Двоичная, десятичная и шестнадцатеричная системы

Значение числа, представленного конечной дробью, в n-ичной системе счисления

a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k,

где «,» – разделитель целой и дробной частей; a_i, i = –k, m; или с явным указанием основания системы счисления

(a_ma_m–1…a₁a₀,a_–1a_–2…a_–k)_n,

определяется по формуле

a_mn^m + a_m–1n^m–1 + … + a₁n¹ + a₀n⁰ +

+ a_–1n^–1 + a_–2n^–2 + … + a_–kn^–k =

В информатике и вычислительной технике широко используются следующие системы счисления:

- двоичная n = 2; используемый алфавит: A = {0, 1}; например, 0111000₂;

- десятичная n = 10; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}; например, 102₁₀; в дальнейшем числа без указания основания системы счисления будем считать десятичными;

- шестнадцатеричная n = 16; используемый алфавит: A = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}; цифры A, B, C, D, E, F имеют десятичные количественные эквиваленты 10, 11, 12, 13, 14, 15 соответственно; например, AB034D₁₆.

Представление цифр в двоичной, десятичной и шестнадцатеричной системах счисления представлено в таблице.

Десятичная	Двоичная	Шестнадцатеричная
		A
		B
		C
		D
		E
		F

В вычислительной технике используется двоичная система счисления, то есть все числа и данные представляются в виде последовательности нулей и единиц (бит). Двоичная система счисления обладает следующими преимуществами перед системами счисления с другими основаниями:

- для реализации двоичных цифр необходимы технические устройства с двумя устойчивыми состояниями: «ток есть» – «ток отсутствует», «намагничено» – «не намагничено» и т. п., а не с десятью – как в десятичной системе счисления;

- представление информации посредством только двух состояний надежно и помехоустойчиво;

- для выполнения арифметических операций используется простой аппарат алгебры высказываний (булевой алгебры).

В вычислительной технике процессы ввода, вывода и обработки числовых данных связаны с преобразованием чисел из одной системы счисления в другую. Поэтому рассмотрим правила перевода чисел одной системы счисления в систему счисления с другим основанием.

Перевод целого или дробного числа из n-й системы счисления в десятичную - число из n-й системы счисления в десятичную переводится с использованием формализованного представления числа.

Перевод целых чисел

Правила перевода числа в другую, не десятичную систему счисления различаются для целых и дробных чисел.

Перевод целого числа X осуществляется по следующему алгоритму:

1) получить цифру числа n-ой системы счисления как остаток от деления числа X на основание новой системы счисления n; полученную цифру приписать слева от имеющихся цифр;

2) принять за X частное от деления числа X на основание системы счисления n;

3) выполнять шаги 1-2, пока X ¹ 0.

Пример. Перевести число 25 в двоичную систему счисления.

Решение. Удобно представить перевод числа в виде столбца, каждая строка которого содержит частное и остаток от деления числа X на основание двоичной системы счисления n = 2.

В результате получим число 11001₂ – результат перевода числа 25 в двоичную систему счисления. □

Перевод из шестнадцатеричной в двоичную систему счисления - каждая цифра шестнадцатеричного числа заменяется тетрадой (четырьмя битами), являющейся представлением этой цифры в двоичной системе счисления.

Пример. Перевести число 3BC₁₆ в двоичную систему счисления.

Решение. Цифра 3₁₆ представляется числом 0011₂, B₁₆ – 1011₂, C₁₆ – 1100₂. Тогда результат перевода числа 3BC₁₆ в двоичную систему счисления будет равен 001110111100₂. □

Перевод из двоичной в шестнадцатеричную систему счисления - двоичное число делится на тетрады справа налево. Каждая тетрада заменяется соответствующей ей цифрой. Если самая левая тетрада неполная, то есть содержит меньше четырех цифр, то слева от числа дописываются нули.

Пример. Перевести число 1110111100₂ в шестнадцатеричную систему счисления.

Решение. Разделим число на тетрады и поставим в соответствие каждой тетраде шестнадцатеричную цифру. В самой левой тетраде только две единицы, поэтому дополним ее слева двумя нулями.

¯	¯	¯
¯	¯	¯
	B	C

В результате получаем число 3BC_16. С помощью шестнадцатеричной системы счисления удобно записывать значения байт, так как восемь бит записываются двумя шестнадцатеричными цифрами. Например, число 11110001₂ будет записано как число F1₁₆.

Перевод дробных чисел

Если при переводе конечной дроби в другую систему счисления получается конечная дробь, то такой перевод называется точным. Если при переводе получается бесконечная дробь, тогда перевод называется приближенным.

Перевод дробных чисел из n-й в десятичную систему счисления - вещественное число переводится из n-й в десятичную систему счисления с использованием формализованного представления числа.

Перевод дробных чисел с нулевой целой частью из десятичной в n-ую систему счисления - дробное число X, у которого целая часть равна 0, переводится из десятичной в n-ую систему счисления по следующему алгоритму:

1) умножить X на n;

2) получить цифру как целую часть числа X и приписать ее справа от имеющихся цифр;

3) обнулить целую часть числа X;

4) выполнять шаги 1-3, пока X ¹ 0 (при точном переводе) или до получения нужного количества цифр в дробной части (при приближенном переводе с заданной точностью).

Пример. Перевести число 0,6875 в двоичную систему счисления.

Решение. Вновь схему перевода запишем в виде столбца.

На последнем шаге перевода получена единица. После обнуления целой части получим 0. Значит, перевод закончен. Результат перевода числа 0,6875 в двоичную систему счисления – число 0,1011₂.

Если бы нам было необходимо получить дробную часть с точностью до 3 знаков, то процесс перевода был бы остановлен после получения 3 цифр в дробной части. □

Перевод дробных чисел с ненулевой целой частью из десятичной в n-ую систему счисления - при переводе дробных чисел из десятичной в n-ую систему счисления отдельно переводятся целая и дробная части.

Десятичная система счисления может использоваться в качестве промежуточного этапа при переводе чисел из одной системы счисления в другую. Приведенные в этой главе правила позволяют перевести числа из одной системы счисления в десятичную, а из нее – в любую другую системы счисления

Логические основы ЭВМ

Принципы работы ЭВМ основываются на законах математической логики, поэтому ее элементы широко используются для поиска и обработки информации и при разработке схем электронных устройств.

Математическая логика – это наука о формах и способах мышления и их математическом представлении.

Высказывание - повествовательное предложение, относительно которого определенно и объективно можно сказать истинно оно или ложно (ЛОЖЬ или ИСТИНА, 0 или 1, TRUE или FALSE).

Алгебра логики – раздел математики, изучающий процессы умозаключений и законы, которые позволяют из истинности одних высказываний делать заключения об истинности или ложности других высказываний, независимо от их конкретного содержания.

Умозаключение позволяет из известных фактов (истинных высказываний) получать новые факты. Например, из факта «Все углы треугольника равны» следует истинность высказывания «Этот треугольник равносторонний».

Алгебра логики (булева алгебра) была создана в 1854 г. Дж. Булем и в настоящее время находит широкое применение при разработке алгоритмов и для структурно-функционального описания, анализа и синтеза современных электронных схем.