Задача 1.
Исследовать функцию 
и построить ее график.
1) Данная функция существует при любых значениях 
, т.е. 
.
2) Т.к. область определения функции симметрична относительно начала координат, то проверим функцию на четность (нечетность), для этого составим 
. Поскольку не выполняется ни равенство 
, ни 
, то функция общего вида.
3) Найдем точки пересечения графика функции с осями координат. Чтобы найти точки пересечения с 
, решим уравнение 
. Выпишем целые делители свободного члена уравнения 6: 
. Из них подбором найдем первый корень уравнения: 
: 1 – 2 – 5 +6 = 0. Далее используем теорему Безу: если 
корень многочлена n -ой степени 
, то его можно представить в виде: 
, где 
– многочлен степени 
. В нашем случае 
, 
, чтобы найти , разделим 
на 
.
Чтобы найти другие корни, решим уравнение 
, его корни 
. Итак, график функции пересекает при 
.
Ось ординат 
график пересекает при 
.
4) Определим промежутки знакопостоянства функции.
Для этого нанесем на числовую ось нули функции и определим знак функции в полученных интервалах. При вычислении значений функции удобно использовать формулу:
|
.
Для рассматриваемой в примере функции: 
.
5) Исследуем наличие асимптот. Составим пределы:
а) для горизонтальной асимптоты
.
б) для наклонной асимптоты
.
Т.к. составленные пределы равны 
или 
, то ни горизонтальной, ни наклонной асимптот нет. Вертикальных асимптот нет, т.к. функция не имеет точек разрыва и везде существует.
6) Найдем промежутки возрастания и убывания, экстремумы.
Для этого найдем производную функции 
и ее критические точки из условия 
; 
; 
.
;
.
7) Найдем участки выпуклости и вогнутости графика функции.
Из условия 
найдем критическую точку 
. Нанесем ее на числовую ось и определим знак второй производной, по которому определим промежутки выпуклости и вогнутости.
Отметив характерные точки: экстремумы, точки пересечения с осями координат, строим график функции.
Задача 2.
Требуется сделать из жести открытый жёлоб, имеющий в сечении форму равнобочной трапеции, у которой основание и боковые стороны имеют длину 
. Какова должна быть ширина желоба наверху, чтобы он вмещал наибольшее количество воды?
На рисунке изображено поперечное сечение такого желоба. Чтобы жёлоб вмещал наибольшее количество воды, площадь сечения должна быть наибольшей. Используя формулу площади трапеции и указанные на рисунке обозначения, можем написать:
.
Найдем производную составленной функции:
.
Приравняв производную 0, найдем критические точки:
Первая критическая точка не принадлежит области определения функции, поэтому исследуем знак производной вблизи второй критической точки.
Для определения знаков производной были найдены ее значения при 
и 
.
Поскольку 
– точка единственного экстремума и этот экстремум – максимум, значит, в нем достигается наибольшее значение площади. Следовательно, размер жёлоба наверху должен быть равен 
.
Задача 3.
Проверить, удовлетворяет ли функция 
уравнению 
.
Найдем частные производные заданной функции 
и 
и подставим их в левую часть заданного уравнения:
.
После несложных преобразований убеждаемся, что левая часть уравнения равна правой, т.е. функция удовлетворяет уравнению
Задача 4
Даны три набора значений функции 
. Представить их на графике и выбрать вид функции, наилучшим образом описывающей каждую зависимость. С помощью метода наименьших квадратов найти числовые параметры выбранных функциональных зависимостей.
| xi | ||||||||||
| yi | –0,6 | 1,1 | 2,7 | 3,7 | 5,9 | 7,1 | 8,3 | 10,5 | 11,5 | 12,8 |
| yi | ||||||||||
| yi | 7,5 | 2,5 | 0,5 | 1,1 | –0,5 | –1,2 | –1,2 | –1,7 | –1,5 | –1 |
|
Исследуем первую зависимость, представленную первой и второй строками таблицы. Нанесем табличные данные на график.
Расположение точек ближе всего к графику линейной функции – прямой. Поэтому для первой зависимости выбираем функцию
.
Вычислим суммы:
;
.
Используя формулы (1) и (2) из раздела 5, найдем
Нанесем прямую, описываемую данной функцией, на график по двум точкам:
Табличные точки располагаются вблизи полученной прямой, значит вид функции выбран удачно.
2) Исследуем вторую зависимость, представленную первой и третьей строками таблицы. Нанесем табличные данные на график.
|
Расположение точек позволяет сделать вывод: функция при малых значениях переменной (x < 5) меняется слабо, а при больших значениях – резко возрастает, что свидетельствует в пользу выбора экспоненциальной зависимости
.
Проведем необходимые вычисления.
;
Заполним таблицу значениями функции.
| x | ||||||||||
| 3,3 | 5,4 | 9,0 | 14,8 | 24,4 | 40,2 | 66,2 | 109,2 | 180,0 | 296,8 |
Нанесем полученные точки на график и соединим плавной линией, которая весьма удовлетворительно соответствует исходным данным.
|
3) Исследуем третью зависимость, представленную первой и четвертой строками таблицы. Нанесем табличные данные на график. Сильное изменение функции при небольших 
и очень незначительное при больших 
указывает на возможность выбрать для данного случая гиперболическую зависимость 
.
Выполним необходимые вычисления:
;
;
;
;
;
;
;
.
Составим таблицу значений функции.
| x | ||||||||||
|
| 7,5 | 2,5 | 0,8 | 0,0 | –0,5 | –0,8 | –1,1 | –1,3 | –1,4 | –1,5 |
Нанесем рассчитанные значения на график и соединим плавной линией. Точки, соответствующие исходным данным хорошо группируются вблизи проведенной линии, значит, зависимость выбрана удовлетворительно.
Задача 6.
Найти площадь, ограниченную заданными линиями: 
Фигура, площадь которой нужно найти, изображена на рисунке. Площадь такой плоской фигуры 
равна разности площадей двух криволинейных трапеций 
и 
и определяется по следующей формуле:
где 
– функция, график которой ограничивает фигуру сверху;
– функция, график которой ограничивает фигуру снизу; 
и 
– значения 
, при которых графики пересекаются (
). В нашем случае, 
.
Точки пересечения найдем из условия: 
или 
.
Решение квадратного уравнения дает: 
Составим и вычислим интеграл:
Список литературы
1. Ильин, В.А. Математический анализ. Продолжение курса: учебник для студентов вузов /В.А. Ильин, В.А. Садовничий, Б.Х. Сендов; под ред. А.Н.Тихонова. – М.:МГТУ, 1987. – 358 с.
2. Численные методы: учеб. пособие для вузов /В.М. Заварыкин, В.Г. Житомирский, М.П. Лапчик. – М: Просвещение, 1990. – 176 с.
3. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике: учеб. пособие для вузов /А.П. Рябушко, В.В. Бархатов, В.В. Державец, И.Е. Юруть. – Минск: Выш. шк., 1991. – 352 с., ил.
