Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


ѕол€рна€ система координат




√лава 3. јналитическа€ геометри€

ќбща€ задача ј√ − исследование линий и поверхностей, заданныхуравнени€ми.

ѕр€ма€ на плоскости

ќбщее уравнение пр€мой.

¬ ƒѕ—  на плоскости пр€ма€ задаетс€ алгебраическим уравнением 1-й степени:

. (1)

ѕокажем, что вектор . ѕусть точки . “огда вектор .

.

.

“огда .

ќпр. ¬ектор, перпендикул€рный пр€мой, называетс€ ее нормалью.

“аким образом, если пр€ма€ задана общим уравнением , то ее нормаль коллинеарна вектору , и сам этот вектор можно брать в качестве нормали.

ѕроведем анализ общего уравнени€ пр€мой.

≈сли =0, то , т.е. пр€ма€ проходит через начало координат.

≈сли ¬ =0, то , , .

≈сли ¬ =0 и =0, то , т.е. - пр€ма€ проходит через начало координат, параллельно оси Oy, т.е. совпадает с осью ќу.

ќстальные случаи рассмотрите самосто€тельно.

2. ”равнение пр€мой, проход€щей через данную
точку перпендикул€рно данному вектору

ƒаны точка и вектор . —оставим уравнение пр€мой .

ѕусть точка . “огда . —ледовательно, . ѕолучаем уравнение пр€мой :

. (2)

ѕр. Ќайти уравнение пр€мой , проход€щей через точку параллельно другой пр€мой .

–ешение. или .

”равнение пр€мой с угловым коэффициентом

”равнение пр€мой, имеющее вид

, (3)

где , называетс€ уравнением с угловым коэффициентом.

„исло называет угловым коэффициентом. Ќетрудно установить, что , где угол наклона пр€мой к положительному направлению оси ќx.

”равнение пр€мой, проход€щей через данную точку с данным угловым коэффициентом k имеет вид:

.

«амечание. ”равнением с угловым коэффициентом нельз€ задать пр€мую, перпендикул€рную оси ќх. “ака€ пр€ма€ имеет уравнение вида (см. п.1).

4. ”равнение пр€мой, проход€щей через данную
точку параллельно данному вектору

ƒаны точка и вектор . —оставим уравнение пр€мой .

ѕусть точка . “огда . »спользу€ условие коллинеарности векторов, получаем уравнение пр€мой :

. (4)

5. ”равнение пр€мой, проход€щей
через две данные точки.

ѕусть точки . —оставим уравнение этой пр€мой.

¬озьмем произвольную точку .

. (5)

6. ”равнений пр€мой в Ђотрезкахї.

ѕусть точки . —оставим уравнение пр€мой через две эти точки: . ѕолучаем:

. (6)

—овместное исследование уравнений пр€мых

ѕусть даны уравнени€ двух пр€мых: и .

а) “очка пересечени€ пр€мых:

б) ”гол между двум€ пр€мыми: и . “огда

или .

в) ”словие параллельности двух пр€мых:

или .

г) ”словие перпендикул€рности пр€мых:

.

»ли .

д) ”словие совпадени€ двух пр€мых: .

ѕр. ѕроверить, будут ли пр€мые параллельны, перпендикул€рны или найти угол меду пр€мыми и точку их пересечени€, построить пр€мые: .

 ривые второго пор€дка.

ќпр.  ривой 2Цго пор€дка или линией 2-го пор€дка называетс€ лини€, имеюща€ в ƒѕ—  уравнение 2-й степени относительно x и y:

, .

1. Ёллипс (Ђ недостатокї с греч. )

ќпр. Ёллипсом называетс€ геометрическое место точек, сумма рассто€ний которых от двух данных точек (фокусов) есть величина посто€нна€, больша€ рассто€ни€ между фокусами.

ѕолучим уравнение эллипса. ƒл€ этого введем на плоскости ƒѕ—  так, чтобы фокусы эллипса были расположены на оси ќх симметрично относительно начала координат (см. рис.). –ассто€ние между фокусами обозначим . ¬озьмем произвольную точку , принадлежащую эллипсу. ѕо определению эллипса сумма рассто€ний от ћ до есть величина посто€нна€ дл€ всех точек кривой. ќбозначим эту сумму 2 а, :

. . —ледовательно,

;

;

.

ќбозначим . ќчевидно, что .

.

ќбе части последнего уравнени€ разделим на .

. (7)

ќпр. „исла называютс€ полуос€ми эллипса.

≈сли в уравнении (7) , то можно переименовать оси координат. ¬ этом случае фокусы эллипса будут находитьс€ на оси ќу.

≈сли фокусное рассто€ние эллипса нулевое, т.е. , то получаем окружность:

(8)

ќпр. ќси симметрии эллипса называютс€ ос€ми эллипса, центр его симметрии (точка пересечени€ осей) − центром эллипса, точки пересечени€ эллипса с ос€ми − вершинами эллипса.

ќпр. ќтношение рассто€ни€ между фокусами к большой оси называетс€ эксцентриситетом эллипса: (<эллипс>- <недостаток>).

«амечание. . ѕоэтому:

если , то и эллипс Ђкруглеетї;

если , то и эллипс Ђсжимаетс€ї.

”равнение эллипса в параметрической форме:

,

где угол поворота радиус-вектора точки относительно положительного направлени€ оси ќх.

ѕараметрическое задание окружности (8):

.

ќпр. ≈сли эллипс задан уравнением (7) и , то пр€мые называютс€ директрисами эллипса. ≈сли , директрисами называютс€ пр€мые .

—войство директрисы: дл€ любой точки эллипса отношение ее рассто€ни€ до некоторого фокуса к рассто€нию до односторонней с этим фокусом директрисы есть величина посто€нна€, равна€ эксцентриситету эллипса:

.

2. √ипербола (<избыток, преувеличение> с греч.)

ќпр. √иперболой называетс€ геометрическое место точек, модуль разности рассто€ний которых от двух данных точек (фокусов) есть величина посто€нна€, меньша€ рассто€ни€ между фокусами.

ѕолучим уравнение гиперболы. ƒл€ этого введем на плоскости ƒѕ—  так, чтобы фокусы гиперболы были расположены на оси ќх симметрично относительно начала координат (см. рис.). –ассто€ние между фокусами обозначим . ¬озьмем произвольную точку , принадлежащую гиперболе. ѕо определению гиперболы модуль разности рассто€ний от ћ до есть величина посто€нна€ дл€ всех точек кривой. ќбозначим эту величину 2 а, : . . —ледовательно,

;

;

.

ќбозначим . ѕолучим

.

ќбе части последнего уравнени€ разделим на .

. (9)

ќпр. ≈сли гипербола задана уравнением (9), то число а называетс€ действительной, а мнимой полуосью гиперболы.

√ипербола также может быть задана уравнением

. (10)

¬ этом случае а Ц мнима€, а действительна€ полуось.

ќпр. √ипербола, у которой , называетс€ равнобочной.

ќпр. ѕр€мые называютс€ асимптотами гиперболы.

ќпр. ќси симметрии гиперболы называютс€ ос€ми гиперболы, центр его симметрии (точка пересечени€ осей) − центром гиперболы. √ипербола пересекает одну из своих осей. “очки пересечени€ гиперболы с осью называютс€ вершинами гиперболы.

ќпр. ќтношение рассто€ни€ между фокусами к длине действительной оси называетс€ эксцентриситетом гиперболы: (<гипербола>- <избыток>).

«амечание. . ѕоэтому:

если , то и ветви гиперболы сжимаютс€;

если , то становитс€ гораздо больше а, и ветви расшир€ютс€.

ќпр. ƒл€ гиперболы, заданной уравнением (9), пр€мые называютс€ директрисами. ¬ случае уравнени€ (10) директрисами называютс€ пр€мые .

—войство директрисы: дл€ любой точки гиперболы отношение ее рассто€ни€ до некоторого фокуса к рассто€нию до односторонней с этим фокусом директрисы есть величина посто€нна€, равна€ эксцентриситету гиперболы:

.

3. ѕарабола ( греч.- приложение )

ќпр. ѕараболой называетс€ геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки F (фокуса) и данной пр€мой d (директрисы) .

ѕолучим уравнение параболы. ƒл€ этого введем на плоскости ƒѕ—  так, чтобы фокус F оказалс€ на оси ќх и имел координаты , а директриса d совпала с пр€мой , где р Ц рассто€ние от фокуса до директрисы. Ёто рассто€ние называетс€ параметром параболы. ¬озьмем произвольную точку , принадлежащую параболе.

. ѕоэтому

;

;

. (11)

≈сли оси ќх и ќу помен€ть рол€ми, то парабола будет задаватьс€ уравнением

. (12)

ѕо определению эксцентриситет параболы считаетс€ равным 1: .

ќпр. ѕарабола имеет одну ось симметрии. Ёта ось называетс€ осью параболы. “очка пересечени€ параболы с осью называетс€ вершиной параболы.


ѕол€рна€ система координат

ќпр. ѕол€рна€ система координат определ€етс€ заданием:

1) точки ќ Ц начала координат (полюс);

2) луча , исход€щего из полюса (пол€рна€ ось);

3) единицей масштаба.

ѕри этом поворот пол€рной оси вокруг полюса против часовой стрелки считаетс€ положительным. ”глы измер€ютс€ в радианах.

ќпр. ѕол€рным радиусом точки ћ называетс€ рассто€ние ћ от полюса: .

ќпр. ѕол€рным углом точки ћ называетс€ угол поворота пол€рной оси до совпадени€ с лучом ќћ.

ƒл€ задани€ всех точек плоскости достаточно считать, что , а или . “огда дл€ каждой точки плоскости, кроме полюса, существует единственна€ пара пол€рных координат .  оординаты полюса , имеет любое значение.

¬ерно и обратное: люба€ пара значений при определ€ют единственную точку плоскости. «начение задает полюс.

—в€зь ѕ—  с ƒѕ— .

«ададим на плоскости обе системы координат так, чтобы полюс был совмещен с началом ƒѕ— , ось абсцисс совпадала с пол€рной осью и единицы масштаба в обеих системах координат имели одинаковую длину. “огда:

1) если точка ћ задана пол€рными координатами , то ее декартовы координаты вычисл€ютс€ так:

;

2) если известны декартовы координаты точки , то ее пол€рные координаты наход€тс€ таким образом:

,

«амечание. ќграничени€ на пол€рные координаты , не €вл€ютс€ существенными и в р€де задач могут быть убраны. ћожно считать, что . “огда дл€ построени€ точки в случае делаетс€ необходимое число полных оборотов пол€рного луча вокруг полюса, а при от полюса откладываетс€ отрезок длины на продолжении пол€рного луча за полюс.






ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-24; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 517 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

—тудент может не знать в двух случа€х: не знал, или забыл. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

1792 - | 1393 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.051 с.