1. Угол между прямой и плоскостью.
Опр. Углом между прямой и плоскостью называется меньший из двух смежных углов между прямой и ее проекцией на плоскость.
Таким образом, угол 
между прямой 
и плоскостью 
принимает значения в промежутке 
.
Пусть прямая и плоскость заданы уравнениями:
, 
.
Найдем угол между ними. Рассмотрим векторы
, 
. 
.
Условие параллельности прямой и плоскости:
.
Условие перпендикулярности прямой и плоскости:
.
Пересечение прямой и плоскости
Пусть заданы плоскость и прямая
, 
.
Перейдем к параметрическим уравнениям прямой и подставим их в уравнение плоскости 
.
1. Если 
, то находим значение t:
;
подставляем его в уравнения прямой и находим координаты точки пересечения.
2. Если 
=0, то 
, при этом:
а) если 
, то 
, т.е. прямая целиком лежит в плоскости;
б) если 
, то 
, т.е. прямая параллельна плоскости и не имеет с ней общих точек.
ПР. Написать уравнения прямой , проходящей через точку 
перпендикулярно плоскости 
. Найти точку пересечения и . 
Поверхности
Опр. Пусть 
некоторая функция, связывающая три переменные. Множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют уравнению 
, называется поверхностью в 3-мерном пространстве.
Если функция 
линейная, то поверхность является плоскостью.
Цилиндрические поверхности
Опр. Пусть L - некоторая линия в пространстве, через каждую точку которой проведены прямые, параллельные некоторой данной прямой l. Множество, являющееся объединением этих прямых, называется цилиндрической поверхностью или цилиндром; L − направляющая цилиндра; прямые, параллельные l – образующие цилиндра.
Будем рассматривать уравнения поверхности в ДПСК.
Признак цилиндрической поверхности.
Если в уравнении поверхности отсутствует одна из координат, то эта поверхность – цилиндр с образующими, параллельными соответствующей координатной оси.
: 
.
: 
.
: 
.
Замечание. Название цилиндрической поверхности, как правило, дается по названию линии L.
ПР. Построить поверхности:
а) 
, б) 
.
ПР. Построить тело: 
.
Поверхности второго порядка
Опр. Поверхностью 2-го порядка называется множество точек пространства, координаты которых удовлетворяют в ДПСК уравнению
,
где 
.
Будем считать, что в уравнении присутствуют все три координаты и коэффициенты 
. Тогда с помощью параллельного переноса системы координат уравнение можно привести к одному из следующих видов и получить следующие поверхности.
− эллипсоид.
− однополостный гиперболоид.
− двуполостный гиперболоид.
− эллиптический параболоид.
− гиперболический параболоид.
− конус.
