Решение задач 116—131 из учебника

Задача 116. Самый рациональный способ действия следующий. Находим непомеченный лист и, двигаясь от конца, выписываем путь, ведущий в него, затем помечаем этот лист, чтобы не выписать этот же путь ещё раз. Вместо пометок можно сразу соединять лист с соответствующим путём. Хорошо пользоваться некоторой системой движения по листьям, например перебирать их сверху вниз.

Ответ: ВАС, ВАША, ВЕК, ВЫ, ВОЛ.

Задача 117. Первая часть задания будет для детей не слишком сложной. К настоящему моменту дети должны хорошо представлять себе, в каких случаях в дереве появляются одинаковые пути. Ясно, что пути разной длины не могут быть одинаковыми, значит, надо рассматривать отдельно пути длины 3 и пути длины 4. Путей длины 3 в дереве пять, причём первая бусина у них общая. Надо постараться сделать разными вторые бусины, помня при этом, что по условию черный цвет использовать нельзя. В тех путях, где вторые бусины всё же окажутся одинаковыми, нужно обязательно сделать разными третьи бусины. Рассуждая аналогичным образом, раскрасим бусины в путях длины 4. При выполнении второй части задачи важно, чтобы все использовали способ действия, описанный в предыдущей задаче.

Задача 118. Эта задача имеет много ответов. Необходимо предоставить ребятам достаточно времени для самостоятельной работы. Если вы видите, что кто-то не знает, с чего начать, поговорите с ним о том, как он понимает, например, фразу «В дереве есть три пути длины 2». На самом деле это условие означает то же, что и «на втором уровне есть три листа». Когда ученик понял смысл всех условий, решение становится совсем простым. О путях длины 5 и 1 в задаче не сказано ничего, поэтому путей длины 1 в дереве может быть сколько угодно (в том числе не быть вовсе), а путей длины 5 должно быть не меньше одного (так как дерево имеет пять уровней бусин). Поскольку в условии не сказано ничего о форме и цвете бусин, бусины могут быть любыми.

Задача 119. Эта задача начинает новую серию задач — задач на работу с толковым словарём. В учебный толковый словарь, помещённый на с. 102, мы специально включили слова либо устаревшие, либо малоизвестные. Это сделано для того, чтобы при решении этих задач ребёнок не рассчитывал на свои знания, а был вынужден обращаться к словарю. Если кто-то скажет, что может выполнить отдельные фрагменты задания и без словаря, пусть так и сделает, а затем проверит по словарю правильность своего решения.

На первых порах детям предлагаются не слишком сложные варианты толкований, которые либо полностью совпадают с толкованиями словаря, либо, напротив, совершенно с ними не совпадают. Позднее, в основном в необязательных задачах, мы предложим детям и более сложные варианты толкований.

Задачи на работу с толковым словарём вносят некоторое разнообразие в задачи на логику, а кроме того, как всякие «словарные» задачи, закрепляют знание алфавитного порядка. Не менее важная цель такого рода задач — привить ребёнку привычку пользоваться толковым словарём, чтобы узнать значения незнакомых слов.

Ответ: второе утверждение ложно, остальные истинны.

Задача 120. Аналогичные задачи ребятам уже встречались, но впервые подобная задача предлагается как обязательная. Стратегии решения таких задач описаны в комментариях к задачам 92 и 101.

Решение задачи:

Задача 121 (необязательная). Самый прямой способ решения задачи — рассмотреть сначала первое утверждение и найти место для одной буквы К. Затем, пользуясь вторым утверждением, поместить букву О (перед К) и найти место для второй пары О — К. В оставшееся после этого пустое окно необходимо вставить букву О.

Ответ: ОКОРОК.

Задача 122 (необязательная). Сильный ребёнок на текущем этапе должен быть уже готов провести некоторые рассуждения, опираясь на два данных утверждения. Например, всего в цепочке восемь бусин, шесть из них синие, а две не синие (любого другого цвета). При этом синие бусины не могут стоять ни на первом, ни на втором месте, иначе первое утверждение не будет иметь смысла. Итак, с цветом определились. Пусть, например, первые две бусины красные, остальные, естественно, синие. Теперь разберёмся с формой. Какую форму должна иметь первая бусина цепочки? Конечно, круглую, ведь она вторая бусина перед синей. То же самое можно сказать про вторую, третью и другие бусины цепочки. Оказывается, что не обязаны быть круглыми только последние две бусины, они могут иметь любую форму. Самое простое — нарисовать восемь круглых бусин и начать их раскрашивать.

Задача 123. Если в задаче 72 детям пришлось решать задачу на сопоставление инструкции с множеством предполагаемых результатов её выполнения, то здесь имеем обратную задачу: надо сопоставить результат с возможными вариантами инструкции и выбрать подходящий.

Возможно, ребята будут выполнять инструкцию до конца с каждым пунктом, приведённым на листе вырезания. Не отговаривайте таких детей, но дайте им совет: можно подписывать цвета простым карандашом на бусинах первой цепочки и затем стирать. Так они затратят меньше времени и будет меньше грязи в тетради.

Ответ: «Раскрась предыдущую бусину перед каждой красной синим».

Задача 124. Детям, которые растерялись, задайте вопрос о том, где должны быть написаны самые короткие слова. С первого взгляда на мешок слов становится ясно, что корневая вершина дерева — буква Б. У неё три следующие, но и у слов в мешке на втором месте также стоят буквы Е, Л или У. Вопрос: какая буква должна стоять в какой вершине второго уровня? На этот вопрос легко ответить, сосчитав количество слов в мешке с каждой из имеющихся вторых букв. Аналогично можно продолжать рассуждения до тех пор, пока все окна в дереве не будут заполнены.

В заполнении окон дерева S есть некоторая вариативность. Например, слова БУНТ и БУРЯ можно поменять местами. Если кто-то заметит это и спросит, как лучше расставить слова в таких случаях, посоветуйте ставить буквы, следующие за каждой вершиной, в алфавитном порядке (сверху вниз). Мы почти всегда строим деревья букв в задачах именно так. Такая система, с одной стороны, дает единообразный подход к построению деревьев из букв, с другой стороны, позволяет не запутаться, если мы ведем перебор по буквам, и, наконец, в таком дереве гораздо проще ориентироваться. Этот приём — лишь одно из проявлений системного подхода, к которому мы хотим приучить и ребят. Поэтому старайтесь учить ребят при построении дерева из букв пользоваться алфавитным порядком.

Задача 125. Некоторые сложности могут быть связаны с толкованием третьего слова: «Депо — это место постройки и ремонта судов», так как внешне это толкование похоже на то, что написано в словаре. Можно спросить ребёнка, как называется место для постройки и ремонта судов (такое толкование можно найти в нашем словаре).

Ответ: первое и четвёртое утверждения истинны, остальные ложны.

Задача 126. В задаче нужно не полностью нарисовать мешок всех путей дерева Э, а лишь закончить раскраску его цепочек. Однако это не облегчает детям задачу, а только несколько изменяет её. Здесь нужно узнать каждый путь, установить соответствие между частично раскрашенными цепочками из мешка Ю и путями дерева Э. Пути в мешке расположены не на уровне соответствующих листьев, а в порядке возрастания числа бусин. Это дополнительно усложняет процесс узнавания. Такое расположение цепочек в мешке, скорее всего, подтолкнет ребят искать пути, ориентируясь на их длину. Сложнее будет с путями длины 3. Особенно сложной будет ситуация с цепочками 8, 9, 10 и 11, у которых не только одна длина, но и первые бусины одинаковы. Однако легко увидеть, что и они определяются по дереву однозначно. Работа с такой задачей будет не только сложной, но и увлекательной, поскольку она в некотором смысле напоминает игру («угадай», «узнай»). Последнее задание дано для проверки, но кому-то, возможно, захочется ставить имена цепочек по ходу решения задачи. В этом случае число вариантов путей, из которых выбирает ребёнок, будет постепенно уменьшаться: ведь на пути, около которых поставлено имя, можно уже не смотреть.

Задача 127 (необязательная). Задача довольно объёмная — нужно построить дерево из 15 данных в мешке бусин. Самый простой способ начать строить дерево, удовлетворяющее условию, — выпустить из корня пять цепочек длины 3. Приступим к выписыванию этих цепочек. Будем помещать в них по две одинаковые бусины, а третью — какую придется. Для этого нужно сразу выделить пять пар одинаковых бусин, а остальные добавлять по одной, чтобы получились нужные тройки бусин. В этой задаче полезно ещё раз вспомнить, что выражение «есть две одинаковые бусины» не означает, что в цепочке нет и третьей, такой же, как эти две.

Задача 128. Полный анализ всех программ и возможных начальных положений Робика достаточно трудоёмок. Поэтому лучше сначала отсеять какие-то программы, которые точно не подходят, и потом уже рассматривать только оставшиеся.

Приведём соображения, показывающие, что некоторые программы не годятся. В первой программе Робик четыре раза поднимается вверх — ему просто не хватит места на поле. Для второй программы есть только одна клетка, из которой Робик может выполнить команды вправо, влево и вниз, — третья слева в верхнем ряду. Выполняем программу, начиная с этой клетки, и видим, что рисунок, закрашенный Робиком, не совпадает с данным в задаче. В третьей программе есть подряд три команды вниз, значит, после их выполнения Робик может находиться только в нижней строке, в третьей клетке слева (если, конечно, Робик ещё раньше не вышел за пределы закрашенных клеток). Но если из этой клетки выполнить оставшиеся команды, то данный рисунок уже не получится. Пятая программа не подходит, так как в ней есть подряд две команды влево (в пределах закрашенного рисунка их выполнить нельзя), и т. д. Анализируя шестую программу, выясняем, что есть ровно две клетки, из которых можно выполнить первые три команды (влево, вправо, вверх). Из одной из этих клеток выполнить программу вообще не удаётся, из второй получается другой узор. Оказывается, что только четвёртая программа подходит, если начать её выполнять в клетке второго ряда снизу. Детям, которые затрудняются в таких устных рассуждениях, предложите начать выполнять каждую из программ на листе в клетку, а дальше всё будет видно.

Задача 129 (необязательная). У задачи имеется стандартное решение. Оно состоит в том, что рисуется красная круглая бусина, следом за ней — синяя квадратная (по первому условию), затем — красная круглая и т. д. Двадцатая бусина оказывается синей квадратной. Проверяем: оба условия выполнены. Заметим два обстоятельства. Первое: если начать строить цепочку с синей квадратной бусины, то построение невозможно, поскольку после последней красной круглой бусины ничего не идёт. Второе: мы можем начать цепочку с любого числа бусин, отличных от красной круглой и синей квадратной, и только потом приступить к описанному выше чередованию. Если это обстоятельство будет обнаружено кем-то из учеников, стоит его подробно обсудить. Такое обсуждение в силу его важности может быть проведено и по вашей инициативе. Наконец, необходимо иметь в виду, что в цепочке должна быть хотя бы одна красная круглая и хотя бы одна синяя квадратная бусины, иначе данные утверждения не будут иметь смысла.

Задача 130 (необязательная). Первый шаг состоит в том, чтобы понять, что сначала необходимо использовать утверждения, а уже потом таблицу. Начать можно с любого утверждения, поскольку они независимы друг от друга (ни по форме бусин, ни по цвету). И всё же в задаче существует один скрытый сложный момент. Утверждения относятся к путям, т. е. отдельным цепочкам, а работаем мы с деревом. Поэтому от ребёнка требуются одновременно умение «выделять» пути в дереве и умение «собирать» из путей дерево. В этом плане особую сложность представляет второе утверждение. Действительно, берём любую квадратную бусину, например ту, что в центре второго уровня. Она одна, но путей, проходящих через нее, три. В каждой из этих цепочек существует собственная вторая после этой квадратной, и каждую из них мы должны раскрасить красным цветом. В ходе работы с утверждениями мы раскрашиваем 5 красных и 5 зелёных бусин, положение которых определяется однозначно. Теперь, используя таблицу, можно раскрасить остальные бусины.

Задача 131 (необязательная). Требуется определить истинность утверждений, включающих конструкции «перед каждой бусиной» и «после каждой бусины». Эта задача содержит несколько интересных и сложных моментов. Во-первых, некоторые утверждения не имеют смысла. Например, второе утверждение для цепочек Б и В не имеет смысла, поскольку у первой жёлтой бусины нет предыдущей, а последнее утверждение не имеет смысла для цепочки В, так как в ней вообще нет красных бусин.

Во-вторых, по форме соответствующие бусины этих трёх цепочек одинаковы (если бы все бусины были, например, красные, то у нас были бы три одинаковые цепочки). Эту особенность можно использовать в решении. В таблице есть утверждения, которые относятся только к форме бусин, например третье и пятое. Значения истинности таких утверждений для всех данных цепочек будут одинаковыми.

В-третьих, данная задача — хороший повод обратить внимание детей на отличие конструкции «после каждой бусины» от конструкции «перед каждой бусиной». До решения задачи спросите детей, отличаются ли первое и четвёртое утверждения по смыслу. Наверняка некоторые ученики скажут, что в этих утверждениях говорится об одном и том же, что здесь конструкции «перед каждой» и «после каждой» взаимозаменяемы. Решив задачу, можно убедиться в ошибочности данного представления. После того как все высказались, постарайтесь ничего не комментировать, а предложите обратиться к задаче. По окончании решения можно продолжить разговор. Становится ясно, что первое и четвёртое утверждения не могут совпадать по содержанию, поскольку первое для всех трёх цепочек истинно, а четвёртое принимает разные значения. С сильными ребятами можно обсудить, почему так получается. Все перечисленные выше особенности лучше обсуждать по окончании решения. Если ребята предварительно самостоятельно поработают с задачей, то разговор получится более продуктивным.

Ответ:

 

Урок «Деревья потомков»

Родословные деревья в генеалогии выглядят несколько иначе, чем деревья в нашем курсе. Различают деревья предков и деревья потомков. Корневой вершиной дерева предков является самый младший из родственников, представленных в дереве, каждый следующий уровень такого дерева — это предыдущее поколение родственников. Корневой вершиной дерева потомков является старейший представитель рода, каждый следующий уровень такого дерева — это следующее поколение потомков.

В отличие от наших деревьев, в генеалогическом дереве возможны связи между вершинами одного уровня: между мужем и женой. Дети при этом (например, следующие вершины в дереве предков) являются следующими вершинами сразу для пары (мужа и жены). Кроме того, родственные связи могут быть довольно запутанными, и часто в генеалогическом дереве для некоторых вершин нельзя точно определить их уровень (к какому именно поколению этот человек принадлежит): тётка может быть младше племянника, супруги могут быть троюродными родственниками и т. п.

Поэтому для работы в нашем курсе лучше всего подходят деревья наследования власти (специальный вид деревьев потомков). В них наследование идёт по мужской линии, поэтому в таком дереве у каждой вершины имеется не более одной предыдущей вершины, что соответствует договорённостям в нашем курсе о построении деревьев.

Цель листа определений на с. 66 учебника — дать ответы на вопросы детей, которые могут возникнуть при работе с деревьями наследования власти. Так, например, кого-то из ребят может заинтересовать вопрос, почему ни в одном дереве потомков не указаны матери.