До сих пор здесь рассматривалась консервативная система, в которой отсутствуют потери энергии колебаний. В действительности же при всех колебаниях системы в ней имеет место трение, при котором энергия колебаний превращается в тепло и рассеивается в окружающее пространство. Более того, в тех случаях, когда конструкторы заинтересованы в быстром уменьшении амплитуд колебания в системе, они в конструкциях, подверженных колебаниям, специально устанавливают гасители колебаний. В частности, в рессорном подвешивании вагонов всегда предусматривается гашение колебаний тем или иным путем, а чаще всего прямой постановкой специальных гасителей колебаний. Описание конструкций гасителей колебаний в рессорном подвешивании вагонов дано в курсе «Конструкции вагонов».
Сначала рассмотрим свободные колебания системы с одной степенью свободы и гидравлическим гасителем колебаний (сила пропорциональна скорости).
Уравнение движения:
(2.1)
Разрешим это уравнение относительно старшей производной и приведем к нормальной форме – к системе дифференциальных уравнений, каждое из которых первого порядка.
Для этого введем обозначения: z=q1, 
=q2.
В нормальной форме математическая модель имеет вид: 
(2.2)
Решение этой системы ищем в виде следующих функций: 
(2.3)
Подставив функции (2.3) в систему (2.2), перенеся все члены влево и прировняв коэффициенты при 
к нулю, получим следующую систему однородных алгебраических уравнений:
(2.4)
Система (2.4) имеет ненулевое решение относительно неизвестных A1 и A2 только в случае равенства нулю её определителя:
(2.5)
Полученный определитель называется характеристическим. Раскрыв его получим характеристическое уравнение:
Если s равно одному из корней характеристического уравнения, то условие (2.5) будет выполнено. Корни этого уравнения при условии — 
являются комплексно-сопряженными числами и определяются выражениями — 
(2.6)
Величина параметра β называется критической, если её определить из условия равенства нулю подкоренного выражения в (2.6),то есть
или 
, где 
– собственная частота одноосного вагона без трения в подвешивании.
Введем понятие коэффициента относительного демпфирования D как отношение параметра β к его критической величине: D=β/βкр. Используя понятия и выражения, определяющие λ и D, выражения для корней характеристического уравнения приведем к виду
(2.7)
Используя выражения (2.7), решение исходного уравнения (2.1) представим суммой частных решений, соответствующих s1 и s2:
где 
, 
– начальные условия (смещение и скорость смещения кузова при t=0).
Если принять начальную скорость равной нулю ( =0), и сложить гармонические составляющие процесса, то решение примет вид
(2.8)
Введя обозначения:
 | |||||
 | |||||
 | |||||
(2.9)
решение можно представить в более компактной форме
(2.10)
 |
Графически процесс затухающих колебаний соответствующих решению (2.10) представлен на рис. 2.2.
Рис. 2.2. Процесс затухающих колебаний
Скорость затухания этого процесса оценивается следующими его характеристиками: коэффициентом затухания – ψ, равным отношению амплитудных отклонений процесса, сдвинутых по времени на один период и логарифмическим декрементом – δ. Выражения, определяющие эти характеристики можно представить в виде
, (2.11)
Из соотношений (2.11) следует, что амплитудные отклонения кузова в прцессе затухающих колебаний изменяются по закону геометрической прогрессии, то есть последующее отклонение равно произведению предыдущего на постоянное число – знаменатель прогрессии. Если рассматривать амплитудные отклонения в одном направлении от положения равновесия, то знаменателем прогрессии будет - 
, если в обоих – 
. Соотношения между членами прогрессии в этих случаях будут представляться, соответственно:
или (2.12)
Коэффициентом затухания можно пользоваться для оценки скорости затухания процесса, однако, более часто для этой цели пользуются логарифмическим декрементом – δ,
=δ. (2.13)
Простейшие преобразования дают возможность получить следующие соотношения между δ и D:
. (2.14)
Разрешив выражение (2.14) относительно D будем иметь
(2.15)
Таким образом, "вязкое" трение существенно влияет на следующие динамические свойства вагона (свойства вагона как динамической системы):
Скорость затухания свободных колебаний;
Величину частоты свободных колебаний (собственной частоты).
