Температурное поле. Уравнение теплопроводности

Раздел II. Основы теории теплообмена

Тема 8. Основные понятия и определения

Теория теплообмена изучает процессы распространения теплоты в твердых, жидких и газообразных телах. Теплота может передаваться:

- теплопроводностью;

- конвекцией;

- излучением (радиацией).

Передача теплоты теплопроводностью происходит при непосредственном контакте тел или частицами тел с различными температурами и представляет собой молекулярный процесс передачи теплоты. При нагревании тела кинетическая энергия его молекул возрастает, и частицы более нагретой части тела, сталкиваясь с соседними молекулами, сообщают им часть своей кинетической энергии.

Конвекция - это перенос теплоты при перемещении и перемешивании всей массы неравномерно нагретой жидкости или газа. При этом перенос теплоты зависит от скорости движения жидкости или газа прямо пропорционально. Этот вид передачи теплоты всегда сопровождается теплопроводностью. Одновременный перенос теплоты конвекцией и теплопроводностью называется конвективным теплообменом.

Процесс передачи теплоты (внутренней энергии тела) в виде электромагнитных волн называется излучением (радиацией). Этот процесс происходит в три стадии:

- превращение части внутренней энергии одного из тел в энергию электромагнитных волн,

- распространение электромагнитных волн в пространстве,

- поглощение энергии излучения другим телом.

Совместный теплообмен излучением и теплопроводностью называют радиационно-кондуктивным теплообменом.

Совокупность трех видов теплообмена называется сложным теплообменом.

Процессы теплообмена могут происходить в различных средах: чистых веществах и разных смесях, при изменении и без изменения агрегатного состояния рабочих сред и т.д. В зависимости от этого теплообмен протекает по-разному и описывается различными уравнениями.

Процесс переноса теплоты может сопровождаться переносом вещества (массообмен). Например, испарение воды в воздух, движение жидкостей или газов в трубопроводах и т.п. Тогда процесс теплообмена усложняется, так как теплота дополнительно переносится с массой движущегося вещества.

Тема 9. Теплопроводность

Температурное поле. Уравнение теплопроводности

 

Будем рассматривать однородные и изотропные тела, т.е. обладающие одинаковыми физическими свойствами по всем направлениям. При передаче теплоты в твердом теле его температура будет изменяться по всему объему и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени для всех точек изучаемого пространства называется температурным полем:

t=f (x, y, z, τ), (9.1)

где t - температура тела; x, y, z - координаты точки; τ - время.

Температурное поле называется нестационарным, если соответствует неустановившемуся режиму теплопроводности (∂ t /∂ τ ≠0).

Если температура тела зависит только от координат и не изменяется с течением времени, то температурное поле называется стационарным:

t=f (x, y, z), ∂ t /∂ τ =0. (9.2)

Уравнение двухмерного температурного поля:

- для нестационарного режима:

t=f (x, y, τ), ∂ t /∂ τ ≠0; (9.3)

для стационарного режима:

t=f (x, y), ∂ t /∂ z =0, ∂ t /∂ τ =0. (9.4)

Уравнение одномерного температурного поля:

для нестационарного режима:

t=f (x, τ), ∂ t /∂ y =∂ t /∂ z =0, ∂ t /∂ τ ≠0; (9.5)

для стационарного режима:

t=f (x), ∂ t /∂ y =∂ t /∂ z =0, ∂ t /∂ τ =0. (9.6)

Изотермическая поверхность - поверхность тела с температурой, одинаковой во всех точках.

Рассмотрим две изотермические поверхности (рис. 9.1) с температурами t и t +∆ t. Градиент температуры - предел отношения изменения температуры ∆ t к расстоянию между изотермами по нормали ∆ n, когда ∆ n стремится к нулю:

grad t =| grad t |= lim_{∆ n →0} [∆ t /∆ n ] =∂ t /∂ n. (9.7)

Температурный градиент - это вектор, направленный по нормали к изотермической поверхности в сторону возрастания температуры и численно равный производной температуры t по нормали n:

grad t = ∂ t /∂ n n _o, (9.7^*)

где n _o -единичный вектор нормали.

Количество теплоты, проходящее через изотермическую поверхность F в единицу времени, называется тепловым потоком Q, [Вт=Дж/с].

Тепловой поток, проходящий через единицу площади, называют плотностью теплового потока

q=Q/F, [Вт/м²].

Тепловой поток в твердом теле подчиняется закону Фурье: тепловой поток пропорционален градиенту температуры и площади сечения, перпендикулярного направлению теплового потока,

Q = -λ∙F∙∂t/∂n, (9.8)

или

q = -λ∙∂t/∂n∙n_o = -λ ∙grad t, (9.9)

где q - вектор плотности теплового потока; λ - κоэффициент теплопроводности, [Вт/(м∙К)].

Значение плотности теплового потока вычисляется по формуле:

q=-λ∙∂t/∂n=-λ ∙|grad t |, (9.10)

где |grad t | - модуль температурного градиента.

Коэффициент теплопроводности - физический параметр вещества, характеризующий способность тела проводить теплоту. Эта способность зависит от рода вещества, давления и температуры. Для большинства веществ коэффициент теплопроводности определяют опытным путем и для технических расчетов берут из справочной литературы.