Симметричные криптосистемы

Все мно­го­об­ра­зие су­ще­ст­вую­щих крип­то­гра­фи­че­ских ме­то­дов мож­но све­сти к сле­дую­щим клас­сам пре­об­ра­зо­ва­ний:

 

Мо­но- и мно­го­ал­фа­вит­ные под­ста­нов­ки.

Наи­бо­лее про­стой вид пре­об­ра­зо­ва­ний, за­клю­чаю­щий­ся в за­ме­не сим­во­лов ис­ход­но­го тек­ста на другие (того же алфавита) по бо­лее или ме­нее слож­но­му пра­ви­лу. Для обес­пе­че­ния вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти тре­бу­ет­ся ис­поль­зо­ва­ние боль­ших клю­чей.

Пе­ре­ста­нов­ки.

Так­же не­слож­ный ме­тод крип­то­гра­фи­че­ско­го пре­об­ра­зо­ва­ния. Ис­поль­зу­ет­ся как пра­ви­ло в со­че­та­нии с дру­ги­ми ме­то­да­ми.

Гам­ми­ро­ва­ние.

Этот ме­тод за­клю­ча­ет­ся в на­ло­же­нии на ис­ход­ный текст не­ко­то­рой псев­до­слу­чай­ной по­сле­до­ва­тель­но­сти, ге­не­ри­руе­мой на ос­но­ве клю­ча.

Блочные шифры.

Пред­став­ля­ют со­бой по­сле­до­ва­тель­ность (с воз­мож­ным по­вто­ре­ни­ем и че­ре­до­ва­ни­ем) ос­нов­ных ме­то­дов пре­об­ра­зо­ва­ния, при­ме­няе­мую к блоку (части) шиф­руе­мого­ тек­ста. Блочные шифры на прак­ти­ке встре­ча­ют­ся ча­ще, чем “чис­тые” пре­об­ра­зо­ва­ния то­го или ино­го клас­са в си­лу их бо­лее вы­со­кой крип­то­стой­ко­сти. Рос­сий­ский и аме­ри­кан­ский стан­дар­ты шиф­ро­ва­ния ос­но­ва­ны имен­но на этом классе шифров.

Перестановки

Перестановкой s набора целых чисел (0,1,...,N-1) называется его переупорядочение. Для того чтобы показать, что целое i пере­мещено из позиции i в позицию s(i), где 0 £ (i) < n, будем использовать запись

s=(s(0), s(1),..., s(N-1)).

Число перестановок из (0,1,...,N-1) равно n!=1*2*...*(N-1)*N. Введем обозначение s для взаимно-однозначного отображения (гомо­морфизма) набора S={ s ₀, s ₁,..., s _N-1}, состоящего из n элементов, на себя.

s: S ® S

s: s _i ® s _s(i), 0 £ i < n

Будем говорить, что в этом смысле s является перестановкой элементов S. И, наоборот, автоморфизм S соответствует пере­становке целых чисел (0,1,2,.., n -1).

Криптографическим преобразованием T для алфавита Z_m называется последовательность автоморфизмов: T={T⁽ⁿ⁾:1£n<¥}

T⁽ⁿ⁾: Z_m,n®Z_m,n, 1£n<¥

Каждое T⁽ⁿ⁾ является, таким образом, перестановкой n -грамм из Z_m,n.

Поскольку T⁽ⁱ⁾ и T^(j) могут быть определены независимо при i¹j, число криптографических преобразований исходного текста размерности n равно (mⁿ)![2]. Оно возрастает непропорционально при увеличении m и n: так, при m =33 и n =2 число различных криптографических преобразований равно 1089!. Отсюда следует, что потенциально существует большое число отображений исходного текста в шифрованный.

Практическая реализация криптогра­фических систем требует, чтобы преобразо­вания {T _k: k Î K } были определены алгоритмами, зависящими от относительно небольшого числа параметров (ключей).

Сис­те­мы под­ста­но­вок

Определение Подстановкой p на алфавите Z_m называется автоморфизм Z_m, при котором буквы исходного текста t замещены буквами шифрованного текста p(t):

Z_m à Z_m; p: t à p(t).

Набор всех подстановок называется симметрической группой Z_m è будет в дальнейшем обозначаться как SYM(Z_m).

Утверждение SYM(Z_m) c операцией произведения является группой, т.е. операцией, обладающей следующими свойствами:

Замкнутость: произведение подстановок p₁p₂ является подста­новкой:

p: tàp₁(p₂(t)).

Ассоциативность: результат произведения p₁p₂p₃ не зависит от порядка расстановки скобок:

(p₁p₂)p₃=p₁(p₂p₃)

Существование нейтрального элемента: постановка i, опре­деляемая как i(t)=t, 0£t<m, является нейтральным элементом SYM(Z_m) по операции умножения: ip=pi для "pÎSYM(Z_m).

Существование обратного: для любой подстановки p существует единственная обратная подстановка p^-1, удовлетворя­ющая условию

pp^‑1=p^‑1p=i.

Число возможных подстановок в симметрической группе Z_m называется порядком SYM(Z_m) и равно m!.

Определение. Ключом подстановки k для Z_m называется последовательность элементов симметрической группы Z_m:

k =(p ₀, p ₁,..., p _n-1,...), p _nÎSYM(Z_m), 0£n<¥

Подстановка, определяемая ключом k, является крипто­гра­фи­ческим преобразованием T _k, при помощи которого осуществляется преоб­разование n -граммы исходного текста (x₀,x₁,..,x_n-1) в n -грамму шифрованного текста (y₀,y₁,...,y_n-1):

y_i= p (x_i), 0£i<n

где n – произвольное (n=1,2,..). T _k называется моноалфавитной под­ста­новкой, если p неизменно при любом i, i=0,1,..., в противном случае T _k называется многоалфавитной подстановкой.

Примечание. К наиболее существенным особенностям подста­новки T _k относятся следующие:

1. Исходный текст шифруется посимвольно. Шифрования n -граммы (x₀,x₁,..,x_n-1) и ее префикса (x₀,x₁,..,x _{s -1}) связаны соотношениями

T _k (x₀,x₁,..,x_n-1)=(y₀,y₁,...,y_n-1)

T _k (x₀,x₁,..,x _{s -1})=(y₀,y₁,...,y _{s -1})

2. Буква шифрованного текста y_i является функцией только i-й компоненты ключа p_i и i-й буквы исходного текста x _i.

Подстановка Цезаря

Подстановка Цезаря является самым простым вариантом подстановки. Она относится к группе моноалфавитных подстановок.

Определение. Подмножество C_m={C _k: 0£ k <m} симметрической группы SYM(Z_m), содержащее m подстановок

C _k: j®(j+ k) (mod m), 0£ k < m,

называется подстановкой Цезаря.

Умножение коммутативно, C _k C_j=C_jC _k =C_{j+ k} , C₀ – идентичная подстановка, а обратной к C_к является C _k ^-1=C_{m- k} , где 0< k <m. Семейство подстановок Цезаря названо по имени римского императора Гая Юлия Цезаря, который поручал Марку Туллию Цицерону составлять послания с использованием 50-буквенного алфавита и подстановки C₃.

Подстановка определяется по таблице замещения, содержащей пары соответствующих букв “исходный текст – шифрованный текст”. Для C₃ подстановки приведены в Табл. 1. Стрелка (à) означает, что буква исходного текста (слева) шифруется при помощи C₃ в букву шифрованного текста (справа).

Определение. Системой Цезаря называется моноалфа­витная подстановка, преобразующая n -грамму исходного текста (x₀, x ₁,..,x_n-1) в n ‑грамму шифрованного текста (y₀,y₁,...,y_n-1) в соответствии с правилом

y_i=C _k (x_i), 0£i<n.

Например, ВЫШЛИТЕ_НОВЫЕ_УКАЗАНИЯ посредством подстановки C₃ преобразуется в еюыолхиврсеюивцнгкгрлб.

Таблица 1.

Аàг	Йàм	Тàх	Ыàю
Бàд	Кàн	Уàц	Ьàя
Вàе	Лàо	Фàч	Эà_
Гàж	Мàп	Хàш	Юàа
Дàз	Нàр	Цàщ	Яàб
Еàи	Оàс	Чàъ	_àв
Жàй	Пàт	Шàы
Зàк	Рàу	Щàь
Иàл	Сàф	Ъàэ

 

При своей несложности система легко уязвима. Если злоумышленник имеет

1) шифрованный и соответ­ствующий исходный текст или

2) шифрованный текст выбранного злоумыш­ленником исходного текста,

то определение ключа и дешифрование исходного текста тривиальны.

Более эффективны обобщения подстановки Цезаря - шифр Хилла и шифр Плэйфера. Они основаны на подстановке не отдельных символов, а 2-грамм (шифр Плэйфера) или n -грамм[3] (шифр Хилла). При более высокой криптостойкости они значительно сложнее для реализации и требуют достаточно большого количества ключевой информации.