Задания для самостоятельного решения. Вектором называется направленный отрезок в пространстве (на плоскости)

Векторная алгебра

Вектором называется направленный отрезок в пространстве (на плоскости). Вектор имеет две характеристики: длину, называемую также модулем и обозначаемую и направление. Принято также вектор обозначать двумя буквами, первая из которых указывает начало вектора, вторая – конец: .

Два вектора считаются равными, если они: 1) равны по длине, 2) лежат на параллельных прямых, 3) сонаправлены. Вектор, имеющий нулевую длину (то есть у которого совпадают начало и конец), называется нуль-вектором или нулевым вектором и обозначается 0, нуль-вектор считается параллельным любому вектору. Вектор, модуль которого равен единице, называется единичным вектором или ортом.

Суммой векторов и называется вектор , определяемый по правилу: если путём параллельного переноса совместить начало вектора с концом вектора , то начало вектора совпадает с началом , а конец – с концом ; при этом пишут . Векторы можно складывать и по «правилу параллелограмма».

Произведением вектора на действительное число называется вектор, обозначаемый и удовлетворяющий следующим требованиям: 1) ; 2) и параллельны; 3) и сонаправлены при и направлены в противоположные стороны при .

Эти две операции обладают привычными для нас свойствами: , , и т.д.

Единичный вектор, параллельный и сонаправленный с ним, называется ортом вектора и обозначается ; . Векторы называются коллинеарными, если они параллельны. Тройка векторов называется компланарной, если путём параллельного переноса все три вектора удаётся поместить в одну плоскость.

Система векторов называется линейно-зависимой, если существуют числа , не все равные нулю и такие, что . Если же равенство возможно лишь при , то система векторов называется линейно независимой.

Теорема 1. а) Векторы коллинеарны в том и только в том случае, если они линейно-зависимы; б) векторы компланарны в том и только в том случае, если они линейно-зависимы.

Упорядоченная тройка (двойка ) некомпланарных (неколлинеарных) векторов пространства (плоскости) называется базисом во множестве всех векторов пространства (плоскости). Любой вектор в пространстве может быть представлен в виде линейной комбинации векторов базиса :

более того, такое представление единственно; числа называются координатами вектора в базисе .

При сложении векторов складываются их соответствующие координаты; при умножении вектора на число каждая координата вектора умножается на это число. Векторы и коллинеарны в том и только в том случае, если координаты этих векторов (в произвольном базисе) пропорциональны. Если векторы единичные и взаимно перпендикулярны, то они образуют базис, который называется ортонормированным.

Упорядоченная тройка некомпланарных векторов образует правую (левую) тройку, если после совмещения их начал путём параллельного переноса, кратчайший поворот от первого вектора ко второму вектору виден из конца третьего вектора , совершающимся против (по) часовой стрелки. Для ортонормированного базиса , образующего правую тройку, приняты обозначения .

Проекцией вектора на вектор (или на ось, параллельную и сонаправленную ) называют число , где j – угол между векторами и . В ортонормированном базисе координаты X, Y, Z вектора совпадают с его проекциями на базисные орты : при этом . Обозначим через углы между вектором и векторами соответственно. Числа называются направляющими косинусами вектора . Имеют место формулы:

, ,

Часто краткости ради вместо пишут . Аналогичные определения приняты на множестве векторов плоскости.

Теорема 2. Тройка векторов , , образует базис в том и только в том случае, если

Прямоугольная система координат в пространстве задаётся точкой О – началом координат – и ортонормированным базисом . Оси Оx, Оy, Оz, проведённые через точку О параллельно векторам , называются координатными осями.

Каждой точке M пространства ставится в соответствие вектор , называемый радиус-вектором точки M; это соответствие является взаимно-однозначным. Координатами x, y, z точки M называются координаты её радиус-вектора Координаты вектора выражаются через координаты начала и конца вектора по формулам:

, , . Расстояние между точками и выражается формулой

Скалярным произведением векторов и называется произведение модулей этих векторов на косинус угла между и : . (Наряду с обозначением принято и другое: ).

Теорема 3. а) Пусть , . Тогда в том и только в том случае, если ; б) ; в) ; г) ; д) , причём в том и только в том случае, если .

Из определения скалярного произведения следует: , .

Теорема 4. Если , , то .

Отсюда следует формула косинуса угла между векторами и :

в том и только в том случае, если .

Векторным произведением упорядоченной пары неколлинеарных векторов и называется вектор , удовлетворяющий следующим трём требованиям: 1) , где j – угол между векторами и ; 2) перпендикулярен каждому из векторов и ; 3) , , образуют правую тройку. Векторное произведение принято также обозначать .

Теорема 5. a) равен площади параллелограмма, построенного на векторах и ; б) ; в) ; г) .

Теорема 6. Если , , то

Смешанным произведением векторов , , называется скалярное произведение векторов и ; смешанное произведение векторов , , обозначается .

Теорема 7. а) , , компланарны в том и только в том случае, если ;

б) для некомпланарной тройки векторов , , в том и только в том случае, если , , образуют правую тройку, и в том и только в том случае, если , , образуют левую тройку; в) равен объёму параллелепипеда, построенного на векторах , , ;