Геометрический метод рассмотрения движения плоской фигуры в ее плоскости

Глава 4

Траектория, уравнение движения точки АТТ

Точки вращающейся АТТ, находящиеся на оси вращения, неподвижны, а остальные описывают окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, центры лежат на оси, а радиусы равны h — кратчайшему расстоянию от точек до оси вращения.

У движения точки вращающейся АТТ в виде:

. (6.1)

 

Скорость точки АТТ

 

, т.е.

 

. (6.2)

Так как скорость- это вектор, то

. (6.3)

 

Соотношение (6.3) называется векторной формулой Эйлера.

 

Рис. 13

 

Ускорение точки АТТ

 

и ,

т.е.

, (6.4) . (6.5)

 

(6.6) .(6.7)

 

. (6.8)

 

. (6.9)

 

. (6.10)

Соотношение (6.8) примет вид:

. (6.11)

 

7. Плоскопараллельное движение АТТ

Определение

Определение: Плоскопараллельным движением АТТ называется такое движение, при котором все ее точки движутся в плоскостях, параллельных какой-либо неподвижной плоскости (рис. 14).

Плоскость П₀ - неподвижная плоскость. Плоскости П₁ и П₂ - плоскости, параллельные неподвижной плоскости П₀.

Рис. 14

Геометрический метод рассмотрения движения плоской фигуры в ее плоскости

Теорема Шаля 1: Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в другое может быть представлено как сумма двух перемещений: поступательного вместе с произвольной точкой, выбранной в качестве полюса, и вращательногоотносительно этого полюса. При этом поступательное перемещение зависит от выбора полюса, а вращательное от него не зависит.

Под вращательным перемещением плоской фигуры относительно полюса понимается вращательное перемещение этой плоской фигуры вместе с АТТ, сечением которой является эта плоская фигура, относительно оси, проходящей через полюс перпендикулярно плоской фигуре (или плоскости П₀).

Доказательство: На рис. 14 изображены два положения плоской фигуры и отрезка ВD в моменты времени t₁ и t₂: соответственно В₁D₁ и В₂D₂.

Выберем в качестве полюса точку D. Отрезок В₁D₁ перемещаем поступательно (т.е. параллельно самому себе) в положение , а затем поворачиваем вокруг полюса на угол . Точка попадет в точку В₂, так как длина отрезка ВD неизменна. Первая часть теоремы доказана.

Для доказательства второй части теоремы в качестве полюса выберем точку В. Отрезок В₁D₁ перемещаем поступательно (т.е. параллельно самому себе) в положение , а затем поворачиваем вокруг полюса на угол . На рис. 15 видно, что поступательные составляющие перемещений отрезка ВD различны при выборе в качестве полюсов В и D (D₁D₂ В₁В₂), а вращательные составляющие равны, так как , как накрестлежащие углы при двух параллельных и одной секущей.

Рис. 15

Поскольку поступательная часть перемещения плоской фигуры с изменением полюса меняется, оказывается возможным выбрать полюс так, чтобы эта часть перемещения вообще отсутствовала.

Теорема Шаля 2: Всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в другое может быть представлено как конечный поворот этой фигуры относительно определенного центра вращения.

Конечный поворот плоской фигуры относительно определенного центра вращения понимается в том же смысле, что и вращательное перемещение этой плоской фигуры в теореме Шаля 1.

Доказательство: На рис. 16 изображены два положения отрезка ВD в моменты времени t₁ и t₂: соответственно В₁D₁ и В₂D₂.

Соединим точки В₁ и D₁ соответственно с точками В₂ и D₂ и из середин отрезков В₁В₂ и D₁D₂ восстановим перпендикуляры. Точка пересечения этих перпендикуляров О — центр вращения (как будет доказано ниже).

, так как и , как наклонные, равноудаленные от перпендикуляра.

 

Из равенства треугольников следует, что .

Рис. 16

После поворота на относительно точки О отрезок ОВ₁ совпадает с отрезком ОВ₂, одновременно ОD₁ отрезок должен совпасть с отрезком ОD₂, так как

, т. е.

,

и, как следствие, отрезок В₁D₁ совпадет с отрезком В₂D₂.

Таким образом, перемещение отрезка ВD из положения В₁D₁ в положение В₂D₂ представлено конечным поворотом относительно центра О.

Из доказанных теорем следует, что всякое непоступательное перемещение плоской фигуры в ее плоскости из одного положения в другое может быть представлено двумя способами: либо суммой поступательного и вращательного движений либо одним вращательным движением.