Криволинейная анизотропия. Обобщенный закон Гука

Пусть рассматриваемое нами упругое однородное тело является криволинейно анизотропным, т.е. эквивалентными, с точки зрения упругих свойств, являются не параллельные направления, проведенные через различные точки тела, а направления, которые подчиняются иным закономерностям. Выбирая систему криволинейных координат так, чтобы в каждой точке упруго-эквивалентные направления совпадали с координатными направлениями, замечаем, что бесконечно малые элементы, выделенные в разных точках тела тремя парами координатных поверхностей, будучи анизотропными, обладают одинаковыми упругими свойствами.

Считаем, что рассматриваемое сплошное упругое тело испытывает малые деформации и подчиняется обобщенному закону Гука. В общем случае однородного криволинейно анизотропного тела обобщенный закон Гука в рассматриваемой системе триортогональных координат имеет вид:

(1.12)

где – упругие постоянные (коэффициенты деформаций); независимых упругих постоянных всего 21; через технические постоянные они выражаются следующим образом:

где – модули Юнга соответственно по направлениям ;

– модули сдвига для плоскостей, в каждой точке параллельных к координатным поверхностям , , ;

– коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в направлении осей координат (первый индекс показывает направление поперечного сжатия, второй – направление действия силы);

– коэффициенты Ченцова, характеризующие сдвиги в плоскостях, касательных к координатным поверхностям, вызванные касательными напряжениями, действующими в плоскостях, касательных к другим координатным поверхностям;

– коэффициенты взаимного влияния первого рода, которые характеризуют сдвиги в плоскостях, касательных к координатным поверхностям, вызванные нормальными напряжениями;

– коэффициенты взаимного влияния второго рода, которые характеризуют изменения в направлении координат, вызванные касательными напряжениями.

Приведенные выше в сгруппированном виде коэффициенты упругости представлены по классификации, предложенной П. Бехтеревым (римские цифры указывают номера групп).

Для упругого потенциала, отнесенного к единице объема тела имеем

(1.13)

На основании (1.12) можно представить и в билинейной форме

(1.14)

Потенциальная энергия деформации для всего тела определяется интегрированием по всему объему тела

(1.15)

Если имеется какая-либо симметрия во внутреннем строении материала анизотропного тела, то в упругих свойствах его обнаруживается некоторая упругая симметрия, т. е. существует симметричные направления, относительно которых упругие свойства материала оказываются одинаковыми; в этом случае симметричные направления называются эквивалентными.

Когда анизотропное тело обладает упругой симметрией, то уравнение обобщенного закона Гука упрощается. Приведем некоторые наиболее важные случаи упругой симметрии

1. Плоскость упругой симметрии. Пусть в каждой точке тела имеется плоскость, обладающая тем свойством, что любые два направления, симметричные относительно этой плоскости эквивалентны в отношении упругих свойств. Предполагая, что координата в каждой точке криволинейно анизотропного тела перпендикулярна к плоскости упругой симметрии (т.е. плоскость симметрии в каждой точке параллельна к координатной поверхности ), уравнения обобщенного закона Гука имеют вид

;

;

; (1.16)

;

;

;

В этом случае число независимых упругих постоянных равно тринадцати.

Уравнения (1.16) могут быть представлены в виде

;

;

; (1.17)

;

;

Здесь и в дальнейшем буквенные индексы технических постоянных заменяются цифровыми: на 1, – на 2 и – на 3.

Технические постоянные в (1.17) обозначены

– модули Юнга соответственно по направлениям ;

– модули сдвига для плоскостей, в каждой точке параллельных к координатным поверхностям , , ;

– коэффициенты Пуассона, характеризующие поперечное сжатие при растяжении в направлении осей координат (первый индекс показывает направление поперечного сжатия, второй – направление действия силы);

– коэффициенты Ченцова, характеризующие сдвиги в плоскостях, касательных к координатным поверхностям, вызванные касательными напряжениями, действующими в плоскостях, касательных к другим координатным поверхностям;

– коэффициенты взаимного влияния первого рода, которые характеризуют сдвиги в плоскостях, касательных к координатным поверхностям, вызванные нормальными напряжениями;

– коэффициенты взаимного влияния второго рода, которые характеризуют изменения в направлении координат, вызванные касательными напряжениями.

Направления, перпендикулярные к плоскости упругой симметрии, называются главными направлениями упругости. В рассматриваемом случае упругой симметрии через каждую точку тела проходит одно главное направление.

2. Три плоскости упругой симметрии. Пусть через каждую точку тела проходит три взаимно ортогональных плоскости упругой симметрии. Предположим, что в каждой точке криволинейно анизотропного тела эти плоскости перпендикулярны к соответствующим ортогональным координатным направлениям (т.е. все три плоскости упругой симметрии в каждой точке тела параллельны к координатной поверхности , , ), имеем следующие уравнения обобщенного закона Гука:

(1.18)

В этом случае число независимых упругих постоянных равно девяти.

Уравнение (1.18) могут быть представлены и следующим образом:

; ;

; (1.19)

; ;

Здесь в силу симметрии уравнений (1.19) существуют зависимости

, , (1.20)

Тело, у которого в каждой точке имеется три взаимно перпендикулярные плоскости упругой симметрии, называется ортогонально анизотропным или ортотропным.

3. Плоскость изотропии. Пусть через каждую точку тела проходит плоскость, в которой все направления упруго эквивалентны. Предполагая, что в криволинейно анизотропном теле координата в каждой точке перпендикулярна к плоскости изотропии (т.е. плоскость изотропии в каждой точке параллельна к координатной поверхности ), имеем следующие уравнения обобщенного закона Гука:

(1.21)

В этом случае число независимых упругих постоянных равно пяти.

Уравнение (1.21) могут быть представлены и следующим образом:

; ;

; ; (1.22)

; .

Здесь – модуль Юнга для направлений в плоскости изотропии;

– модуль Юнга для направлений, перпендикулярных к плоскости изотропии;

– коэффициент Пуассона, характеризующий сужение в плоскости изотропии при растяжении в этой же плоскости;

– коэффициент Пуассона, характеризующий сужение в плоскости изотропии при растяжении в направлении, перпендикулярном к этой же плоскости;

– модуль сдвига для плоскостей, нормальных к плоскости изотропии;

– модуль сдвига для плоскостей, параллельных плоскости изотропии.

Тело, обладающее указанными упругими свойствами, называется трансверсально изотропным. В рассматриваемом случае упругой симметрии направление, перпендикулярное к плоскости изотропии, и все направления в этой плоскости, являются главными.

4. Полная симметрия – изотропное тело. Здесь все направления эквивалентны, и любая плоскость в любой точке тела есть плоскость упругой симметрии. Уравнение обобщенного закона Гука имеют вид

; ;

; ; (1.23)

; .

Из (1.13) и (1.10) легко получить выражения потенциальной энергии и в любом частном случае анизотропии.