Сложное движение твердого тела

При сложении двух поступательных движений результирующее движение также является поступательным и скорость результирующего движения равна сумме скоростей составляющих движений. Сложение вращений тв. тела вокруг пересекающихся осей. Ось вращения, положение которой в пространстве изменяется со временем назыв. мгновенной осью вращения тела. Вектор угловой скорости – скользящий вектор, направленный вдоль мгновенной оси вращения. Абсолютная угловая скорость тела = геометрической сумме скоростей составляющих вращений – правило параллелограмма угловых скоростей.

. Если тело участвует одновременно в мгновенных вращениях вокруг нескольких осей, пересекающихся в одной точке, то

. При сферическом движении твердого тела, одна из точек которого во все время движения остается неподвижной, имеем уравнения сферического движения: Y=f₁(t); q=f₂(t); j=f₃(t). Y – угол прецессии, q – угол нутации, j – угол собственного вращения — углы Эйлера. Угловая скорость прецессии , угл. Ско

 

рость нутации , угл. ск. собственного вращения . ,

– модуль угловой скорости тела вокруг мгновенной оси. Через проекции на неподвижные оси координат: – кинематические уравнения Эйлера. Сложение вращений вокруг 2-х параллельных осей.

1) Вращения направлены в одну сторону. w=w₂+w₁, С – мгновенный центр скоростей и через нее проходит мгновенная ось вращения, , . 2) Вращения направлены в разные стороны. , w=w₂—w₁

С – мгн. центр ск. и мгн. ось вращения, . Векторы угловых скоростей при вращении вокруг ||-ых осей складываются так же, как векторы параллельных сил. 3) Пара вращений – вращения вокруг ||-ных осей направлены в разные стороны и угловые скорости по модулю равны ( – пара угловых скоростей). В этом случае v_A=v_B, результирующее движение тела – поступательное (или мгновенное поступательное) движение со скоростью v=w₁×AB – момент пары угловых скоростей (поступательное движение педали велосипеда относит-но рамы). Мгн. центр скоростей находится в бесконечности. Сложение поступательного и вращательного движений. 1) Скорость поступательного движения ^ к оси вращения – плоскопараллельное движение – мгновенное вращение вокруг оси Рр с угловой скоростью w=w'.

2) Винтовое движение – движение тела слагается из вращательного движения вокруг оси Аа с угл.ск. w и поступательного со скоростью v||Аа. Ось Аа – ось винта. Если v и w в одну сторону, то винт – правый, если в разные – левый. Расстояние, проходимое за время одного оборота любой точкой тела, лежащей на оси винта, наз. шагом винта – h. Если v и w постоянны, то h= =const, при постоянном шаге любая (×)М, не лежащая на оси винта описывает винтовую линию. направлена по касательной к винтовой линии.

3) Скорость поступательного движения образует произвольный угол с осью вращения, в этом случае движение можно рассматривать как слагающееся из серии мгновенных винтовых движений, вокруг непрерывно изменяющихся винтовых осей – мгновенно–винтовое движение.

 

 

Динамика

Динамика – раздел механики, в котором изучаются законы движения материальных тел под действием сил. Осн.законы механики (зак-ны Галилея-Нютона): закон инерции (1-ый закон): материальная точка сохраняет состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока действие других тел не изменит это состояние; основной закон динамики (2-ой закон (Ньютона)): ускорение матер.точки пропорционально приложенной к ней силе и имеет одинаковое с ней направление ; закон равенства действия и противодействия (3-й закон (Ньютона)): всякому действию соответствует равное и противоположно направленное противодействие; закон независимости сил: несколько одновременно действующих на матер.точку сил сообщают точке такое ускорение, какое сообщила бы ей одна сила, равная их геометрической сумме. В классической механике масса движущегося тела принимается равной массе покоящегося тела, – мера инертности тела и его гравитационных свойств. Масса = весу тела, деленному на ускорение свободного падения.

m=G/g, g»9,81м/с². g зависит от географической широты места и высоты над уровнем моря – не постоянная величина. Сила – 1Н (Ньютон) = 1кг×м/с². Система отсчета, в которой проявляются 1-ый и 2-ой законы, назыв. инерциальной системой отсчета. Дифференциальные уравнения движения материальной точки: , в проекции на декартовы оси коорд.: , на оси естественного трехгранника: ma_t=åF_it; ma_n=åF_in; ma_b=åF_ib (a_b=0 – проекция ускорения на бинормаль), т.е. (r – радиус кривизны траектории в текущей точке). Вслучае плоского движения точки в полярных координатах: . Две основные задачи динамики: первая задача динамики – зная закон движения точки, определить действующую на нее силу; вторая задача динамики (основная) – зная действующие на точку силы, определить закон движения точки. – дифференциальное ур-ие прямолинейного движения точки. Дважды интегрируя его, находим общее решение x=f(t,C₁,C₂).

Постоянные интегрирования C₁,C₂ ищут из начальных условий: t=0, x=x₀, =V_x=V₀, x=f(t,x₀,V₀) – частное решение – закон движения точки.

Колебательное движение материальной точки. Восстанавливающая сила (сила упругости) F_x= – cx, сила стремится вернуть точку в равновесное положение, "с" – коэффициент жесткости пружины = силе упругости при деформации, равной единице [Н/м]. Свободные колебания ; обозначив c/m=k², получаем – линейное однородное диффер-ное уравнение второго порядка, характеристическое уравнение: z² + k²= 0, его корни мнимые, Þ общее решение дифф-ного уравнения будет x= C₁coskt + C₂sinkt, C₁,C₂ – постоянные интегрирования. Для их определения находим уравнение скоростей: = – kC₁sinkt + kC₂coskt, подставляем начальные условия в уравнения для х и , откуда С₁= х₀, С₂= /k, т.е. x= х₀coskt + ( /k)sinkt.

 

 

Можно обозначить С₁=Аsinb, C₂=Acosb Þ x=Asin(kt+b) – уравнение гармонических колебаний. А= –амплитуда, tgb=kx₀/ , b – начальная фаза свободных колебаний; – циклическая частота (угловая, собственная) колебаний; период: Т=2p/k=2p , k и Т не зависят от начальных условий – изохронность колебаний; амплитуда и начальная фаза зависят о начальных условий. Под действием постоянной силы Р происходит смещение центра колебаний в сторону действия силы Р на величину статического отклонения d_ст=Р/с. Если Р – сила тяжести, то Т=2p .

Затухающие колебания при действии R_x= – b сила сопротивления, пропорциональная скорости (вязкое трение). , обозначив b/m=2n, получаем:

, характеристическое уравнение: z² + 2nz + k²= 0, его корни:

z_1,2= . а) При n<k корни мнимыеÞ общее решение дифф.ур-ия имеет вид: , обозначив С₁=Аsinb, C₂=Acosb Þ x=Ae^-ntsin(kt+b). Множитель e^-nt показывает, что колебания затухающие. График заключен между двумя симметричными относительно оси t кривыми x=±Ae^-nt. Из начальных условий: , ; частота затухающих колебаний: k^*= ; период: , период затухающих колебаний больше периода свободных колебаний (при небольших сопротивлениях Т^*»Т). Амплитуды колебаний уменьшаются: – декремент колебаний; –nT^*/2 логарифмический декремент; "n" – коэффициент затухания.

Б) Апериодическое движение точки при n ³ k или b ³ 2 . При n > k корни характеристич-ого ур-я вещественны, общее решение: , обозначая С₁=(В₁+В₂)/2, С₂=(В₁-В₂)/2, (ch, sh – гиперболические косинус и синус), если ввести В₁= Аshb, В₂= Аchb, то – это уравнение не колебательного движения (апериодического), т.к. гиперболический синус не является периодической функцией. При n = k корни характеристич. ур-я вещественны, равны и отрицательны: z₁=z₂= – n, общее решение: , или , движение также апериодическое.

 

 

Вынужденные колебания кроме восстанавливающей силы действует переменная возмущающая сила, обычно, по гармоническому закону: Q = Hsin(pt+d), р – частота возмущающей силы, d – начальная фаза. , h=Н/m, – дифференциальное уравнение вынужденных колебаний (неоднородное линейное дифф-ное ур-ие). Его общее решение = сумме общего решения однородного уравнения и частного решения данного уравнения:

х = х^*+х^**. х^*= C₁coskt + C₂sinkt, х^**= Asin(рt+d) – частное решение ищется в виде подобном правой части уравнения. Подставляя решение в уравнение, находим , х = C₁coskt + C₂sinkt+ sin(рt+d). Величина статического отклонения: А_ст= Н/с, – коэфф-нт динамичности, во скослько раз амплитуда колебаний превосходит статическое отклонение. При p=k m=¥ – явление резонанса (частота возмущающей силы равна частоте собственных колебаний, при этом амплитуда неограниченно возрастает). При p/k»1 наступает явление, называемое биениями: . Обозначая , получаем x=A(t)cos(pt+d) – происходит наложение дополнительных колебаний, вызванных возмущающей силой, на собственно вынужденные колебания – колебания частоты р, амплитуда которых является периодической функцией.

Явление резонанса возникает при совпадаении частот вынужденных и свободных кол-ний точки p=k. Диф-ное ур-ние: . Частное решение:

х^**= Вtcos(kt+d), B=–h/(2k), т.е. общее решение диф-ного ур-ния: х = C₁coskt + C₂sinkt – –h/(2k)tcos(kt+d). Ур-ние показывает, что амплитуда вынужденных колебаний при резонансе возрастает пропорционально времени. Период

Т=2p/k, фаза вынужденных колебаний отстает от фазы возмущающей силы на p/2.

Вынужденные колебания при наличии вязкого трения: +Hsin(pt+d), , общее решение в зависимости от величины k и n:

1) при n<k ;

2) при n>k ;

3) при n=k .

 

 

Общие теоремы динамики точки

Теорема об изменении количества движения матер. точки. – количество движения материальной точки, – элементарный импульс силы. – элементарное изменение количества движения материальной точки равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке (теорема в дифференц-ной форме) или – производная по времени от количества движения материальной точки равна равнодействующей сил, приложенных к этой точке. Проинтегрируем: – изменение количества движения материальной точки за конечный промежуток времени равно элементарному импульсу силы, приложенной к этой точке, за тот же промежуток времени. – импульс силы за промежуток времени [0,t]. В проекциях на оси координат: и т.д.

Теорема об изменении момента количества движения матер. точки. - момент количества движения матер. точки относительно центра О. – производная по времени от момента количества движения матер. точки относительно какого-либо центра равна моменту силы, приложенной к точке, относительно того же центра. Проектируя векторное равенство на оси координат. получаем три скалярных уравнения: и т.д. - производная от момента кол-ва движения матер. точки относительно какой-либо оси равна моменту силы, приложенной к точке, относительно той же оси. При действии центральной силы, проходящей через О, М_О= 0, Þ =const. =const, где – секторная скорость. Под действием центральной силы точка движется по плоской кривой с постоянной секторной скоростью, т.е. радиус-вектор точки описывает ("ометает") равные площади в любые равные промежутки времени (закон площадей) Этот закон имеет место при движении планет и спутников – один из законов Кеплера.

Работа силы. Мощность. Элементарная работа dA = F_tds, F_t – проекция силы на касательную к траектории, направленная в сторону перемещения, или dA = Fdscosa.

Если a – острый, то dA>0, тупой – <0, a=90^o: dA=0. dA= – скалярное произведение вектора силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения; dA= F_xdx+F_ydy+F_zdz – аналитическое выражение элементарной работы силы. Работа силы на любом конечном перемещении М₀М₁: . Если сила постоянна, то = F×s×cosa. Единицы работы:[1 Дж (джоуль) = 1 Нм].

 

 

, т.к. dx= dt и т.д., то .

Теорема о работе силы: Работа равнодействующей силы равна алгебраической сумме работ составляющих сил на том же перемещении А=А₁+А₂+…+А_n.

Работа силы тяжести: , >0, если начальная точка выше конечной.

Работа силы упругости: –работа силы упругости равна половине произведения коэффициента жесткости на разность квадратов начального и конечного удлинений (или сжатий) пружины.

Работа силы трения: если сила трения const, то - всегда отрицательна, F_тр=fN, f – коэфф.трения, N – нормальная реакция поверхности.

Работа силы тяготения. Сила притяжения (тяготения): , из mg= , находим коэфф. k=gR². – не зависит от траектории.

Мощность – величина, определяющая работу в единицу времени, . Если изменение работы происходит равномерно, то мощность постоянна: N=A/t. [1 Вт (ватт) =1 Дж/с, 1 кВт (киловатт) =

= 1000 Вт, 1л.с.(лошадиная сила) = 75 кгс×м/с = 736 Вт].

Теорема об изменении кинетической энергии точки. В диффер-ной форме: – полный дифференциал кинетической энергии мат.точки = элементарной работе всех действующих на точку сил. – кинетическая энергия матер.точки. В конечном виде: – изменение кинетической энергии мат.точки, при переходе ее из начального в конечное (текущее) положение равно сумме работ на этом перемещении всех сил, приложенных к точке.

Силовое поле – область, в каждой точке которой на помещенную в ней матер.точку действует сила, однозначно определенная по величине и направлению в любой момент времени, т.е. должно быть известна . Нестационарное силовое поле, если явно зависит от t, стационарное силовое поле, если сила не зависит от времени. Рассматриваются стационарные силовые поля, когда сила зависит только от положения точки: и F_x=F_x(x,y,z) и т.д. Свойства стационар. силовых полей:

1) Работа сил стац. поля зависит в общем случае от начального М₁ и конечного М₂ положений и траектории, но не зависит от закона движения матер. точки.

2) Имеет место равенство А_2,1= – А_1,2. Для нестационарных полей эти свойства на выполняются.

 

 

Примеры: поле силы тяжести, электростатическое поле, поле силы упругости.

Стационарные силовые поля, работа сил которых не зависит от траектории (пути) движения матер. точки и определяется только ее начальным и конечным положениями назыв. потенциальными (консервативными). , где I и II – любые пути, А_1,2 – общее значение работы. В потенциальных силовых полях существует такая функция, однозначно зависящая от координат точек системы, через которую проекции силы на координатные оси в каждой точке поля выражаются так:

. Функция U=U(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n) назыв. силовой функцией. Элементарная работа сил поля: dА=ådА_i= dU. Если силовое поле является потенц-ным, элементарная работа сил в этом поле равна полному дифференциалу силовой функции. Работа сил на конечном перемещении , т.е. работа сил в потенц-ном поле равна разности значений силовой функции в конечном и начальном положениях и не зависит о формы траектории. На замкнутом перемещении работа равна 0. Потенциальная энергия П равна сумме работ сил потенциального поля на перемещении системы из данного положения в нулевое. В нулевом положении П₀= 0. П=П(x₁,y₁,z₁,x₂,y₂,z₂,…x_n,y_n,z_n). Работа сил поля на перемещении системы из 1-го положения во 2-ое равна разности потенциальных энергий А_1,2= П₁– П₂. Эквипотенциальные поверхности – поверхности равного потенциала. Сила направлена по нормали к эквипотенциальной поверхности. Потенциальная энергия системы отличается от силовой функции, взятой со знаком минус, на постоянную величину U₀: А_1,0= П =U₀ – U. Потенциальная энергия поля силы тяжести: П= mgz. Потенц.энерг.поля центральных сил. Центральная сила – сила, которая в любой точке пространства направлена по прямой, проходящей через некоторую точку (центр), и модуль ее зависит только от расстояния r точки массой m до центра: , . Центральной является гравитационная сила ,

, f = 6,67×10^-11м³/(кгс²) – постоянная тяготения. Первая космическая скорость v₁= » 7,9 км/с, R = 6,37×10⁶м – радиус Земли; тело выходит на круговую орбиту. Вторая космическая скорость: v₁₁= » 11,2 км/с, траектория тела парабола, при v >v₁₁– гипербола. Потенц. энергия восстанавливающей силы пружин:

, l – модуль приращения длины пружины. Работа восстанавливающей силы пружины: , l₁ и l₂ – деформации, соответствующие начальной и конечной точкам пути.