упражняются в замене двузначных чисел суммой разрядных слагаемых (№ 5). Часть этих заданий выполняется устно, часть — с записью в тетрадях. В устные упражнения можно включить для повторения десятичного состава чисел случаи вида: 60 + 8, 96 – 6, 39 – 30, а также сложение и вычитание круглых десятков (40 + 30, 80 – 60). Аналогичные задания необходимо давать и на нескольких следующих уроках.
Как известно, последовательность изучения отдельных случаев сложения и вычитания может быть различна, но традиционно учитывается прежде всего сложность вычислительных приемов: сначала рассматривают приемы, которые включают меньшее число операций, затем — приемы, включающие большее число операций. Например, в сложении: сначала 36 + 2, затем 26 + 4, позже 26 + 7, аналогично — в вычитании.
Там, где возможно, приемы рассматриваются в сравнении: 36 + 2 и 36 + 20; приемы сложения чередуются с аналогичными приемами вычитания, которые вводятся в сопоставлении с рассмотренными только что приемами сложения. Таким образом, обеспечивается определенный перенос и дифференциация: 36 + 2, 36 + 20 (с. 48) и 36 – 2, 36 – 20 (с. 49); 26 + 4 (с. 50) и 30 – 7 (с. 51); 26 + 7 (с. 56) и 35 – 7 (с. 57). В хорошо подготовленном классе соответствующие приемы сложения и вычитания можно вводить одновременно — так называемыми укрупненными дидактическими единицами.
Приемы вводятся довольно интенсивно в начале второй четверти, а затем закрепляются на большом промежутке времени — до конца декабря и далее, до конца учебного года. Это объясняется тем, что ученик должен не только освоить систему операций, составляющих каждый прием («алгоритм выполнения действия»), но и научиться выбирать прием применительно к данным числам («алгоритм распознавания»). Каждый учитель сталкивался с таким фактом: дети поняли отдельный конкретный прием, научились решать аналогичные примеры, но после ознакомления со следующими приемами начинают смешивать приемы и допускать ошибки. Вспомним, такое же явление наблюдается при изучении таблиц сложения (таблиц умножения, склонений существительных и т. п.) — пока изучается каждый вопрос в отдельности, все обстоит благополучно, но как только изучена тема в целом, начинаются трудности и ошибки. Поэтому настоящее закрепление умений и формирование навыков происходит тогда, когда приходится решать разные примеры и выбирать из ряда способов действий соответствующий и самый удобный.
Методика работы, направленная на овладение детьми приемами вычислений, известна учителю. Вначале прием (способ действия) раскрывается с помощью соответствующего предметного действия (например, с пучками палочек и отдельными палочками или другими моделями десятков и единиц). Затем с опорой на иллюстрации дети решают пару примеров с подробной записью и устным пояснением, а после этого — пару примеров с краткой записью и устным пояснением (обычно на первом уроке больше сделать не удается). На основе сравнения всех решенных примеров делается обобщение, как решать подобные примеры: единицы складывают с единицами, десятки — с десятками (с. 48). На следующем уроке для закрепления решают примеры с подробным и кратким пояснением приема и повторяют вывод. Поэтому аналогичные приемы вычитания дети «открывают» с большой долей самостоятельности. Решив с опорой на предметные действия или иллюстрации пару новых примеров с объяснением вслух и сопоставив их с только что решенными примерами на сложение, дети без особых затруднений формулируют вывод: единицы вычитают из единиц, десятки — из десятков (с. 49). Затем переходят к решению примеров на сложение и вычитание, сравнивая приемы вычислений: 54 + 3, 54 – 3, 76 – 20, 76 + 20.
Так как приходится прибавлять к одному из слагаемых, то, чтобы дети не забыли другое слагаемое, разрядные числа, составляющие двузначное число, рекомендуют подписывать под ним в следующей строке, соединяя числа проведенными от руки отрезками («лучиками», «ножками» и т. п. — с. 48—49). Некоторые учителя говорят: «С записью чисел-помощников» — и советуют детям (особенно тем, кто нуждается в этом) не только записывать разрядные числа, но и точкой отмечать то число, к которому прибавляют (из которого вычитают) в этом примере второе число.
В классе, где особенно много слабо подготовленных детей, на этапе овладения приемами вычислений некоторые методисты рекомендуют использовать как записи, так и модели десятков и единиц:
36 + 20 = 56
Отметим, что на таких рисунках не следует использовать знаки арифметических действий.
Вычислительный прием для случаев вида 26 + 4 (с. 50) включает сложение не только единиц, но и десятков. Рассматривая подробную запись, данную под примером, дети видят, что вначале складывают единицы, а затем полученный десяток прибавляют к десяткам. Выполняя краткую запись, можно объяснять короче. Например, решая пример 81 + 9, говорят: 81 — это 80 и 1 (пишут под числом), к 1 прибавить 9, получится 10, 80 и 10 — это 90.
Сложение (вычитание) круглых десятков не надо объяснять вслух, так как к этому времени у детей уже сформировался навык подобных вычислений (т. е. эти действия выполняются свернуто в уме). Только в случае ошибки приходится объяснять даже давно изученный прием подробно и вслух.
Для того чтобы у детей не произошло неверного обобщения (суммой заменяют всегда первое число), в данный урок в учебнике предлагается включить несколько примеров вида 60 + 18, 20 + 14, где второе число заменяют разрядными числами и, значит, удобнее сначала сложить десятки, а затем прибавить единицы. Решение таких примеров, кроме того, подготавливает детей к рассмотрению приема вычитания вида 60 – 24.
Чтобы подготовить детей к овладению приемом для случаев вида 30 – 7, надо использовать специальные упражнения на замену чисел — круглых десятков суммой по образцу: 50 = 40 +, 70 = + 10 (с. 49, № 5; с. 51, № 1). В примерах вида 30 – 7 отсутствуют отдельные единицы. Но если дать детям в руки связанные в десятки палочки и спросить, как из 3 десятков вычесть 7 единиц, некоторые дети догадываются развязать 1 десяток и взять из него 7 палочек. Выполнив подробную запись этого приема, дети должны отметить, что и здесь единицы вычитают из единиц — из 10 единиц, которые получают, заменяя уменьшаемое суммой чисел, одно из которых равно 10.
Особое внимание надо обратить на вычитание нескольких единиц из 100. Например, 100 – 4. Объяснение: 100 — это 90 и 10 (пишут под примером); вычитаем 4 из 10, получится 6; 90 да 6 — получится 96.
Новый прием полезно на этом же уроке сопоставить с рассмотренными ранее приемами: 76 + 4 и 80 – 4; 48 – 6 и 40 – 6, чтобы дети осознали его особенности.
Прием вычислений для случаев вида 60 – 24 достаточно сложный и требует особого внимания (с. 52). В отличие от предыдущих приемов, когда вычитали из одной части уменьшаемого и надо было не забыть прибавить другую часть, в новом приеме надо вычесть обе части — и десятки, и единицы. Это хорошо видно детям, когда они выполняют предметные действия, например на палочках.
Заметим, если используются модели чисел из треугольников и точек, то, изобразив уменьшаемое с помощью треугольников-десятков, надо на этом же рисунке зачеркнуть необходимое число десятков, а в одном из оставшихся треугольников изобразить 10 точек и зачеркнуть из них необходимое число единиц.
На первом уроке полезно увеличить количество упражнений на основе предметных действий с подробным объяснением, а также рассмотреть примеры на сопоставление приемов (30 + 12 и 30 – 12) и затем обобщить: прибавляем и вычитаем по частям — сначала десятки, потом единицы.
На следующих трех уроках рассматриваются новые виды задач (с. 53—55) и обязательно закрепляются изученные приемы вычислений, особенно приемы вычитания, которые необходимо давать в сопоставлении. Например: 40 – 6 и 40 – 26; 67 – 30 и 60 – 37. Решать эти примеры полезно с подробным пояснением.
Последними вводятся устные приемы сложения и вычитания с переходом через десяток вида 26 + 7 (с. 56) и 35 – 7 (с. 57). Сами приемы известны детям — это прибавление и вычитание по частям так, чтобы после первого шага получились круглые десятки: 26 + 4 + 3, 35 – 5 – 2. В устные упражнения полезно включать задания на повторение состава однозначных чисел, а также на дополнение данных чисел до круглого числа. Например, дополни до 30 числа: 24, 26, 27, 28 (с. 55, № 7).
Некоторые дети, хорошо знающие таблицу сложения, иногда предлагают другой прием: 26 + 7 = 20 + (6 + 7) = 20 + 13 = 33. Разумеется, не следует запрещать им вычислять таким образом. Однако вводить сразу два приема для всех учащихся на данном этапе нецелесообразно. Наблюдения показывают, что, познакомившись с приемом вычитания с переходом через десяток, многие дети делают неверный перенос этого приема на новые случаи (35 – 7, 7 – 5 = 2, 30 + 2 = 32). Прием, включающий получение круглого десятка (прибавление и вычитание по частям), как более известный детям, осваивается ими без особых затруднений и, кроме того, способствует закреплению табличного сложения и вычитания.
Во все уроки, отведенные на изучение устных приемов сложения и вычитания, включаются числовые выражения, содержащие два действия (со скобками и без них). Эти упражнения предназначены не только для отработки вычислительных навыков, но и для закрепления умения читать и записывать выражения, для применения правил порядка выполнения действий в выражениях. В тех случаях, когда выражения содержат действия над двузначными числами с использованием изученных приемов вычислений (с. 53, 54 и т. д.), опытные учителя советуют детям записывать промежуточный результат над соответствующим знаком действия, так как многие дети, переходя ко второму действию, забывают полученный результат первого действия. Запись этого числа предупреждает многие ошибки — в частности, помогает детям в выборе приема вычисления. Этот же факт — необходимость зрительного восприятия чисел — надо учитывать при проведении устных упражнений (устного счета). Дети находятся на этапе освоения вычислительных приемов, у них только складывается умение выполнять те операции, которые входят в вычислительный прием, а выбор приема представляет определенные трудности. Поэтому для устных вычислений надо предлагать примеры, либо данные в учебнике, либо записанные на доске. Для того чтобы поддерживать у детей интерес к вычислениям, предлагают примеры с пропущенными знаками действий, задания на сравнение выражений, проверку заданных равенств и неравенств, таблицы (например, № 20 на с. 63), а также игры: круговые примеры, примеры с шифром, занимательные рамки, магические квадраты и т. п.
На уроках закрепления (с. 58—59) можно предложить детям самостоятельную работу, включающую 8—10 примеров на все рассмотренные случаи сложения и вычитания, с целью выявления тех приемов, которые недостаточно усвоены, чтобы уделить им больше внимания на следующих уроках. Разумеется, в течение трех недель у детей не будут сформированы навыки вычислений, поэтому не следует включать эти случаи в арифметический диктант. Примеры в одно действие дети должны списать (с доски или из учебника) в тетрадь и решать их в своем темпе. Можно также разрешить использовать дополнительные записи тем детям, которым они помогают при вычислениях.
При ознакомлении с буквенными выражениями и уравнениями (с. 64—71) используются в основном табличные случаи сложения и вычитания и наиболее легкие случаи сложения и вычитания в пределах 100, что вполне закономерно. Поэтому необходимые примеры на закрепление вычислительных навыков учитель подбирает сам, учитывая результаты самостоятельных работ в своем классе. Напомним еще раз, что целесообразно включать приемы вычислений в сопоставлении. Например: 72 + 5, 72 + 8,72 + 9; 46 + 8, 46 – 8; 57 – 20, 50 – 27 и т. п.
Далее рассматриваются способы проверки сложения и вычитания * Логика построения уроков такая: сначала на трех-четырех примерах рассматривают связь между результатом и компонентами каждого из этих действий. Для этого к данному примеру составляют обратные примеры. Их предлагают читать с названиями чисел так, как они назывались в первом примере.
40 + 20 = 60
60 – 20 = 40
60 – 40 = 20
Из суммы 60 вычли второе слагаемое 20, получили первое слагаемое 40 (третий пример — аналогично).
После того как сделано 3—4 таких конкретных вывода, дети сами смогут обобщить их и сформулировать или прочитать по учебнику вывод: если из суммы двух слагаемых вычесть одно из слагаемых, то получится другое слагаемое (с. 72).
Для введения способа проверки вычитания достаточно рассмотреть одну связь, а именно — что получается, если сложить разность и вычитаемое (с. 73).
28 – 6 = 22
22 + 6 = 28
К разности 22 прибавили вычитаемое 6, получили уменьшаемое 28.
На основе этих выводов раскрываются способы проверки выполненных действий. Важно, чтобы дети усвоили способ проверки в полной формулировке так, как дано в учебнике: не только называли действие, с помощью которого выполняется проверка, но и указывали, с какими числами эти действия надо выполнять, и обязательно отмечали, в каком случае считают вычисления правильными (если получится другое слагаемое.., если получится уменьшаемое...). Иногда даже добавляют противоположное утверждение (если не получится... значит, в вычислениях допущена ошибка).
Чтобы дети усвоили способы проверки и пользовались ими правильно, надо включать задания не только вида «решить и проверить», но и «проверить решенные примеры». Тогда учащиеся убеждаются в том, что надо не только выполнить действие над результатом и компонентом, но и сравнить полученное число с имеющимся в примере (увидеть, что они не всегда совпадают). Вот примерные упражнения.
Проверьте, правильно ли решены примеры.
50 + 24 = 74 50 – 24 = 34 32 + 60 = 90
80 – 7 = 83 43 + 7 = 50 28 + 3 = 58
Для предупреждения формализма можно предлагатьзадания,приведенные ниже.
Рассмотрите примеры и объясните, почему проверка не помогла найти ошибку в вычислениях.
60 – 27 = 47 54 + 6 = 50 87 – 5 = 37
47 + 27 = 60 50 – 6 = 54 37 + 5 = 87
Образцы такой проверки можно найти в тетрадях своих учеников. Целесообразно привлекать этих же учеников к работе над ошибками, однако называть «автора» в подобных ситуациях не следует, соблюдая известное положение педагогики: «Ученик имеет право на ошибку».
В дальнейшем в учебнике встречаются задания вида «вычисли и проверь», но чтобы сформировать у детей привычку проверять себя, необходимо систематически предлагать до конца учебного года если не письменно, то устно проверять вычисления. Чтобы ученики действительно пользовались способами проверки, а не только решали заново пример, приходится напоминать им, как правильно выполнять проверку.
В методическом письме «О контроле и оценке результатов обучения в начальной школе» настоятельно рекомендуется формировать у детей самоконтроль и самооценку и отмечается: «Пока у школьника не сформирован тот или иной навык, он должен иметь право на исправление ошибки, на совместный с педагогом анализ причин своих неудач» (Начальная школа. — 1999. — № 4. — С. 15). В школьной практике широко используется такой прием: учитель не оценивает выполненную работу ученика, а только отмечает неверно решенные примеры, ученик сам исправляет ошибки, после чего совместно определяются пути дальнейшей работы. Во всяком случае, сейчас многие учителя приняли за правило не наказывать за исправления и не снижать за это отметку, а поощрять исправление ошибок самим учеником.
Рассмотрим работу над задачами.
Во второй четверти продолжается работа над задачами на нахождение неизвестного слагаемого, уменьшаемого, вычитаемого. Дети не только составляют и решают эти задачи, но также учатся проверять простые задачи на нахождение суммы и остатка и обратные им, составляя и решая обратные задачи (с. 47, № 6; с. 54, № 4, и др.). Например, после решения задачи № 4 (с. 56) можно предложить детям проверить решение, составив задачу, обратную ей. Допустим, дети составили задачу: «В баке машины было 20 л бензина, добавили 15 л. Сколько литров бензина стало в баке?» После решения обратной задачи дети объясняют, правильно ли решена задача № 4: «Мы решили обратную задачу, получили ответ — в баке стало 35 л бензина; и в условии задачи сказано, что в баке было 35 л, значит, задача решена правильно».
Заслуживают внимания простые задачи на нахождение суммы, в которых есть выражение «столько, сколько» (с. 53, № 1). Это подготовительные задачи к составным задачам (с. 62, № 9). Решение этих задач не представляет трудности для детей, ошибки иногда возникают при формулировке ответа. Слабо подготовленным детям помогает рисование схем к задачам с небольшими числами. Например: «Нарисуйте в одной строчке 3 квадрата и 2 треугольника, а в другой — столько кружков, сколько квадратов и треугольников вместе. Сколько кружков вы нарисовали и почему?» Так же можно проиллюстрировать задачу № 2 (с. 53), а можно решить ее с опорой на чертеж, который сделает учитель в процессе беседы с детьми.
— Обозначим отрезком, сколько красных квадратов вырезала Даша (чертит отрезок произвольной длины на доске и делает надпись: 7 кв. — это красные квадраты).
— Прочитайте, сколько было голубых квадратов,и скажите: их было больше или меньше, чем красных? Значит, второй отрезок начертим меньше, чем первый (продолжает первый отрезок и делает надпись — 4 кв.).
— Начертим ниже отрезок, который будет изображать зеленые квадраты. Что вы знаете про них? Какой должен быть нижний отрезок? Почему?
Заметим, что и в схеме, и на чертеже искомое число надо изображать отдельно, для того чтобы показать отношение равенства (столько же, такой же длины и т. п.). Подчеркивая особенности этих задач, можно привести похожую задачу, в которой отсутствует отношение равенства. Например: «Таня, Юра и Света решали примеры. Таня решила 4 примера, Юра — 3. Сколько примеров решила Света?» После того как дети установят, что решить эту задачу нельзя, им предлагается дополнить условие так, чтобы можно было ответить на вопрос задачи.
Новыми в определенной мере являются простые, а также составные задачи, связанные с движением (с. 54—55). Решая их, дети начинают осознавать такие понятия, как «расстояние» и «пройденный путь», их связь (расстояние можно узнать через пройденный путь). Вначале такие задачи воспринимаются некоторыми детьми с непониманием, скорее как задачи-шутки, где вопрос не соответствует условию: «Две девочки идут с концов моста (аллеи, дорожки). Одна прошла столько-то метров (шагов), другая — столько-то». Вопрос задачи: «Какова длина моста (аллеи, дорожки)?» Дети без труда отвечают, сколько метров (шагов) прошли эти девочки вместе, но часть учащихся не соотносит этот ответ с вопросом задачи. Понять, что, узнав пройденный путь, мы узнаем и расстояние между двумя точками, откуда началось движение, помогут не только чертежи, но и наблюдения за реально движущимися объектами (детьми, машинками, подвижными моделями).
Важно обратить внимание детей на направление движения — в одном направлении, в разных (в том числе навстречу друг другу). Эти слова и термины усваиваются лучше всего в реальной обстановке (на экскурсии, на прогулке), когда дети сами «моделируют» соответствующие ситуации. Хотя основательная работа над этими понятиями предстоит в III—IV классах, здесь полезно провести некоторые наблюдения, а также отметить особенности чертежей: направления движения обозначают стрелками, место встречи — флажком, пройденный путь и расстояние — отрезками.
При работе над составными задачами продолжают сравнивать простую и составную задачи (с. 52, № 5). Например, детям предлагается придумать вопрос к данному условию (с. 51, № 5). Пусть они поставят и такой вопрос, чтобы задача решалась двумя действиями, и такой, чтобы задача решалась одним действием. Это поможет им в составлении плана решения составной задачи.
Эффективным упражнением на различение простой и составной задачи является задание на выбор решения к данным задачам (с. 53, № 3). Чтобы выбор не был случайным, надо прочитать обе задачи, сравнить их условия, вопросы, а затем предложить объяснить, что узнают, выполнив действия в каждом выражении.
Задания на пояснение смысла составленных выражений встречаются довольно часто (с. 56, № 3; с. 58, № 4; с. 59, № 4 и др.). Предложенные в учебнике выражения полезно дополнять другими, в том числе такими, которые не соответствуют данному условию. Например, к задаче № 3 (с. 56) можно дополнительно дать выражение: 15 – 5, 40 – 15 – 5, 40 + 15. Пусть дети объяснят, что можно узнать, выполнив указанные действия, и почему считают, что последнее выражение нельзя составить по данному условию.
Полезно обратное задание: на какие вопросы можно ответить, опираясь на данное условие, и какие действия надо выполнить, чтобы ответить на эти вопросы (соответствующие выражения записывают)? Например, по условию задачи № 3 (с. 58) дети составляют следующие вопросы.
— На сколько больше было девочек, чем мальчиков? (на 6 – 4)
— Сколько всего девочек и мальчиков было сначала в читальном зале? (6 + 4)
— Сколько детей стало, после того как пришли еще 8 учеников? ((6 + 4) + 8)
— Сколько всего стало бы мальчиков, если все пришедшие 8 были мальчики? (4 + 8)
— Сколько всего стало бы девочек, если все пришедшие 8 были девочки? (6+8)
Во второй четверти уделяют достаточное внимание обучению решению задач разными способами. Вначале детям предлагаются подготовительные упражнения — рассмотреть готовые решения и объяснить, что узнавали каждым действием (с. 14, № 3; с. 35, № 2; с. 36, № 4). Далее в учебник включаются задания с указанием: «Реши задачу разными способами». Каждый раз полезно выяснять, что это значит — решить разными способами.
Рассмотрим работу над задачей № 3 (с. 52). Опираясь на еекраткую запись и на представление описанной ситуации, дети под руководством учителя составляют план и записывают решение: (20 + 15) – 5 (вычисляют значение выражения, подчеркивают ответ). Объясняют: сначала узнали, сколько ведер воды было в двух бочках вместе, а потом — сколько ведер воды осталось. Далее учитель предлагает: «Представьте, что воду для поливки цветов брали только из первой бочки. Что можно узнать по таким данным: в бочке 20 ведер воды, 5 ведер воды взяли? Теперь вы знаете, сколько ведер воды осталось в первой бочке и сколько — во второй. Что можно узнать?» Запись решения: (20 – 5) + 15 (вычисляют значение выражения, подчеркивают ответ). Затем учитель предлагает рассмотреть другую ситуацию: 5 ведер для поливки цветов брали из второй бочки. Какое выражение тогда можно составить по задаче? Запись: 20 + (15 – 5) или (15 – 5) + 20. Оба выражения справедливы, так как первым действием узнают, сколько ведер воды осталось во второй бочке, а вторым — сколько всего ведер воды осталось в двух бочках.
Вычислив значение выражений и сравнив результаты, дети убеждаются в том, что ответ задачи везде одинаковый, хотя рассуждали по-разному и действия выполняли неодинаковые.
Для закрепления умения можно предложить составить по краткой записи вторую задачу из № 5 (с. 52) и решить ее разными способами.
Ко второй задаче из № 3 (с. 52) можно составить два разных выражения: 12 – 5 – 2 и 12 – (5 + 2). Рассмотреть эту задачу, вероятно, придется на одном из следующих уроков. Важно, чтобы дети усвоили суть — решая задачу разными способами, при составлении плана решения рассуждают по-разному (ставят разные вопросы, решают задачу разными действиями, но ответ получают одинаковый). Чтобы дети не сводили решение разными способами к манипулированию числами, полезно предложить верное и неверное решение. Например, к последней задаче можно дать выражение 12 – 5 + 2. Пусть дети убедятсяв том, что по данной задаче невозможно объяснить, что узнавали каждым действием в этом выражении, и ответ получается другой — значит, это неверный способ решения задачи.
Умение решать задачи разными способами, особенно самостоятельно искать и находить разные пути решения, — сложное умение, формируется оно не только в начальной, но и в средней школе в течение многих лет, и не только на уроках математики. Способность увидеть отличные от обычных связи и, опираясь на них, выйти на другой ход решения задачи — это один из элементов творчества, и не следует ожидать, что за короткое время дети добьются больших успехов в творческом развитии. Во второй четверти эта работа только начинается и, естественно, проходит под руководством учителя. С расчетом на длительное время в учебнике подобраны специальные задачи и дается указание: «Решите задачу разными способами». Хотя задание звучит одинаково — методика работы должна постепенно меняться, а именно: поиски способов решения должны становиться все более самостоятельными.
Для усвоения содержания задачи (после того как дети прочитали ее про себя и вслух) используют либо краткую запись, либо чертеж. Чертеж хорошо помогает при решении задач, которые включают увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц (с. 47, № 3; с. 63, № 15; с. 78, № 21, и др.). Многие дети смогут решить задачи на смекалку (с. 51—52 и др.), если им подсказать, что к задаче надо сделать чертеж. Опираясь на чертеж, дети быстрее догадываются, как решить задачу разными способами (с. 57, № 4; с. 59, № 4; с. 70, № 3, и др.). Если чертеж сделан на доске, то после решения задачи можно изменить числа (несколько или все) и предложить детям составить по чертежу новую задачу. Несмотря на широкое применение чертежей при работе над задачами во второй четверти, многие дети еще не могут сами сделать чертеж к задаче, поэтому его выполняет либо учитель на доске в процессе беседы с детьми, либо они рассматривают готовый чертеж по учебнику.
В период закрепления устных приемов сложения и вычитания (с. 58—63) можно предложить тематическую работу, в которую включить одну простую задачу — на нахождение уменьшаемого, вычитаемого или слагаемого. Например: «Когда на полку поставили (с полки сняли) 5 книг, там стало 20 книг. Сколько книг было на полке сначала?» Другая задача — составная, включающая увеличение (уменьшение) числа на несколько единиц и нахождение суммы. Например: «На стоянке было 10 легковых машин, а грузовых — на 4 меньше (больше), чем легковых. Сколько всего машин было на стоянке?» Решение задачи ученики могут записать так, как им удобно, — по действиям или выражением. Желательно сформулировать полный ответ задачи.
В конце второй четверти дается понятие об уравнении. Чтобы у детей сложилось правильное понятие, надо провести серьезную подготовку. С одной стороны, они должны накопить опыт работы с равенствами, усвоить, что записи со знаком «=» (равенства) могут быть верными и неверными. Таких упражнений, начиная с первого класса, учащиеся выполняли много: проверяли, являются ли данные равенства верными или неверными; составляли верные равенства из заданных выражений; вставляли пропущенные знаки действий или знаки сравнения так, чтобы получились верные равенства и неравенства, и т. п. С другой стороны, нужен определенный опыт работы с переменной. С такими упражнениями дети также сталкивались. Это прежде всего примеры с пропущенными числами (6 + = 9, – 4 = 6). Важно, чтобы они решались подбором. Для этого в окошко вставляют друг за другом не одно, а несколько чисел, и дети объясняют, почему некоторые числа не подходят, так как получаются неверные равенства, а одно число подходит, так как получается верное равенство (с. 66, № 6). Заметим, что особенно полезными в этом плане являются неравенства с пропущенными числами, где подбор не ограничивается одним числом, а подходят несколько чисел. Например: < 3, 4 + 1 >, – 7 < 4 и т. п. К сожалению, по программе 2000 г. неравенства с неизвестным числом не изучаются в начальных классах, хотя для устных упражнений такие задания можно использовать.
Именно для того чтобы дети приобрели некоторый опыт работы с переменной (этот термин не вводится), перед введением уравнения дается понятие о буквенных выражениях (с. 64—67). Методика введения таких выражений (пока с одной переменной) раскрыта в учебнике. Детям предлагаются простейшие выражения — сумма или разность чисел, одно из которых обозначено окошком: + 4, 10 – и т. п. В окошки следует подставлять различные числа, т. е. получать числовые выражения и находить их значения. Затем объясняется, что вместо квадрата (окошка) в математике используют латинские буквы. Дети учатся читать и записывать буквенные выражения, находить их значения при заданных значениях букв (с. 65, № 2). Запись:
| k + 7 10 + 7 = 17 7 + 7 = 14 | k – 7 10 – 7 = 3 7 – 7 = 0 |
Вначале учащиеся подставляют вместо буквы только те числа, которые даны в задании, и выполняют вычисления устно или письменно (как показано выше или в таблице № 4 на с. 66).
По этим записям дети без особых затруднений объясняют, почему получаются разные значения буквенного выражения, почему они увеличиваются или уменьшаются. Позднее (во втором полугодии и в III—IV классах) детям предлагают самим придавать значения входящим в выражение буквам и находить значения полученных числовых выражений. При этом выясняют, какие значения можно придавать буквам, почему не подходят те или иные значения уменьшаемого или вычитаемого, при каком значении буквы получается самое маленькое значение выражения, можно ли назвать самое большое значение выражения и т. п.
Опираясь на сформированные умения различать верные и неверные равенства и подставлять вместо буквы различные ее значения, знакомят детей с уравнением (с. 68). Уравнение — это равенство с неизвестным числом, которое надо найти. При нахождении выполняют подстановку заданных чисел (с. 68, № 1) и убеждаются, что данное равенство может быть и неверным, и верным. Чтобы решить уравнение, надо найти только то значение неизвестного, при котором получается верное равенство. Важно, чтобы, подставив каждое из заданных чисел, дети не заменяли равенство неравенством, что часто наблюдается в практике (9 + 7 больше чем 14, значит, 7 не подходит; 9 + 1 меньше, чем 14, значит, 1 не подходит). Надо подставлять значение буквы в равенство и проверять, какое равенство получилось — верное или неверное (9 + 7 = 14 — это неверное равенство, так как 16 не равно 14, значит, неизвестное число не равно 7, а 9 + 5 = 14 — верное равенство, так как 14 равно 14, значит, неизвестное число равно 5).
На следующем уроке дети должны закрепить знания об уравнении (например, снова прочитать текст на с. 68) и найти уравнения среди различных записей (с. 70, № 1), объяснив, почему они считают, что последние два равенства являются уравнениями, а остальные записи нет. Заметим, что на данном этапе полезно читать уравнения в виде вопроса («Какое число надо прибавить к 60, чтобы получилось 90? Из какого числа надо вычесть 8, чтобы получилось 10?» и т. п.).
Даже составляя уравнения по таблице (с. 71, № 1), надо находить неизвестное подбором, так как именно в этом случае закрепляется правильное понятие об уравнении. Решение уравнений на основе знания связей между результатами и компонентами будет рассматриваться во втором полугодии, после того как эти связи будут изучены и закреплены на способах проверки вычислений (с. 72—79). На данном этапе в уравнениях используются в основном табличные и нумерационные случаи сложения и вычитания, поэтому подбирать неизвестное число достаточно легко.
На уроках закрепления можно предлагать такие упражнения.
1. Проверьте, правильно ли решены уравнения.
| x – 15 = 0 х = 15 | у + 40 = 40 y = 40 | 96 – х = 0 х = 0 |
2. Запишите уравнения и решите их, подбирая неизвестное число.
— К какому числу надо прибавить 9, чтобы получилось 17?
— Из какого числа надо вычесть 10, чтобы получилось 9?
— Какое число вычли из 87, если получили 80?
— Какое число прибавили к 20, если получили 26?
3. На какие группы можно разбить следующие уравнения?
| 12 – х = 12 | 7 + у = 7 | 18 + у = 19 | х – 1 = 0 |
4. Задание повышенной трудности. Подбери пропущенное число так, чтобы неизвестное число было однозначным.
| у – = 9 | х + = 20 | 25 – х = | 39 + y = |
Работа над уравнениями только начинается в конце второй четверти, поэтому, естественно, уравнения и буквенные выражения не включаются в контрольные работы.
В итоговую контрольную работу за полугодие можно включить арифметический диктант (куда входят табличные и нумерационные случаи сложения и вычитания), задачу в два действия, примеры на сложение и вычитание в пределах 100 (можно исключить случаи сложения и вычитания с переходом через десяток), а также задания на сравнение выражений и нахождение длины ломаной.
