Дискретно-аналитический метод решения задачи теплопроводности

Математическая постановка задачи имеет вид:

(4.37)

где

– координата по толщине стены, ; – координата по времени, ; – значение температуры в точке во время ; – коэффициент температуропроводности материала; – функция, характеризующая мощность возможного источника тепла.

Задача (4.37) определена в пространственно-временной области W:

. (4.38)

Отметим, что

; . (4.39)

Заметим, что поскольку задача (4.37) содержит начальные условия по времени, то она является задачей Коши.

Ниже рассмотрим дискретно-аналитический метод решения задачи, который состоит в следующем: по оси x осуществляется конечно-разностная аппроксимация, а по времени t рассматривается непрерывная (континуальная) задача.

Пусть , – координаты точек разбиения, причем и – граничные точки (в которых заданы краевые условия). Таким образом, искомыми будут являться функции , во внутренних узлах сетки. Схема аппроксимации пространственно-временной области в данном случае условно показана на рис. 5.5.1.

Рис. 4.1. Пространственно-временная область:

Во всех внутренних точках узлах уравнение теплопроводности в (4.37) примет вид:

(4.40)

при этом пусть

, . (4.41)

В соответствии с краевыми условиями из (4.37) для граничных точек, в свою очередь, можем записать:

, , . (4.42)

Следовательно, уравнения теплопроводности для узлов с номерами и имеют соответственно вид:

; (4.43)

. (4.44)

Введем обозначения:

; , (4.45)

где

; . (4.46)

Получаем матричную формулировку разрешающей системы уравнений:

(4.47)

где

; ; . (4.48)

Согласно (4.31)-(4.32) общее решение задачи (4.47) имеет вид:

. (4.49)

Если не зависит от , переходим к формуле

Выполняем интегрирование:

откуда

. (4.50)

Реализация формулы (4.50) предполагает вычисление экспоненты от матрицы , для выполнения которого следует воспользоваться результатами предыдущего параграфа (см. формулу (4.17)). Имеем: