Для исследования соотношения между потребительскими расходами и распределяемым доходом используются перекрестные данные о семейных бюджетах, относящиеся к некоторому фиксированному периоду времени. Прогноз строится с использованием обобщенного метода наименьших квадратов Гольдбергера[5]. Обозначим через Y величину потребительских расходов, а через X — объем распределяемого дохода. Соберем данные о бюджете 10000 семей и образуем пары соответствующих измерений для величин Хi Yi(i = 1, 2,..., 10000). Предположим, что мы уже разделили семьи на группы по их размеру и составу и рассматриваем интересующую нас связь между Y и Xвнутри конкретной группы. Мы не ожидаем, что у всех семей этой группы, имеющих один и тот же доход X', будут одинаковые потребительские расходы Y'. Одни потратят больше других, а некоторые, наоборот, меньше, однако мы надеемся, что величины расходов сгруппируются вокруг некоторого значения, соответствующего тому объему дохода, о котором идет речь. Эта идея находит свое формальное воплощение в новой гипотезе о характере линейной зависимости:
(1)
Здесь символом U обозначена переменная, принимающая то положительные, то отрицательные значения. Таким образом, если мы рассмотрим подгруппу семей, располагающих доходом X', то центральным значением их потребительских расходов окажется величина а + bХ', в то время как реальные объемы потребления для семей данной подгруппы будут равны а + bХ' +U1, а + bХ'+ U2 и т.д., где U1, U2, ... измеряют отклонения потребительских расходов каждой отдельной семьи от центрального значения а + bХ'.
Существует три способа рационального объяснения включения в уравнение (1) стохастического члена, причем любое из этих объяснений не исключает других.
Во-первых, мы можем предположить, что потребительские расходы для всех и каждой из рассматриваемых семей были бы полностью объяснены, если бы мы знали все факторы, влияющие на эти расходы, и располагали необходимыми данными. Одинаковые по размеру и составу семьи могут отличаться возрастом родителей и детей, сложившейся динамикой дохода (возрастает он или убывает), бережливостью членов семьи и т.д. Многие из этих факторов не измеряются количественно, не квантуются и даже если такое измерение достижимо, то получение всех необходимых данных на практике оказывается невозможным.
Поскольку среди многочисленных факторов, влияющих на потребительский спрос конкретной семьи, многие действуют в противоположных направлениях, можно рассчитывать, что малые значения U, будут встречаться чаще, чем большие. Мы подошли, таким образом, к пониманию U как случайной переменной, обладающей вероятностным распределением с нулевым средним и с конечной дисперсией. Это позволяет нам обращаться с переменной U как со стохастическим возмущением (ошибкой). Ввиду того, что U включает много факторов, которые, по-видимому, можно считать независимыми, обращение к центральной предельной теореме показывает нам выбор для U нормального распределения.
Вторым оправданием присутствия в экономических соотношениях возмущающего члена служит то обстоятельство, что только с его помощью можно отразить вечный и непредсказуемый элемент случайности человеческих реакций, сплошь и рядом оказывающий воздействие на суммарный эффект существенных факторов и поэтому непосредственно влияющий на наблюдаемые значения переменной Y.
Третьим источником ошибок являются ошибки наблюдения или измерения.
Итак, пусть существует линейное соотношение между переменной Y, k -1,объясняющими переменными Х2, Х3..... Xk ивозмущением U. Если мы имеем выборку из п наблюдений над переменными Y и Xj, j = 2, 3,..., k, то можно записать
Коэффициенты bи параметры распределения Uнеизвестны. Уравнения, соответствующие всем п наблюдениям, могут быть записаны компактно в матричной форме
(2)
где
Соглашение, в силу которого через Xki обозначается i -е наблюдение переменной Xk, означает, что индексы в матрице X расположены в порядке, обратном общепринятому, когда первый индекс — номер строки, второй — номер столбца.
Примем простую гипотезу о нулевом значении математического ожидания стохастического возмущения U: E[U]= 0 и введем матрицу V:
где UT — вектор-строка, полученная транспонированием вектора-столбца U.
По диагонали матрицы V расположены дисперсии элементов вектора U, остальные элементы — ковариации элементов вектора U:
Задача прогноза состоит в предсказании изолированного значения зависимой переменной для заданного вектора-строки Х0. Мы можем записать:
где U 0 — истинное, но неизвестное значение возмущения в прогнозируемый момент. Пусть
где W — вектор размерности (n´1) прогнозируемого возмущения вектором выборочных возмущений. Сформулируем линейный прогноз:
Р = CTY, (7)
где С — вектор размерности ( n´1), состоящий из п констант.
Чтобы значение Р было наилучшим прогнозом, необходимо выбрать вектор С, минимизирующий дисперсию прогноза:
Для определения ошибки прогноза вычтем из уравнения (7) уравнение (3); подставим в результат значение Y из (2) и, выполнив соответствующие преобразования, получим:
Из условия несмещенности прогноза следует, что вектор С должен удовлетворять равенству:
(9)
Тогда для ошибки прогноза имеем P – Y0 = CTU - U0, и, поскольку (Р – Y0) — скаляр, дисперсия прогноза равна
(10)
Чтобы минимизировать (10) при условии (9), образуем функцию
где L — вектор размерности (k´l), образованный множителями Лаг-ранжа. Затем продифференцируем Ф по векторам С и L и приравняем вектор частных производных к нулевому вектору.
Рассмотрим
Учитывая, что V — симметричная матрица, то есть для I ¹ j:
Возьмем частные производные по элементам вектора С:
За исключением множителя 2, правые части этих уравнений содержат элементы матричного произведения V С, которые образуют n-мерный вектор-столбец. Следовательно,
Аналогично получаем:
В результате дифференцирования имеем:
(11) (12)
Примем вектор частных производных равным нулевому вектору и получим систему:
которая может быть записана в виде
(13)
Из (13)получаем:
Применив правило отыскания матрицы, обратной к матрице, подвергшейся разбиению, имеем:
(14)
где Н = (-ХТ V-1Х)-1
Из (14)получаем:
(15)
где I - единичная матрица.
Следовательно, наилучшим нелинейным несмещенным прогнозом будет:
Учитывая, что e=(Y - XB) — вектор остатков, соответствующий методу наименьших квадратов,
Р = Х0В+ WTV-1e. (16)
Это и есть основной результат, полученный Гольдбергером для предсказания с помощью обобщенной модели наименьших квадратов.
Задача. Исследовать уровень ежемесячного среднедушевого потребления товаров первой необходимости и сделать прогноз этого уровня на будущее для семей со средним уровнем достатка.
Имеются данные среднемесячных затрат на питание по основным группам продуктов (распределяемый доход) и общих затрат на товары первой необходимости в выбранной группе семей в сопоставимых денежных единицах за 5 лет. Общая сумма затрат на товары первой необходимости включает, кроме затрат на указанные группы продуктов, затраты на фрукты, кондитерские изделия, а также непродовольственные товары повседневного спроса (мыло, газеты и т.п.).
Оценить необходимые затраты на эти товары при сохранении установившегося рациона питания, если цены на преобладающие продукты питания (колонки 2, 3, 4, 5) увеличатся в 1,5 раза по сравнению с последним годом.
| Период времени (годы) | Затраты на мясные продукты (в мес.) | Затраты на молочные продукты (в мес.) | Затраты на оно щи (в мес.) | Затраты на мучные и крупяные изделия (в мес.) | Общие затраты на товары первой необходимости (в мес.) |
| 9,5 | 3,7 4,5 | 6,5 | 5,5 |
Решение. В качестве математической модели зависимости общих затрат на товары первой необходимости от цен на основные продукты питания возьмем линейное соотношение (2). На основе данных задачи сформируем матрицы X, Y, Х0:
(17)
Х0 =(1 22,5 9 16,5 12).
Вычислим определитель квадратной матрицы X
det X= | X|= 2,9.
Так как detX ¹ 0, матрица X является невырожденной и, следовательно, для нее существует единственная обратная матрица Х -1и уравнение (15) может быть упрощено раскрытием скобок:
А это означает, что прогнозируемое значение среднемесячных затрат на основные продукты питания в следующем году может быть вычислено по формуле:
(18)
Для вычисления матрицы, обратной к X, воспользуемся известной теоремой. Совместное преобразование матриц Х и Е (единичной) будем осуществлять таким образом, чтобы врезультате каждого шага один из векторов матрицы X становился единичным.
Для преобразования k- говектора матрицы Х кединичному пересчет элементов матрицы X осуществляется по следующим формулам:
где i— номер строки;. J — номер столбца; верхним индексом * отмечены пересчитанные изданном шаге значения.
Элементы xkk каждого последующего шага выделены жирным шрифтом.
| 9,5 | 3,7 | 6,5 | |||||||
| 4,5 | 5,5 | ||||||||
| 0,5 | 0,7 | 0,5 | -1 | ||||||
| 1,5 | 3,5 | -1 | |||||||
| - 1 | |||||||||
| - 1 | |||||||||
| -9,6 | -3 | -16 | -18 | ||||||
| 1,4 | -2 | ||||||||
| 0,1 | 1,5 | -2 | |||||||
| -2,2 | -2 | -6 | |||||||
| -5,4 | -1 | -6 | -12 | ||||||
| -16,2 | -22 | -36 | |||||||
| 3,6 | -7 | -1 | |||||||
| 4,5 | 5,5 | -9 | -2 | ||||||
| -2,2 | -2 | -6 | |||||||
| -7,6 | -8 | -18 | |||||||
| 4,7 | -10 | 13,5 | 0,25 | -2,75 | |||||
| -0,2 | -1 | -0,5 | 0,5 | ||||||
| - 0,725 | -2,375 | -1,3125 | 0,6875 | ||||||
| -0,3 | -1,5 | 0,75 | -0,25 | ||||||
| 0,95 | -2 | 2,25 | -0,125 | -0,125 |
Во избежание накопления ошибок округления последний шаг выполним в простых дробях. Тогда левая матрица станет единичной, правая после вынесения за знак матрицы общего для всех элементов множителя элемента примет вид:
(19)
В соответствии со значениями переменных (17) и (19),
Р = X0X -1 Y= 157,0775862 = 157.
Ответ: Прогнозируемые затраты на продукты первой необходимости составят 157 денежных единиц.
