Однородные системы линейных уравнений

Система линейных алгебраических уравнений вида

(6.5)

называется однородной системой линейных алгебраических уравнений.

Очевидно, что однородная система всегда совместна, так как для нее всегда существует тривиальное решение . Кроме того, она может иметь и нулевое решение.

1. Однородная система имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ранг матрицы системы меньше числа неизвестных, т.е. , где , А – матрица системы.

2. Однородная система, в которой число уравнений равно числу неизвестных, имеет ненулевое решение тогда и только тогда, когда ее определитель равен нулю.

Пример. Решить систему .

Решение. Система однородная, следовательно, она имеет единственное решение или множество решений. Для выяснения этого найдем ранг основной матрицы (он всегда равен рангу расширенной) и сравним его с числом неизвестных.

Ранг матрицы и равен числу неизвестных, система имеет единственное нулевое решение.

Пример. Решить систему .

Решение:

Система однородная, всегда совместная. Исследуем, имеет ли она ненулевое решение. Преобразуем основную матрицу системы:

Так как , а число неизвестных равно трем, то система имеет множество решений, среди которых будут и ненулевые. Восстановим систему по последней матрице: