Напряженное состояние при чистом сдвиге. Потенциальная энергия деформации

Испытания на чистый сдвиг. Механические характеристики

Для определения механических характеристик материалов при сдвиге проводят испытания на чистый сдвиг. Так, экспериментальную диаграмму сдвига (подобную диаграмме растяжения) можно получить при нагружении тонкостенной трубы крутящим моментом, как показано на рис. 7.2б. При действии на тонкостенную трубу длиной l, толщиной δ и радиусом по срединной поверхности R (рис. 7.4) крутящего момента М_к, ее поперечные сечения поворачиваются на угол закручивания φ.

 

Рис. 7.4. Угловая деформация при чистом сдвиге

 

При этом угол сдвига γ можно определить из соотношения

откуда .

Если предположить, что по толщине стенки касательные напряжения τ распределены равномерно, то можно их вычислить, зная величину крутящего момента и геометрические параметры трубы. Площадь элементарной площадки, на которой действуют касательные напряжения, равна dF = δ Rdφ, а элементарный крутящий момент dM_к = τdF R. Тогда, интегрируя по всей длине окружности, имеем

, следовательно, .

Изменяя значение крутящего момента М_к, и замеряя значение угла сдвига γ, можно построить условную диаграмму сдвига в координатах τ = f(γ). Типовой вид такой диаграммы приведен на рис. 7.5.

 

Рис. 7.5. Условная диаграмма сдвига

На рис. 7.5 τ_ПЦ – предел пропорциональности при сдвиге, τ_Т – предел текучести и τ_В – предел прочности (временное сопротивление). Видно, что на начальном отрезке диаграммы выполняется закон Гука – прямая пропорциональность между касательными напряжениями и углом сдвига. Эту зависимость согласно обобщенному закону Гука принято записывать так

или , (7.5)

где G – модуль сдвига, который является константой материала (механическая характеристика).

Напряженное состояние при чистом сдвиге. Потенциальная энергия деформации

Выделим в конструктивном элементе, работающем в условиях чистого сдвига элементарный параллелепипед, боковые грани которого совпадают с поперечными сечениями данного элемента. По этим граням (по закону парности касательных напряжений и на перпендикулярных гранях) будут действовать только касательные напряжения (рис. 7.6). Определим значения главных напряжений и положение главных площадок.

Рис. 7.6. Главные напряжения и главные площадки при чистом сдвиге

 

Известно (см. формулу (4.30)), что при заданных значениях , и на некоторых произвольных взаимно перпендикулярных площадках, нормальные напряжения на главных площадках определяются соотношением

. (7.6)

Положение же главных площадок (касательные напряжения равны нулю) можно найти из (4.29)

, (7.7)

где — угол, который составляет нормаль к главной площадке с осью .

Тогда при чистом сдвиге мы имеем и из формул (7.6), (7.7) получим

. (7.8)

Таким образом, главные площадки повернуты относительно поперечных сечений конструктивного элемента на угол α=45^°. Если положить, что грани совпадающие с плоскостью рисунка свободные, т.е. действующие на них напряжения раны нулю, то имеем

(7.9)

НДС при чистом сдвиге – плоское. Очевидно, что зная главные напряжения на главных площадках, не представляет труда по известным формулам рассчитать напряжения на произвольных площадках. Анализ полученных соотношений показывает, что при чистом сдвиге главные напряжения равны по величине и противоположны по знаку.

Установим связь между касательными напряжениями в поперечном сечении и угловыми и линейными деформациями. Рассмотрим деформацию элемента бруса, работающего в условиях чистого сдвига (рис. 7.7), где исходное состояние – сплошная линия; деформированное – штриховая.

 

Рис. 7.7. Деформации при чистом сдвиге

 

Будем пренебрегать деформацией вдоль образующей CD (AB), как величиной второго порядка малости. Тогда

. (7.10)

Линейная деформация вдоль образующей АС равна

. (7.11)

С другой стороны, по формуле обобщенного закона Гука с учетом, что направление АС совпадает с направлением главного напряжения σ₁, находим

. (7.12)

Приравнивая (7.11) и (7.12), окончательно получим

. (7.13)

Если учесть соотношение (7.5), то получим связь модуля упругости первого рода Е и модуля упругости второго рода (модуля сдвига) G.

. (7.14)

Определим потенциальную энергию деформации при сдвиге. Рассмотрим элемент бруса длиной dx, находящегося в условиях чистого сдвига (рис. 7.8, где F – площадь сечения, в котором действуют касательные напряжения τ).

Рис. 7.8. К определению потенциальной энергии при сдвиге

 

Поперечная сила Q совершает работу на перемещении dS. Будем считать, что вся совершенная работа переходит в потенциальную энергию деформации, тогда

. (7.15)

Используя соотношения (7.1), (7.4) и (7.5), получим

. (7.16)

Следовательно, потенциальная энергия, накопленная в элементе стержня длиной dz, равна

. (7.17)

Интегрируя выражение (7.17) по длине стержня l, получим

. (7.18)

Удельная (на единицу объема dV) потенциальная энергия деформации при сдвиге определяется следующим образом:

. (7.19)