Числовые характеристики случайных величин

Математическое ожидание характеризует положение случайной величины на числовой оси, определяя некоторое среднее значение, около которого сосредоточены все возможные значения случайной величины.

Для непрерывных случайных величин с плотностью распределения f(x) математическое ожидание равно определённому интегралу:

Пример 4.2.

Найти математическое ожидание дискретной случайной величины Х, зная закон её распределения.

Х	-1
р	0,05	0,2	0,4	0,3	0,05

По формуле находим:

Пример 4.3.

Найти математическое ожидание непрерывной случайной величины Х, зная закон её распределения.

По формуле находим:

Свойства математического ожидания:

1. Математическое ожидание постоянной величины равно этой постоянной: .

2. Постоянный множитель можно выносить за знак математического ожидания:

3. Математическое ожидание алгебраической суммы случайных величин равно алгебраической сумме их математических ожиданий:

4. Математическое ожидание произведения независимых случайных величин равно произведению их математических ожиданий:

5. Математическое ожидание отклонения случайной величины от её математического ожидания всегда равно нулю:

Дисперсия характеризует рассеяние (отклонение) случайной величины относительно математического ожидания.

.

Для дисперсии случайной величины:

Для непрерывных случайных величин с плотностью вероятности f(x):

Размерность дисперсии равна квадрату случайной величины и её неудобно использовать для характеристики разброса, поэтому удобнее применять корень квадратный из дисперсии - среднее квадратическое отклонение. Эта величина даёт представление о размахе колебаний случайной величины около математического ожидания.

.

Пример 4.4.

Случайная величина задана следующим рядом распределений.

Х	-1
р	0,1	0,3	0,4	0,2

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

 

Для нахождения математического ожидания воспользуемся формулой , а для дисперсии - Результаты вычисления сведём в таблицу.

x	pi	xipi	xi - M(X)	(xi - M(X))2	(xi - M(X))2 pi
-1	0,1 0,3 0,4 0,2	-0,1 0,4 0,4	-1,7 -0,7 0,3 1,3	2,89 0,49 0,09 1,69	0,289 0,147 0,036 0,338
		0,7			0,81

Из таблицы следует, что М(Х)=0,7; D(X)=0,81.

Пример 4.5.

Случайная величина задана плотностью вероятности:

Найти математическое ожидание и дисперсию этой величины.

По формуле находим:

Далее по формуле

Основные свойства дисперсии:

1. Дисперсия алгебраической суммы двух независимых случайных величин равна сумме дисперсий этих величин: D(X±Y)= D(X) ± D(Y).

2. Дисперсия постоянной величины С равна нулю: D(C) = 0.

3. Постоянный множитель можно выносить за знак дисперсии, предварительно возведя его в квадрат: D(СX)= С² D(X).

4. Дисперсия случайной величины Х равна разности между математическим ожиданием квадрата случайной величины и квадратом её математического ожидания: