Метод эквивалентных материалов

ФИЗИЧЕСКОЕ И МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ГЕОМЕХАНИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ С ПРИМЕНЕНИЕМ МОДЕЛЕЙ-АНАЛОГОВ

Общие сведения

Как указывалось во введении, при разработке месторождений полезных ископаемых и строительстве подземных сооружений возникают сложные инженерные задачи, связанные с напряженно-деформированным состоянием массива горных пород и проявлением различных физических процессов – давление горных пород, горные удары, выбросы и т.д. Физическая сущность указанных процессов еще недостаточно изучена, а математическое описание процессов в обобщенном виде в большинстве случаев отсутствует. В этом случае на основании теории размерности с использованием Пи-теоремы составляются уравнения связей, и подготавливается модель для проведения экспериментов.

В простейшем случае модель воспроизводит изучаемое явление с сохранением физической природы и геометрического подобия, а отличается от оригинала (натуры) лишь размерами одноименных параметров и скоростью протекания исследуемого процесса. В некоторых случаях значительно проще, удобнее и рациональнее модель изготавливать из среды, отличной по своей физической природе от оригинала (натуры). Однако и здесь модель изготовляют с соблюдением условий подобия. В этом случае изучение какого-либо явления в оригинале заменяется изучением аналогичного явления на модели. Например, вместо исследования явления конвективного теплообмена в натуре исследуют на модели процесс диффузии или наоборот. По мере накопления данных о закономерностях процесса в дальнейшем составляются уже достаточно обоснованные уравнения связей, которые в критериальной форме используют для практических расчетов процесса в натуре.

Метод моделирования базируется на теории подобия. Однако в то время как теория подобия изучает свойства заведомо подобные системы, учение о моделировании призвано решать прикладную задачу, а именно: установить, каким требованиям должна удовлетворять модель, чтобы процессы, происходящие в ней, были подобны процессам, происходящим в натуре.

В разработке теории подобия и моделирования первенство принадлежит русским ученым. Если заграничная практика дала сравнительно небольшое число разрозненных, относящихся к частным вопросам теории подобия, то русские ученые разработали общую теорию подобия, создав тем самым предпосылки, необходимые для построения учения о моделировании. Так, еще в
1907 г. М.В. Кирпичев дал блестящее изложение основ подобия. Уже в
1922 г. акад. Н.Н.Павловский опубликовал теорию электрогидродинамических аналогий. В 1924 г. М.В. Кирпичев начал экспериментальные исследования в области моделирования сначала тепловых, а затем и некоторых других явлений. Следует также указать на метод электрических аналогий, разработанный
Л.И. Гутенмахером на основе развитой им теории С.А. Гершгорина.

Одной из первых попыток моделирования на физических моделях механических явлений в массиве горных пород являются исследования
М. Файоля. В дальнейшем были разработаны теоретические основы и инженерные методы расчета физических моделей метода эквивалентных материалов проф. Г.Н.Кузнецовым, метода центробежного моделирования проф. Г.И.Покровским. Значительно развит и усовершенствован метод фотоупругости проф. В.Ф.Трумбачевым. Предложены и разработаны теоретические основы гидроинтегратора д-ром т.н. В.С.Лукьяновым.

Основоположником моделирования в горном деле по праву следует считать проф. М.М. Протодьякова.

Правила моделирования. Выше указывалось, что вследствие трудностей математического характера аналитическое решение значительного числа практических задач с краевыми условиями либо вовсе невыполнимо, либо требует для своего выполнения введения упрощающих допущений. Последнее часто в значительной мере снижают практическую ценность теоретического решения. Поэтому при решении значительного числа задач приходится прибегать к эксперименту. Однако результаты единичного опыта, вообще говоря, не могут быть непосредственно распространенными на случаи, для которых краевые условия и значения физических параметров полностью не совпадают с теми, которые имели место при экспериментальном исследовании. Такая ограниченность области применения результатов экспериментального исследования выдвигает вопрос о возможности обобщения опытных данных. Эту возможность открывает метод моделирования, позволяющий распространить результаты единичного опыта по изучению какого-либо процесса на целую группу процессов, подобных исследуемому.

На основании теории подобия было указано, что единичный процесс может быть однозначно выделен из целого класса путем присоединения к дифференциальным уравнениям, описывающим рассматриваемый класс процессов, краевых условий и задание значений физических параметров, входящих в дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия. Но после приведения дифференциальных уравнений, начальных и граничных условий к безразмерному виду и задания численных безразмерных параметров получают систему уравнений, охватывающую группу процессов. Поэтому, если два процесса протекают в геометрически подобных системах и при этом безразмерные дифференциальные уравнения, граничные и начальные условия, описывающие оба явления, тождественно одинаковы, то рассматриваемые процессы подобны и результаты исследования одного из них могут быть распространены на второе.

На основании сказанного представляется возможным дать следующую формулировку правил моделирования.

Для того чтобы процесс в модели был подобен процессам в натуре, необходимо и достаточно выполнить следующие требования:

1) модель должна быть геометрически подобна образцу;

2) процессы в модели и образце должны принадлежать к одному классу и описываться одинаковыми дифференциальными уравнениями;

3) начальные и граничные условия в модели должны быть реализованы таким образом, чтобы безразмерные начальные и граничные условия модели тождественно совпадали с такими же условиями в натуре;

4) одноименные безразмерные параметры, входящие в дифференциальные уравнения, начальные и граничные условия, в модели и в натуре должны быть соответственно равны.

Изложенные правила моделирования относятся к случаю, когда процессы

в модели и в натуре принадлежат к одному и тому же классу. Эти правила могут быть легко распространены на случай, когда процессы, протекающие в них, удовлетворяют определению аналогии. В этом случае условие 4) должно содержать равенство не только одноименных, а и аналогичных безразмерных параметров. Так, например, если рассматривается аналогия между процессами теплопроводности и диффузии, то аналогичными будут коэффициент диффузии с и коэффициент теплопроводности l, играющие одинаковую роль в физических уравнениях. Следовательно, правило собственно моделирования является частным случаем более общего правила аналогии.

Сделаем некоторые замечания относительно реализации краевых условий при моделировании. Все краевые условия по признаку их реализации можно разделить на две категории: управляемые и неуправляемые. Первые могут быть реализованы по желанию экспериментатора; вторые же реализуются независимо от исследователя в силу самой природы физического явления.

Например, для стационарного процесса конвективного теплообмена при течении жидкости в трубе краевые условия могут быть сформулированы следующим образом:

1) во входном сечении трубы имеется вполне определенное распределение скоростей и температур;

2) в какой-либо точке потока имеется определенное давление;

3) на границе раздела потока и трубы скорость жидкости равна нулю, температуры жидкости и трубы равны друг другу, а также равны друг другу тепловые потоки, входящие в трубу и выходящие из жидкости.

Нетрудно видеть, что из перечисленных граничных условий, условия 1) и 2) являются управляемые и их выполнение зависит от желания исследователя. Условия же 3) имеет место всегда и не зависит от исследователя. Что же касается начальных условий, то они всегда являются управляемыми.

Для того, чтобы безразмерные неуправляемые краевые условия в модели и натуре были тождественно одинаковыми, достаточно осуществить равенство безразмерных одноименных параметров, входящие в соответствующие краевые условия модели и натуры.

Управляемые краевые условия должны быть заданы на протяжении всех пространственных границ исследуемого процесса. Поэтому, прежде чем приступить к моделированию, необходимо сформулировать управляемые условия для натуры и выбирать их таким образом, чтобы они были достаточно хорошо известны.

Метод эквивалентных материалов

Этот метод применяют для исследования вопросов, связанных с проявлением горного давления в очистных подготовительных выработках при разработке месторождений полезных ископаемых; в подземных капитальных выработках; при изучении вопросов, связанных с породами, сдвижения массивов и других физических процессов, происходящих в массивах в связи с проведением в них горных работ.

Изучение всех этих вопросов аналитическим методом и непосредственно на практике связано с большими трудностями, поэтому использование метода моделирования имеет большое теоретическое и практическое значение.

В предвоенные годы во ВНИМИ Г.Н.Кузнецовым был разработан метод моделирования, в основу которого была положена идея создания моделей горных массивов из искусственных материалов, эквивалентных по своим деформационным и плотностным свойствам горным породам при принятом масштабе моделирования. Сейчас этот метод широко используется под названием МЭМ.

Сущность метода эквивалентных материалов заключается в том, что на физических моделях с известными допущениями и при соблюдении условий подобия изучают интересующие нас физические процессы и результаты этих исследований используют для разработки теории «механизма» процесса, а также для разработки практических рекомендаций для промышленности. Например, МЭМ широко применяют для изучения процесса сдвижения пород массива при очистной выемке полезных ископаемых (рис. 4.1).

Рис. 4.1. Схема к моделированию задачи деформаций горных пород на
эквивалентных материалах: а – образец; б – модель.

При достаточном удалении от штреков характер проявления давления горных пород на крепь во времени будет изменяться только в направлении движения очистного забоя. Следовательно, задача изучения давления пород в очистных выработках сводится к плоской и рассматривается для сечения А – А. На плоской модели (рис. 4.1, б) с соблюдением условий подобия воспроизводится процесс выемки полезного ископаемого, в результате которого в модели происходит процесс сдвижения пород, подобный натуре.

В основе метода лежит теория механического подобия Ньютона, которая предполагает геометрическое, кинематическое и динамическое подобия.

Геометрическое подобие. Обеспечивается в том случае, если все линейные размеры будут уменьшены в определенное постоянное число раз по сравнению с той областью натуры, в которой изучается данное явление.

(4.2)

где

–

линейные размеры модели и натуры, соответственно.

Кинематическое подобие будет обеспечено в том случае, если сходственные частицы, двигаясь по геометрически подобным траекториям, проходят геометрически подобные пути в промежутки времени, отличающиеся постоянным множителем, т.е.

(4.2)

Динамическое подобие имеет место в том случае, если массы двух сходственных частиц (соответствующим образом расположенных в пространстве и времени) отличаются друг от друга в одно и тоже число раз

(4.3)

Выразив в равенствах (4.96) массу через объем и плотность, получим

(4.4)

или

, (4.5)

где (4.6)

Так как множитель подобия задан геометрическим подобием, то для соблюдения условий динамического подобия достаточно задать соотношение плотностей, т.е. . Из условия механического подобия , выражая множители подобия через соответствующие соотношения и произведя преобразования, будем иметь

(инвариант подобия Ньютона) (4.7)

Следовательно, определив параметры модели, при которых соотношения множителей подобия удовлетворяют условию (4.7), мы получим модель, динамические процессы в которой будут подобны соответствующим процессам в натуре.

Обращаясь к конкретной задаче о давлении пород на крепь подземной выработки, установим критерии подобия и множители подобия для моделирования указанного процесса методом ЭМ.

На основании вышеизложенного выделим основные силы, которые определяют характер физического процесса.

В первом приближении можно ограничиться учетом двух родов сил, а именно: внешних сил – тяжести и внутренних сил – напряжений, возникающих в породе.

Преобразуем формулу (4.7), выражающую общий закон подобия Ньютона для случая совместного действия сил тяжести и внутренних напряжений. Заменяя в формуле (4.7) значения квадратов скоростей через ускорения и длины, получим

(4.8)

В данном случае деформация и разрушение породы происходит за счет действия сил тяжести, т.е. а = .

, (4.9)

где

–

объемный вес материала.

Введем в (101) обозначение

, (4.10)

под которым подразумеваем предельные напряжения: на растяжение, сжатие,

сдвиг или деформационные характеристики пород.

Подставив зависимости (4.9), (4.10) в (4.8), получим

(4.11)

где

–

безразмерное число, являющееся определяющим критерием подобия.

На основании полученного выражения можно установить основные требования к модели, обеспечивающие механические подобия явления. Если модель изготовить из материала натуры, то будем иметь одинаковые физико-механические свойства и натуры: N _м= N _н; g_м = g_н.

Однако смысл модулирования в данном случае заключается в том, чтобы

геометрические размеры модели были меньше размеров натуры, т.е. .

В этом случае равенство (4.11) не имеет места. Для сохранения условий инвариантности формулы (4.11) следует полагать, что N _м= N _н; g_м¹ g_н или
N _м ¹ N _н; g_м¹ g_н..

В первом случае согласно (4.11)

(4.12)

т.е. объемный вес материала модели должен быть значительно больше объемного веса материала натуры.

Во втором случае

. (4.13)

Зная механические свойства материала натуры и задаваясь соотношениями , получим значения механических свойств материала модели, которые необходимы для обеспечения подобия модели и натуры.

При изучении процесса разрушения пород в качестве определяющих характеристик механических свойств пород должны быть взяты предельные значения прочности породы при ее разрушении, которые могут быть определены путем построения огибающей кругов Мора.

Таким образом, при подборе материалов-эквивалентов в качестве определяющих характеристик прочности пользоваться совокупностью значений временного сопротивления пород на сжатие R_с и растяжения R_р или же совокупностью значений коэффициента сцепления С_о и угла внутреннего трения tgj. В этом случае необходимо соблюдать следующие равенства:

условие подобия внешних сил

(4.14)

условие подобия процессов разрушения

(4.15)

или

(4.16)

Для подобия процессов механики горных пород в области упругих деформаций соблюдаются равенства

(4.17)

где

–

модуль упругости; m– коэффициент Пуассона.

Для подобия механических процессов в массиве горных пород в области пластических деформаций во всем диапазоне напряжений начальных до разрушающих без учета влияния времени должно быть соблюдено условие

. (4.18)

При этом

где

e _п,e _у

–

пластическая и упругая относительные деформации.

Достоинством метода эквивалентных материалов следует считать возможность воспроизводить процессы неупругого деформирования и разрушения пород массива вблизи горных выработок. Необходимо также отметить, что этот метод позволяет строить объемные модели и на их основе решать трехмерные задачи петромеханики.

Указанные обстоятельства способствовали широкому внедрению метода

эквивалентных материалов в лабораторную практику: более 150 конкретных задач горной механики решено на моделях из эквивалентных материалов, причем около 30 из них – на объемных моделях.

В то же время методу моделирования на эквивалентных материалах присущи серьезные недостатки.

1. Широкий диапазон физико-механических свойств пород, слагающих моделируемый массив, трудно воспроизвести на каком-либо типе эквивалентных материалов только за счет изменения его состава, поэтому при построении модели исследователь вынужден прибегать к целому ряду эквивалентных материалов, отличающихся по своим исходным компонентам и физико-математическим свойствам, что усложняет постановку эксперимента.

2. В большинстве случаев при изготовлении модели оказывается затруднительным, а иногда и вовсе невозможным выполнить условия подобия внешних сил, процессов разрушения и процессов деформирования (упругого и пластического) так как указанные условия подобия механических характеристик модели и натуры должны удовлетворять равенствам

(4.19)

3. Изучение деформационных процессов в окружающем выработки массиве требует сооружения моделей внушительных размеров, что сопровождается значительным повышением трудоемкости самого эксперимента.

4. Достоверность и репрезентативность результатов, полученных на моделях из эквивалентных материалов, в значительной степени зависит от технологии изготовления, поэтому даже при правильно подобранных компонентах возможны существенные погрешности.

5. Модель, обеспечивающая удовлетворительную сходимость с натурой при изучении медленно протекающих процессов, не может быть использована для моделирования динамических процессов в горном массиве в силу невыполнения всех условий подобия.

6. Закладка динамометров в модель для измерения напряжений зачастую приводит к искажению напряженно-деформационного состояния изучаемого массива.

7. Измерение смещений на мелкомасштабных моделях не может быть выполнено с достаточной точностью, т.е. чувствительность серийных измерительных устройств не обеспечивает требуемую точность измерения смещений отдельных точек массива с учетом принятого масштаба.

Методы фотомеханики

Впервые в горном деле оптико-поляризационный метод исследований был применен А.К. Зайцевым и Ф.Ю., Левинсон-Лесенгом для решения задачи о наиболее рациональной форме поперечного сечения тоннеля. Эксперименты проводились на пластинках из целлулоида с различными по форме отверстиями. Цель этих опытов – выяснить влияние отверстия и его формы на характер распределения напряжений под действием приложенной внешней нагрузки. Широкое применение для решения задач горной геомеханики получил этот метод в послевоенный период.

Оптико-поляризационный метод изучения НДС реализуется в виде методов фотомеханики, рассматривающих следующие свойства.

Фотоупругость – исследование процессов упругого деформирования материалов.

Фотопластичность – исследование процессов остаточного деформирования материалов при известных предшествующих состояниях.

Фотоползучесть – исследование поведения материалов во времени под нагрузкой.

Напряженное деформированное состояние исследуемых объектов зависит от характера внешних воздействий на них до и в момент проведения экспериментов. В задачах статической фотомеханики физические воздействия, их интенсивность и направление остаются практически неизменными в течение достаточно длительного времени; силами инерции можно пренебречь.

В задачах динамической фотомеханики, наоборот, учитывается изменение характеристик при механических воздействиях во времени и влияние сил инерции.

В основе методов фотомеханики лежит эффект двойного лучепреломления, проявляющийся в оптически чувствительных материалах под воздействием механических напряжений. При просвечивании таких материалов поляризованным светом в моделях наблюдается оптическая картина, по которой судят о напряженно-деформированном состоянии моделируемого объекта.

Допустим, что в результате проведения горизонтальной выработки в массиве горных пород произойдет нарушение силового равновесия. Вокруг выработки возникает поле напряжений (рис.4.2, а), характер которого в случае однородных изотропных пород будет оставаться постоянным для любого поперечного сечения по длине выработки. Следовательно, задача может быть представлена как плоская для сечения, перпендикулярного оси выработки, которая имеет аналитическое решение.

Для изучения напряженного состояния пород вокруг выработки изготавливают модель из оптически активного материала с соблюдением условий геометрического и силового подобия. Через модель пропускают луч поляризованного света, и на экране получают поле напряжений (рис. 4.2, б) в виде линий

различных цветов и оттенков. На основании этого судят о качественной характеристике поля напряжений, о направлении векторов напряжений, о концентрации напряжений и о точках или районах, наиболее опасных с точки зрения устойчивости или прочности обнажения.

Методы фотомеханики позволяют применить и объемные модели. Так, например, при изучении оптическим методом прочности бурового инструмента и разрушаемости пород широко применяют объемные модели, на основании которых становится возможным составить тензор напряжений в контактных зонах, подойти к решению вопроса о роли ядра уплотнения в процессе воздействия бурового инструмента и о влиянии предварительных выколов и свободных поверхностей в процессе разрушения породы.

Кроме того, оптический метод позволяет оценить влияние параметров удара на разрушаемость горной породы и затупления лезвия бурового инструмента на эффективность бурения, а также помогает решить вопрос об участии волн напряжений в процессе разрушения горных пород при ударном бурении.

Методы объемной фотомеханики также применяют и для исследования статической работы подземных сооружений. В круг таких задач входит исследование напряженного состояния горного массива вокруг вертикальных и горизонтальных выработок, пройденных в слоистых породах с наклонным залеганием пластов и различными физико-механическими свойствами, исследование распределения напряжений в сопряжениях различных выработок, определение напряжений в крепях и массиве при переменном сечении выработок небольшой протяженности и т.д.

Наибольшее практическое значение имеют следующие типовые задачи механики горных пород:

I тип. Определение условий сохранения и потери устойчивости элементов массивов и сооружений при различных исходных состояниях и комплексах воздействий на них, в том числе при ведении горных работ. Элементами исследуемых объектов, устойчивость которых должна быть обеспечена, являются: поверхности подземных выработок (кровли, почвы, бока), целики, потолочные камеры и кровли лав, борты карьеров, земная поверхность. Учитывают стадийность процессов деформирования и разрушения элементов, предельные их состояния, а также видоизменения сочетаний условий.

II тип. Установлениезакономерностей взаимодействия элементов массивов между собой и с элементами сооружений, в том числе с крепями горных выработок, в зависимости от естественно-геологических условий и видов взаимодействий. Взаимодействием считается взаимозависимое изменение в пространстве и времени граничных поверхностей контакта. Вид закономерности механического взаимодействия крепи и пород, определяющий условия их совместной работы, реализуется в различных режимах, включая заданную нагрузку, заданную деформацию, взаимовлияющую деформацию, комбинированный режим.

III тип. Изучение влияния горных выработок и комплексов горных работ на окружающие породные массивы различных структур и свойств, находящиеся в различных состояниях и подвергающиеся различным воздействиям.

Основными вопросами изучения являются: установление зон опорного давления, разгрузки, сдвижений и разрушений массивов, определение очертаний и размеров защищенных зон, выяснение распространения волн напряжений, вызванных взрывами, на различные подземные и наземные объекты.

Таким образом, оптический метод исследования напряжений позволяет решать весьма сложные задачи, которые недоступны математическому анализу.

Теоретические основы оптического метода исследования упругих полей напряжений и смещений базируется на использовании закона Гука о прямой пропорциональности между напряжением и деформацией и на явлении оптической анизотропии изотропных тел, подвергнутых действию внешних сил, или при наличии внутренних напряжений. С помощью оптического метода обнаруживают не сами величины нормальных напряжений, а разность между ними, т.е. максимальные касательные напряжения

, (4.20)

где – главные нормальные напряжения.

Поэтому с помощью оптического метода определяется существенная характеристика для суждения о прочности конструкции по теории Кулона.

Второй принцип, использованный при оптическом моделировании, вытекает из общей теории света. Если, например, световой луч от обычного источника света направить на стеклянную пластинку под углом, то луч делится на две части: одна часть – отражается, другая – преломляется. Опыты показывают, что отраженный и преломленный лучи оказывается плоско-поляризованными и их колебания будут происходить в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Наибольшей поляризации световой луч достигает в том случае, если отраженный и преломленный лучи перпендикулярны друг другу (рис.4.3).

Интересными оптическими свойствами обладает ряд кристаллов (турмалин, слюда, кальций). Если кристалл кальцита поставить своим основанием на бумагу с черной точкой и посмотреть сверху, то можно увидеть два изображения точки (рис. 4.4).

В этом случае имеет место двойное лучепреломление. Ели теперь с помощью пластинки турмалина проанализировать обыкновенный и необыкновенный лучи, то оказывается, что оба луча являются плоско-поляризованными.

При этом колебания обыкновенного луча происходят в плоскости, перпендикулярной диагональной плоскости , а колебания необыкновенного луча лежат в этой плоскости , т.е. колебания лучей происходят в двух взаимно перпендикулярных плоскостях.

Явление двойного лучепреломления можно также наблюдать и в изотропных веществах под действием нагрузки. Например, сформированный или напряженный кусок стекла, целлулоида, акелита и т.д. обнаруживает все свойства двойного лучепреломления. Свойство двойного лучепреломления изотропных тел под нагрузкой (открыто Брюстером в 1816 г.) положило начало методу фотоупругости.

Как известно, при плоском напряженном состоянии тела в каждой точке имеются площадки, по которым касательные напряжения отсутствуют и действуют только главные нормальные напряжения и . Под действием этих напряжений создаются деформации, которые приводят материал к оптической анизотропии. Вследствие этого луч света, проходящий через напряженное прозрачное тело, будет разлагаться на два плоско-поляризованных луча, колебания которых лежат в двух взаимно перпендикулярных плоскостях, параллельных направлению распространения луча.

При этом распространение лучей в напряженно-деформированной пластине происходит с различными скоростями в соответствии с величинами и , что приводит к оптическому сдвигу фаз и линейной разности хода. Как показывают многочисленные опыты, разность хода в общем случае определяется по формуле

(4.21)

где и – постоянные, называемые оптическими коэффициентами деформации и напряжения, зависящими от применяемых материалов;

– толщина пластинки;

и – главные нормальные напряжения;

и – деформации в направлении главных нормальных напряжений.

Поскольку в стадии упругого деформирования материалов существует строгая пропорциональность между и , обобщенная зависимость (4.21) преобразуется к виду

. (4.22)

В этом случае выражение (4.22) согласно выражению (4.20) можно представить в виде

. (4.23)

При пластичном деформировании материалов на интерферационную картину полос решающее влияние оказывают деформации, так как напряжения на этой стадии деформации изменяются незначительно. В связи с этим зависимость (4.21) может быть представлена в виде линий

. (4.24)

Следовательно, зная толщину модели , оптическую постоянную и определив разность хода , можно установить значение максимальных скалывающих напряжений при исследовании модели в стадии упругого деформирования и относительных деформаций при изучении процессов ползучести или пластического деформирования.

Определение разности хода основывается на свойстве поляризованного света в зависимости от частоты колебаний давать различные цвета. Точно так же, как частота звукового колебания определяет высоту звука, частота светового колебания определяет качество света, которое глаз воспринимает как цвет.

Следовательно, определенной частоте колебания соответствует определенный цвет. Луч света, составленный только из одного цвета, называется монохроматическим, или однородным.

Очевидно, для каждого монохроматического света имеется вполне определенная длина волны. Так как длина волны определяется выражением

где – скорость распространения света;

– период колебания волны,

а частота колебания при этом определяется как величина, обратная периоду колебания:

то можно установить связь между частотой колебания и длиной волны, а, следовательно, и цветом света. В пустоте все лучи монохроматического света распространяются с одинаковой скоростью см/с.

Следовательно, длина волны для каждого монохроматического света будет определяться только в зависимости от частоты колебания :

. (4.25)

Поэтому, получив на экране различные цвета, можно определить, имея таблицу соотношений цвета и длины волн, величину разности хода , а следовательно, пользуясь формулой (4.126), можно получить величину максимальных касательных напряжений

, (4.26)

где – порядок полосы;

– цена полосы оптически чувствительного материала.

Разность хода может быть определена по методу сопоставления цветов, по методу полос и по методу компенсаций. При методе сопоставления цветов искомую разность хода определяют непосредственно по цветной картинке изохром, полученной при белом источнике света, и последующем сопоставлении с интерферационными цветами эталонных колец Ньютона, для которых составлена таблица. При методе полос используется монохроматический источник света и учитываются порядковый номер полосы в исследуемой области, а также цена полосы материала. При методе компенсаций к искомой разности хода, создаваемой в упругой напряженной области объекта, оператор добавляет компенсатором разность хода, равную по величине, но обратную по знаку. При результирующей разности хода, равной нулю, при скрещенных поляроидах в измеряемой точке модели наблюдается затемнение.

После этих замечаний можно приступить к рассмотрению принципа действия оптико-поляризационной установки.

Рассмотрим образец изотропного прозрачного тела, подвергнутого равномерной нагрузке (рис.4.5).

Обыкновенный луч, проходя через поляризатор 1, приобретает только вертикальные колебания и падает на образец 2, повернутый на угол к горизонтальной оси. В результате напряженного состояния образца поляризованный свет, преломляясь, распадается на два луча. Колебания лучей идут в плоскостях главных напряжений. В результате преломления в зависимости от напряженности образца лучи приобретают разные скорости распространения. Пройдя образец, лучи падают на анализатор 3, ориентированный так, что он пропускает только колебания, перпендикулярные плоскости поляризации поляризатора 1. Таким образом, через анализатор пройдут только лучи и . Так как после образца лучи вследствие разной скорости распространения получили некоторую разность хода, то следовательно и после анализатора получили некоторую разность хода между горизонтальными составляющими колебаний.

Если обозначить через амплитуду колебаний луча после поляризатора: и – амплитуды колебаний лучей после анализатора, то можно написать следующую зависимость для результирующей амплитуды колебаний после анализатора:

Значение достигается при

Интенсивность света

Максимальная интенсивность света имеет место при ^оС, давая наиболее яркую картину цветов на экране, а, следовательно, распределения, скалывающие напряжения . Кроме ярких цветов на экране получают и темные места, которые удовлетворяют одному из трех условий:

1. Свободные от напряжения точки, не дающие двух преломлений (поляризатор и анализатор скрещены, свет будет в них погашен).

2. Точки, в которых главные напряжения равны. В этих точках нет сдвига фаз, как нет и разности хода (скорости распространения лучей равны друг другу). Следовательно, амплитуды и при этом равны и тогда имеем

Это дает в результате темноту на экране. Наличие таких особых точек является весьма значительным при изучении моделей, так как в них .

3. Точки, для которых плоскости направления главных напряжений совпадают с плоскостями поляризатора и анализатора. В этом случае при 90 ^о и т.к. .

Последний случай представляет большую ценность для исследования напряжений, т.к. он дает точные сведения о направлении двух главных напряжений в любой точке образца. Следовательно, вращая образец (или поляризатор – анализатор) с одновременным отсчетом углов, для каждого угла получим систему черных точек для линий, в которые эти точки могут сливаться. В этих точках будем знать направления главных напряжений. Линии, соединяющие точки, где направления главных напряжений совпадают с плоскостями поляризации поляризатора и анализатора, называются изоклинами. Допустим, имеем изоклину 1, соответствующую углу поворота образца на угол , изоклину 2, соответствующую углу поворота образца на угол и т.д. (рис.4.6).

Проведем из точек прямые под углами к вертикали, равными соответственно и т.д. Точки пересечения прямых между собой обозначим через . Получим, таким образом, ломаные линии, которые являются изостатами (кривые направления одной из главных сил напряжения ). В каждой точке изостаты под углом 90 ^ок изолинии направлена . Таким образом, изостаты представляют собой ортогональное семейство кривых, касательные к которым совпадают с направлением главных нормальных напряжений.

Чтобы отличить темные места, соответствующие изоклинам, от тех, которые являются следствием условий 1 и 2, надо помнить, что изоклины изменяют свое положение при последовательных поворотах образца или системы поляризатора-анализатора. Точки образца, где (т.е. свободные от напряжения), при любом повороте остаются на тех же местах.

Таким образом, при исследовании образца или модели на изолированной установке получают значение , после напряжений и , а, следовательно, определяют область пониженных и повышенных напряжений.

Изучение напряжений на объемных моделях основано на методе «замораживания» напряжений (деформаций) и методе рассеянного света. Первый метод, в котором предусматривается использование обычных поляризационных установок, нашел более широкое применение. Второй требует специального оптического оборудования, промышленное изготовление которого еще не налажено.

При методе рассеянного света нагруженная модель помещается в иммерсионную жидкость и просвечивается тонкой полоской плоско-поляризованного монохроматического света большой яркости, который проходя через модель, освещает рассматриваемую плоскость внутри модели. В просвечиваемом сечении при наблюдении со стороны, перпендикулярной к плоскости сечения, видна картина полос интерференции света, связанных с коэффициентом преломления, а, следовательно, и с деформацией в каждой точке модели.

Разность квазиглавных нормальных напряжений, лежащих в плоскости, перпендикулярной к проходящему лучу, определится по формуле

(4.27)

где – квазиглавные напряжения (наибольшие и наименьшие нормальные напряжения в исследуемой плоскости);

– расстояние между полосами интерференции;

Направляя плоский пучок поляризованного света различным образом по отношению к модели, можно определить напряжение в любом сечении модели без предварительного приготовления специальных срезов, как это делается при методе «замораживания».

Метод «замораживания» основан на способности некоторых оптически активных материалов, нагруженных при нагреве и охлажденных под нагрузкой до комнатной температуры, сохранять оптический эффект после снятия нагрузки. Модели изготавливают из оптически активных материалов, имеющих двухфазную структуру. При нагревании модели из таких материалов до определенных температур, в зависимости от вида и марки материала, большая часть материала размягчается и не оказывает сопротивления прилагаемой нагрузке. Часть материала (скелет), оставшаяся в твердом состоянии, полностью воспринимает прилагаемую нагрузку, под действием которой в модели возникают деформации и напряжения. Если затем, не снимая нагрузки, модель охладить до комнатной температуры, то размягченная при нагревании часть материала затвердевает (замораживается) и будет удерживать полученную скелетом деформацию при снятии нагрузки, а также и после распиливания модели в различных направлениях на тонкие пластинки толщиной 2 – 4 мм. В дальнейшем, через каждую такую пластинку, представляющую уже плоскую модель, пропускается луч поляризованного света, и на экране получается плоское поле напряжений. В результате на основании просвечивания поляризованным светом всех пластинок получим объемную картину распределения напряжений в модели, соответствующую характеру распределения напряжений в натуре.

Оптический эффект, получающийся при прохождении поляризованного света через объемную модель, связан с понятием квазиглавных напряжений и . При нормальном просвечивании среза (пластинки) квазиглавные напряжения и действуют так же, как главные напряжения и в плоской модели.

Квазиглавные напряжения могут быть выражены через неглавные напряжения, действующие в той же плоскости, аналогично плоской задаче. Например, для плоскости , нормальной к оси , напряжения , отнесенные к осям и , связаны с разностью квазиглавных напряжений соотношениями:

(4.28)

, (4.29)

где – угол между направлением и направлением квазиглавного напряжения .

Поляризованный луч света, пройдя пластинку с «замороженными» напряжениями, приобретает некоторую разность хода , пропорциональную разности квазиглавных напряжений (), лежащих в плоскости, перпендикулярной к оси распространения света:

, (4.30)

или выражая разность хода через число полос, получаем

, (4.31)

где – длина волны применяемого света;

– число полос.

Таким образом, полученные из объемной модели, исследуют аналогично

плоской модели.

Подобие при оптическом методе. При изучении оптических явлений с

помощью оптического метода необходимо так же, как при других методах моделирования физических явлений, соблюдать подобие соответственных одноименных параметров и комплексов. Установление связей между константами подобия и выявление критериев подобия находят из анализа размерностей самых общих уравнений, описывающих изучаемое явление. Поэтому в зависимости от постановки задачи: изучается ли процесс резания, удара или статического давления, для каждого процесса должны быть установлены значения критериев и множителей подобия.

Например, при моделировании задач в стадии упругого деформирования, связанных с установлением общей картины напряженно-деформированного состояния массива горных пород при разработке месторождений полезных ископаемых, необходимо обеспечить условия подобия и применять для перехода от модели к натуре исходя из зависимостей, приведенных в табл. 4.1.

Таблица 4.1

Действующие нагрузки	Условия подобия
смещения	деформации	напряжения
Объемные силы тяжести
Объемные центробежные силы
Распределенная нагрузка по площади
Распределенная нагрузка по длине
Сосредоточенные силы
Примечание. – масштаб центрифугирования; , – радиус вращения; – угловая скорость; – ускорение силы тяжести.

Временное условие подобия определяется исходя из выражения

, (4.32)

где – множитель подобия вязкости.

Выполнение граничных условий достигается при равенстве коэффициентов бокового распора:

. (4.33)

При моделировании задач горной механики в стадии пластического деформирования горных пород помимо требований геометрического и силового подобия, приведенного в табл., должны быть выполнены дополнительные требования:

, . (4.34)

Кроме того, должны быть подобными кривые для материалов модели и натуры.

Метод фотопластичности основан на способности полимерных материалов переходить при определенных условиях напряжений из упругого состояния в пластическое и сохранять остаточные деформации после снятия внешних нагрузок. Поэтому при фотопластичности в основном используют модели с «замораживанием» напряжений.

Моделировать ползучесть массива горных пород более сложно, чем процессы упругого или пластического деформирования, так как необходимо соблюдать условия подобия как в первый момент после нагружения, так и в процессе ползучести. Условия подобия определяются исходя из анализа уравнений равновесия, соотношений Коши, связывающих напряжения с деформациями, граничных условий совместности деформаций и уравнений состояния.

Как показали исследования, масштаб напряжений в области линейной ползучести не зависит от параметров, характеризующих физико-механические свойства среды. Он определяется, как в случае упругой задачи, соотношением

. (4.35)

Коэффициенты силового и геометрического подобия могут быть произвольными. Обычно их выбирают исходя из удобства проведения экспериментов.

Дополнительные критерии подобия, связанные с реологическими свойствами горных пород, выводят в зависимости от принятого уравнения состояния, анализируя размерности. Например. для уравнения линейно-наследственной ползучести Больцмана-Вольтерра:

, (4.36)

. (4.37)

На основании аппроксимирующей функции определяются ядра ползучести и релаксации и реологические параметры и уравнения состояния.

В этом случае дополнительными требованиями к условию подобия (4.149) являются

(4.38)

и (4.39)

где – безразмерный параметр;

– имеет размерность .

Сходственные моменты времени, когда поля напряжений в натуре и модели подобны, определяют из условия

(4.40)

Для ядра в виде дробно-экспоненциальной функции (ядра Работнова) критерии подобия

(4.41)

Масштаб времени определяют на основании

, (4.42)

где – время ретардации (последствия), которое принимается за единицу измерения,

. (4.43)

При изучении напряженно-деформированного состояния массива горных пород и крепи выработок в натурных условиях известное применение получил метод фотоупругих элементов и покрытий.

Для измерения напряжений и деформаций исследуемого объекта на его поверхность наносят или наклеивают тонкий слой оптически чувствительного материала – фотоупругого покрытия, который деформируется упруго независимо от характера деформирования исследуемого объекта. Измерение разности хода поляризованных лучей в покрытии позволяет определить на основании основного закона фотомеханики, разность главных деформаций или разность главных напряжений и их направления в исследуемой точке.

Связь между напряжениями в исследуемом объекте и фотоупругом покрытии определяется зависимостью

. (4.44)

Для раздельного определения главных напряжений и или главных деформаций применяют известные в фотомеханике методы – интегрирования уравнений равновесия плоской задачи, косого (наклонного) просвечивания покрытия, электроаналогии, а также способы измерения поперечных деформаций и абсолютных разностей хода с помощью квантовых оптических генераторов (лазеров).

При разделении напряжений с помощью наклонного просвечивания фотоупругого покрытия возможны два случая: одно нормальное и одно наклонное просвечивание либо только два наклонных. В первом случае напряжения определяют из выражений:

; (4.45)

во втором

, (4.46)

где – угол наклонного просвечивания.

При исследовании объектов, находящихся в условиях плоско-напряженного состояния, компоненты деформаций и напряжений определяют с помощью наклейки двух фотоупругих датчиков в непосредственной близости друг от друга, что при отсутствии высоких градиентов деформаций соответствует измерению напряжений в одной точке исследуемого объекта, при этом один датчик наклеивают по всей площади, а второй – лишь по концам, аналогично наклейке одноосного фотоупругого тензометра.

Определение параметра изоклины и относительной разности хода поляризованных лучей в первом датчике в сочетании с измерениями относительной разности хода лучей во втором датчике позволяют найти компоненты тензора напряжений , а также главные нормальные напряжения .

Таким образом, цветные полосы на экране полярископа представляют собой линии равных максимальных касательных напряжений исследуемой модели. Эти линии называют изохромами. Картину изохром, получаемую в поле анализатора, можно визуально наблюдать и фотографировать (рис.14.5а).

Рис. 14.5 Изохроматическая картина полос в оптических моделях:

а) кольцевая крепь; б) крепь трапециевидной формы.

В некоторых точках исследуемой модели плоскость колебания луча совпадает с направлением какого-либо из главных нормальных напряжений. В таких точках двойного лучепреломления не происходит. Если плоскости поляризации поляризатора и анализатора взаимно перпендикулярны, т.е. скрещены,то лучи в указанных выше точках модели через анализатор не проходят. В результате на экране появляются черные линии, пересекающие цветную картину изохром. Эти линии суть геометрических мест точек, в которых направления главных нормальных напряжений параллельны между собой. Такие линии называют изоклинами.

Поворачив