Глава 4
Траектория, уравнение движения точки АТТ
Точки вращающейся АТТ, находящиеся на оси вращения, неподвижны, а остальные описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, центры лежат на оси, а радиусы равны h — кратчайшему расстоянию от точек до оси вращения.
У движения точки вращающейся АТТ в виде:
. (6.1)
Скорость точки АТТ
, т.е.
. (6.2)
Так как скорость- это вектор, то
. (6.3)
Соотношение (6.3) называется векторной формулой Эйлера.
Рис. 13
Ускорение точки АТТ
и 
,
т.е.
, (6.4) 
. (6.5)
(6.6) 
.(6.7)
. (6.8)
. (6.9)
. (6.10)
Соотношение (6.8) примет вид:
. (6.11)
7. Плоскопараллельное движение АТТ
Определение
Определение: Плоскопараллельным движением АТТ называется такое движение, при котором все ее точки движутся в плоскостях, параллельных какой-либо неподвижной плоскости (рис. 14).
Плоскость П0 - неподвижная плоскость. Плоскости П1 и П2 - плоскости, параллельные неподвижной плоскости П0.
Рис. 14
Геометрический метод рассмотрения движения плоской фигуры в ее плоскости
Теорема Шаля 1: Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в другое может быть представлено как сумма двух перемещений: поступательного вместе с произвольной точкой, выбранной в качестве полюса, и вращательногоотносительно этого полюса. При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а вращательное от него не зависит.
Под вращательным перемещением плоской фигуры относительно полюса понимается вращательное перемещение этой плоской фигуры вместе с АТТ, сечением которой является эта плоская фигура, относительно оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоской фигуре (или плоскости П0).
Доказательство: На рис. 14 изображены два положения плоской фигуры и отрезка ВD в моменты времени t1 и t2: соответственно В1D1 и В2D2.
Выберем в качестве полюса точку D. Отрезок В1D1 перемещаем поступательно (т.е. параллельно самому себе) в положение 
, а затем поворачиваем вокруг полюса на угол 
. Точка 
попадет в точку В2, так как длина отрезка ВD неизменна. Первая часть теоремы доказана.
Для доказательства второй части теоремы в качестве полюса выберем точку В. Отрезок В1D1 перемещаем поступательно (т.е. параллельно самому себе) в положение 
, а затем поворачиваем вокруг полюса на угол 
. На рис. 15 видно, что поступательные составляющие перемещений отрезка ВD различны при выборе в качестве полюсов В и D (D1D2 
В1В2), а вращательные составляющие равны, так как 
, как накрестлежащие углы при двух параллельных и одной секущей.
Рис. 15
Поскольку поступательная часть перемещения плоской фигуры с изменением полюса меняется, оказывается возможным выбрать полюс так, чтобы эта часть перемещения вообще отсутствовала.
Теорема Шаля 2: Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в другое может быть представлено как конечный поворот этой фигуры относительно определенного центра вращения.
Конечный поворот плоской фигуры относительно определенного центра вращения понимается в том же смысле, что и вращательное перемещение этой плоской фигуры в теореме Шаля 1.
Доказательство: На рис. 16 изображены два положения отрезка ВD в моменты времени t1 и t2: соответственно В1D1 и В2D2.
Соединим точки В1 и D1 соответственно с точками В2 и D2 и из середин отрезков В1В2 и D1D2 восстановим перпендикуляры. Точка пересечения этих перпендикуляров О — центр вращения (как будет доказано ниже).
, так как 
и 
, как наклонные, равноудаленные от перпендикуляра.
Из равенства треугольников следует, что 
.
Рис. 16
После поворота 
на 
относительно точки О отрезок ОВ1 совпадает с отрезком ОВ2, одновременно ОD1 отрезок должен совпасть с отрезком ОD2, так как
, т. е.
,
и, как следствие, отрезок В1D1 совпадет с отрезком В2D2.
Таким образом, перемещение отрезка ВD из положения В1D1 в положение В2D2 представлено конечным поворотом относительно центра О.
Из доказанных теорем следует, что всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в другое может быть представлено двумя способами: либо суммой поступательного и вращательного движений либо одним вращательным движением.
