Систему 
линейных алгебраических уравнений с неизвестными и определителем основной матрицы А системы, отличным от нуля, можно решать с помощью обратной матрицы.
Пусть дана система уравнений (6.3), основная матрица А которой невырожденная. Система имеет единственное решение, которое можно найти по формуле:
,
где 
- матрица, обратная к А.
Пример. Решить систему предыдущего пункта матричным методом.
Решение. Данная система в матричной форме имеет вид 
, где 
, 
, 
. Ее решение .
1) Находим обратную матрицу .
1. 
2. 
, 
, 
,
, 
, 
,
, 
, 
3. 
4. 
5. 
2) 
Ответ: 
, 
, 
.
Решение и исследование систем линейных
алгебраических уравнений
Полный ответ на вопрос о существовании решения системы 
линейных уравнений с неизвестными дает следующая теорема Кронекера-Капелли.
Для того чтобы система уравнений (6.1) была совместна, необходимо и достаточно, чтобы ранг расширенной матрицы был равен рангу основной матрицы системы. Если ранги основной и расширенной матриц совпадают с числом неизвестных, то система имеет единственное решение. Если ранг 
основной и расширенной матриц меньше числа неизвестных 
, то система (6.1) имеет бесконечное множество решений.
В последнем случае неизвестных назовем базисным, а 
- свободными. Свободным неизвестным можно придавать произвольные значения, тогда оставшиеся неизвестных определяются уже единственным образом.
Метод Гаусса (метод последовательного исключения неизвестных).
Метод Гаусса состоит в том, что при помощи элементарных преобразований систему приводят к такому виду, чтобы ее расширенная матрица оказалась трапециевидной (ступенчатой). После этого уже не представляет труда разобраться в вопросе о совместности системы, определить число решений и найти сами решения.
Поясним идею метода Гаусса на примерах.
Пример. Решить систему 
.
Решение. Выписываем расширенную матрицу системы. С помощью элементарных преобразований приведем матрицу к ступенчатому виду
Если не учитывать последний столбец, найдем ранг основной матрицы 
; учитывая последней столбец, найдем ранг расширенной матрицы 
. Число неизвестных тоже равно 3. Система совместна и имеет единственное решение. Полученной матрице соответствует эквивалентная система:
Далее порядок действий очевиден. Из последнего уравнения 
; подставляя это значение во второе уравнение, мы получаем 
. И наконец, из первого уравнения находим 
.
Замечания. При переходе от первой матрицы ко второй в качестве рабочей строки бралась первая, которая умножалась соответственно на 2 и (-1) и складывалась со второй и третьей строками. В результате мы получили нули в первом столбце. При переходе от второй матрицы к третьей в качестве рабочей строки бралась вторая, которая умножалась на (-2) и складывалась с третьей строкой.
Пример. Исследовать систему 
.
Решение.
Составим расширенную матрицу и приведем ее к ступенчатому виду.
Так как 
, , то система несовместна.
Пример. Решить систему 
.
Так как , 
, то система совместна. Она имеет бесчисленное множество решений, потому что ранг матрицы меньше числа неизвестных. Восстановим систему по последней матрице:
Базисными неизвестными являются 
и 
, переменная 
- свободной. Обратной подстановкой найдем и из системы:
,
где - любое действительное число.
