рединного перпендикуляра к

отрезку равноудалена от концов Серединные перпендикуляры к сторо-

этого отрезка. Каждая точка, нам 3-угольника пересекаются в 1ой

равноудалённая отконцов отрез- точке.

Ка, лежит на серединном перпен-

дикуляре. Теорема: в любой 3-угольник мож-

но вписать окружность.

Теорема: Высоты 3-угольника

(или их продолжения) пересека- В 3-угольник можно вписать только 1у

ются в 1ой точке. окружность.

Теорема: Около любого треу- В любом вписанном 4-угольнике сумма

гольника можно онисать окруж- противоположных углов = 180°.

Ность.

Если сумма противоположных углов 4-угольника = 180°, то около него можно описать окружность.

Глава IX.

Векторы.

Физические величины, характери- Определение: Отрезок, для кот-

зуещиеся направлением в прост- го указано, какой из его концов счи-

ранстве – векторные. тается началом, а какой – концом,

Называется вектором.

Длина (модуль) – длина АВ.

Длина нулевого вектора = 0.

Нулевые векторы называются

коллинеарными, если они лежат Если 2 вектора направлены одинаково,

либо на одной прямой, либо на то эти векторы – сонаправлены.

параллельных прямых; нулевой

вектор считается коллинеар- Если 2 вектора направлены противопо-

ным любому вектору. ложно, то они противоположно напра-

влены.

Определение: Векторы,

называются равными, если От любой точки М можно отложить

они сонаправлены и их дли- вектор, равный данному вектору ã, и

ны равны. притом только один.

Теорема: для любых векторов ă, č и ĕ справедливы равенства:

Переместительный закон);

2. (ă + č)+ ĕ = ă +(č + ĕ).

Теорема: Для любых векто- Произведение любого вектора на число

ров ă и č справедливо равенство: 0 есть нулевой вектор.

ă – č = ă + (- č).

Для любого числа k и любого векто- (kl)ă=k(lă) (сочетательный закон);

ра ă векторы ă и kă коллинеарны. (k+ l)ă=kă+lă(1ый рспред-ный закон);

k(ă+č)=kă+kč.

Теорема: Средняя линия тра-

Пеции параллельна основаниям

и = их полусумме.

Класс.

Глава X.

Метод координат.

Лемма: Если векторы ă и č Теорема: Любой вектор можно раз-

коллинеарны и ă=0, то сущес- ложить по 2ум данным неколлинеар-

твует такое число k, что č=kă. ным векторам, причём коэффициен-

Ты разложения определяются един-

Каждая координата суммы 2ух ственным образом.

векторов = сумме соответству-

ющих координат этих векторов. Каждая координата произведения век-

тора на число = произведению соот-

Каждая координата разности ветствующей координаты вектора

2ух векторов = разности соот- на это число.

ветствующих координат век-

тора на это число. Координаты точки М = соответству-

ющим координатам её радиус-вектора.

Каждая координата вектора =

разности соответствующих ко- Каждая координата середины отрезка

ординат его конца и начала. равна полусумме соответствующих ко-

ординат его концов.

Глава XI.

Соотношения между сторонами

И углами 3-угольника.

Скалярное произведение

Векторов.

Для любого угла α из промежут- tg угла α(α=90°) называется отношение

ка 0° <α<180° sin угла α называ- sinα/cosα.

ется ордината у точки М, а cos

угла α – абсцисса х угла α. sin(90°-- α)= cos α

Теорема: S 3-угольника = ½ Теорема: Стороны 3-угольника про-

Произведения 2ух его сторон на порциональны sin противолежащих

Sin угла между ними. углов.

Теорема: Квадрат стороны 3-угольника = сумме квадратов 2ух других сторон – удвоенное произведение этих сторон на cos угла между ними.

а²=b²+с²-2bс cos α.

Скалярным произведением 2ух Скалярный квадрат вектора = квадра-

векторов называется произве- ту его длины.

дение их длин на cos угла между

ними.

Теорема: Скалярное произведение векторов а(х₁; у₁) и b(х₂; у₂) выражается формулой:

ab=х₁ х₂ +у₁ у₂.

Нулевые векторы а(х₁; у₁) и cos угла а между нулевыми векторами

b(х₂; у₂)перпендикулярны а(х₁; у₁) и b(х₁; у₁) выражается формулой:

тогда и только тогда, ког- cos α=х₁ х₂ +у₁ у ₂ / х₁+у₁ х₂ + у₂.

да х₁ х ₂ + у₁ у₂ = 0.

Для любых векторов а, b, с и любого числа k справедливы соотношения:

а²>0, причём а²>0 при а=0.

аb=bа (переместительный закон).

(а+ b)с=ас+ bс (распределительный закон).

(kа)b=k(ab) (сочетательный закон).