Розв’язання здійснимо у такій послідовності

1) Обчислимо визначник матриці

.

Оскільки , то існує обернена матриця.

2)Знаходимо алгебраїчні доповнення елементів матриці

; ; ; ; ; ; ; .

3) Записуємо нову матрицю за формулою (3)

.

4) За формулою (4) отримуємо обернену матрицю

.

5) перевіримо, що ,

Приклад 2. Знайти матрицю, обернену до матриці

.

Розв’язання. 1) .

2) ; ;

; .

3) .

4) .

5)

.

Приклади для самостійного розв’язання

Знайти обернені матриці для матриць:

1.. 2.. 3..

4.. 5.. 6..

7..

Відповіді:

1.. 2. 3..

4. ..5. . 6.

7..

 

Розв’язування систем лінійних рівнянь

Матричним способом

 

Обмежимось розглядом системи 3-х лінійних рівнянь

Запишемо такі матриці:

,

де складена з коефіцієнтів при невідомих — матриця системи, – матриця вільних членів, – матриця невідомих. Знайдемо добуток

Користуючись означенням рівності матриць, ми бачимо, що система ЛР (1) є не що інше, як рівність відповідних елементів матриць – стовпців і . Тому початкова система (1) набуває форму матричного рівняння

Для розв’язання останнього домножимо зліва рівняння (2) на обернену матрицю , вважаючи, що , отримаємо

Але , а , тоді розв’язок матричного рівняння (2) запишеться

(3)

Покажемо, що з формули (3) можна отримати формули Крамера. Дійсно, підставляючи в (3) вирази для і , маємо

За теоремою про заміщення кожний елемент останньої матриці дорівнює значенням допоміжних визначників , які були введені при розв’язуванні систем за формулами Крамера. Тому далі маємо

Звернемо увагу на те, що в формулі (3) співмножник , залежить тільки від коефіцієнтів при невідомих, а тільки від вільних членів. Тому, коли приходиться розв’язувати системи вигляду (1) з однаковими лівими частинами і різними вільними членами, то в таких випадках матричний розв’язок (3) стає зручнішим: обернену матрицю знаходимо тільки один раз і перемножуємо на нову матрицю . В той же час, за формулами Крамера прийшлося б заново обчислювати допоміжні визначники відповідно для кожного нового набору вільних членів.

Приклад 1. Розв’язати систему рівнянь матричним способом

Складемо матрицю системи

Для цієї матриці в 1.12. ми вже знайшли і обернену матрицю

Тому згідно (3) маємо

Отже,

Пропонуємо перевірити відповідь.

Приклад 2. Розв’язати матричним способом систему

Розв’язання. Запишемо матриці

, , .

У матричному вигляді система запишеться

.

Визначник матриці , існує обернена матриця . Її алгебраїчні допованення

; ;

; .

Обернена матриця

.

Розв’язком системи є матриця

.

Перевірка: ,

.

Зауваження.

1. Розглянутий матричний спосіб на прикладі лінійних систем третього порядку узагальнюється на системи вищих порядків.

2. В більш загальних випадках в матричних рівняннях

матриці і можуть мати інші розміри і бути не тільки матрицями стовпцями.

3. При розв’язанні матричних рівнянь вигляду

домножують на обернену матрицю справа, тобто

.