МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ДАННЫХ
Расчетно-графическая работа
Вариант № 1
Пояснительная записка
(СТ.231000.064.ПЗ)
Руководитель:
________ Т.Н.Логиновская
(подпись)
_________«___» _________2013г.
(оценка)
Выполнил:
Студент группы 21-06
________Д. В. Рулькевич
(подпись)
«_____» _______________2013г.
Красноярск, 2013
Задание:
Проводятся результаты 100 наблюдений над некоторой случайной двумерной величиной: (X, Y).
Требуется для каждой случайной величины X и Y (сокращенно СВ X и СВ Y):
1. Построить интервальный и дискретный статистический ряды распределения частот и относительных частот.
2. Построить гистограмму и полигон относительных частот.
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график.
4. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.
5. Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма её образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.
6. Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.
7. Проверить с помощью критерия согласия Пирсона гипотезу о том, что выборка извлечена из генеральной совокупности с предполагаемым нормальным законом распределения.
8. В случае принятия гипотезы найти интервальные оценки параметров нормального закона распределения (доверительную вероятность принять равной 0,95).
9. Провести корреляционный анализ:
а) Составить корреляционную таблицу;
б) Найти выборочный коэффициент корреляции;
в) Проверить значимость выборочного коэффициента корреляции при
α = 0,05(Н0: ρ = 0), при альтернативной гипотезе Нα: ρ ≠ 0;
г) Построить корреляционное поле и по характеру расположения точек на нём подобрать общий вид функции регрессии;
д) Найти эмпирические функции регрессии Y на X, X на Y и построить их графики.
Вариант № 1
| № | X | № | X | № | X | № | X | № | X |
Построить интервальный и дискретный статистический ряды распределения частот и относительных частот.
Сделаем группировку наблюдаемых значений. Оптимальную длину интервала определим по формуле Стэрджеса:
Таблица 1
Вспомогательная таблица для расчета числовых характеристик выборки
| Интервалы (a(i);a(i+1)] | Середины интервалов | Подсчет частот | Частоты n(i) | Относит.частоты W(i)=n(i)/n | Накопленные Относит.частоты |
| (11,5;14,5] | 0,02 | 0,02 | |||
| (14,5;17,5] | 0,06 | 0,08 | |||
| (17,5;20,5] | 0,17 | 0,25 | |||
| (20,5;23,5] | 0,19 | 0,44 | |||
| (23,5;26,5] | 0,21 | 0,65 | |||
| (26,5;29,5] | 0,2 | 0,85 | |||
| (29,5;32,5] | 0,11 | 0,96 | |||
| (32,5;35,5] | 0,03 | 0,99 | |||
| (35,5;38,5] | 0,01 |
Построить гистограмму и полигон относительных частот.
РИС. 1 Гистограмма и полигон относительных частот
3. Найти эмпирическую функцию распределения и построить её график.
| 0, | если x <= 11,5 | ||||
| 0,08 | если 11,5 <= x <=14,5 | ||||
| 0,25 | если 14,5 <= x <= 17,5 | ||||
| 0,44 | если 17,5 <= x<= 20,5 | ||||
| F(x)= | 0,65 | если 20,5 <= x <= 23,5 | |||
| 0,85 | если 23,5 <= x <= 26,5 | ||||
| 0,96 | если 26,5 <= x <= 32,5 | ||||
| 0,99 | если 32,5 <= x <= 35,5 | ||||
| если 35,5 <= x <= 38,5 | |||||
РИС. 2 График функции распределения
4. Вычислить числовые характеристики выборки: выборочную среднюю, выборочную дисперсию, выборочное среднее квадратическое отклонение, выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса.
Таблица 2
Таблица для расчета числовых характеристик выборки
| Середины интервалов y(i) | Частоты n(i) | y(i)-Y | (y(i)-Y)*n(i) | ((y(i)-Y)^2)*n(i) | ((y(i)-Y)^3)*n(i) | ((y(i)-Y)^4)*n(i) |
| -36,6 | -73,20 | 2679,12 | -98055,79 | 3588841,99 | ||
| -33,6 | -201,60 | 6773,76 | -227598,34 | 7647304,09 | ||
| -30,6 | -520,20 | 15918,12 | -487094,47 | 14905090,84 | ||
| -27,6 | -524,40 | 14473,44 | -399466,94 | 11025287,65 | ||
| -24,6 | -516,60 | 12708,36 | -312625,66 | 7690591,14 | ||
| -21,6 | -432,00 | 9331,20 | -201553,92 | 4353564,67 | ||
| -18,6 | -204,60 | 3805,56 | -70783,42 | 1316571,54 | ||
| -15,6 | -46,80 | 730,08 | -11389,25 | 177672,27 | ||
| -12,6 | -12,60 | 158,76 | -2000,38 | 25204,74 | ||
| Сумма | -2532,00 | 66578,40 | -1810568,16 | 50730128,93 |
Выборочное среднее (Y) даёт среднее значение мощности двигателя для данной
выборки.
Выборочная дисперсия:
Выборочное среднее квадратичное отклонение:
Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса вычисляют по формулам:
Ay – говорит о несимметричности полигона относительно выборочного среднего Y.
Эу > 0, - это говорит о том, что полигон более крут, чем нормальная кривая.
5. Сделать предварительный выбор закона распределения наблюдаемой случайной величины, исходя из механизма её образования, по виду гистограммы и полигона относительных частот и по значениям выборочных коэффициентов асимметрии и эксцесса.
Вид полигона и гистограммы относительных частот напоминает нормальную кривую. Выборочные коэффициенты асимметрии и эксцесса для нормального распределения не более, чем на утроенные средние квадратичные ошибки их определения.
Где:
Итак, по совокупности указанных признаков можно предположить, что распределение СВ Y является нормальным.
Найти точечные оценки параметров нормального закона распределения, предполагая, что наблюдаемая случайная величина распределена по нормальному закону, и записать функцию плотности распределения вероятностей.
В качестве неизвестных параметров α и 
возьмем их точечные оценки Y и Syсоответственно.
Функция плотности:
Функция распределения вероятности:
