Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Лекция 6 Прямая на плоскости.

Общее уравнение прямой.

Положение прямой l на плоскости вполне определено, если известны точка , через которую она проходит, и ненулевой вектор , перпендикулярный к этой прямой (рис. 6.1).

Рис 6.1

Вектор называется нормальным вектором прямой.

Пусть M(x;y) – произвольная точка прямой l. Тогда вектор перпендикулярен к вектору , т.е. или

. (6.1)

Соотношению (6.1) удовлетворяют координаты тех и только тех точек плоскости XOY, которые принадлежат прямой l. Следовательно, оно и является искомым уравнением этой прямой и называется уравнением прямой с нормальным вектором ипроходящей через данную точку M₀(x₀;y₀). Раскрыв скобки в уравнении (6.1), получим: , где . (6.2)

Уравнение (6.2) называется общим уравнением прямой.

Замечание. Общее уравнение (6.2) называется полным, если все его коэффициенты A,B,C отличны от нуля. Если же хотя бы один из них равен нулю, то уравнение называется неполным. Рассмотрим возможные случаи неполных уравнений:

1) C=0; уравнение имеет вид и определяет прямую, проходящую через начало координат;

2) B=0 (A≠0); уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси Oy. В частности, уравнение x=0 определяет ось ординат;

3) A=0 (B≠0); уравнение имеет вид и определяет прямую, параллельную оси Ox. В частности, уравнение y=0 определяет ось абсцисс.

 

 

Уравнение прямой в «отрезках».

Рассмотрим общее уравнение прямой при условии, что ни один из коэффициентов A,B,C не равен нулю. Преобразуем его к виду: .

Вводя обозначения , , получаем: . (6.3)

Уравнение (6.3) называют уравнением прямой «в отрезках». Числа a и b являются величинами отрезков, которые прямая отсекает на осях координат.

 

Уравнение прямой с угловым коэффициентом.

Рассмотрим прямую, не перпендикулярную оси Ox. Назовем углом наклона данной прямой к оси Ox угол , на который нужно повернуть ось Ox против часовой стрелки, чтобы положительное направление совпадало с одним из направлений прямой.

Тангенс угла наклона прямой к оси называют угловым коэффициентом этой прямой и обозначают буквой k:

. (6.4)

Выведем уравнение прямой, если известны ее угловой коэффициент и величина отрезка OB, которую она отсекает на оси Oy (рис. 6.2).

 

Рис. 6.2.

 

Пусть M ­– произвольная точка прямой с координатами x и y. Если провести прямые BN и NM, параллельные осям, то образуется прямоугольный треугольник BNM. Точка M лежит на прямой с искомым уравнением тогда и только тогда, когда величины BN и NM удовлетворяют условию .

Так как , то, с учетом формулы (6.4), получаем, что точка M лежит на данной прямой тогда и только тогда, когда ее координаты удовлетворяют условию , которое после преобразования примет вид: . (6.5)

Уравнение (6.5) называется уравнением прямой с угловым коэффициентом.