Примеры решения задач контрольной работы

 

Пример 1. Решить уравнение

Решение. Выразим из уравнения Получили однородное уравнение. Делаем замену – уравнение с разделяющимися переменными. Решаем его: Возвращаясь к старой переменной у, получаем:

Ответ:

Пример 2. Найти решение задачи Коши

Решение. Разделим обе части уравнения на x: Получили линейное уравнение.

Решаем уравнение:

Разделяем переменные:

Интегрируем обе части:

Пользуясь свойствами логарифма, получаем (Мы ввели новую константу С ₁, связанную со старой следующим образом: С = ln C ₁). Считая С ₁ функцией от x, подставляем в полученное линейное уравнение и

Отсюда находим C ₁ = sin x + B, где B – константа.

Используя начальные условия, найдём константу В.

Ответ:

Пример 3. Найти частное решение дифференциального уравнения второго порядка, удовлетворяющее указанным начальным условиям: ,

Решение. Дано ЛНДУ II порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью. Решение уравнения ищем в виде

а) Найдем :

Его характеристическое уравнение ; Значит

б) ищем, используя метод неопределённых коэффициентов , , .

Подставив , в исходное уравнение, получаем

Чтобы найти частное решение этого уравнения, удовлетворяющее заданным начальным условиям, продифференцируем

Подставим в и вместо x = 0, = 0, = 1.

Подставим найденные и в : .

Ответ: .

 

Пример 4. Дан степенной ряд . Написать первые четыре члена ряда, найти интервал сходимости ряда и исследовать его сходимость на концах интервала.

Решение:

Найдём радиус сходимости:

Интервал сходимости:

Рассмотрим концы интервала:

при получим ряд

, следовательно (по признаку сравнения) ряд расходится.

при получим ряд , это знакочередующийся ряд. Проверим выполнение условий признака Лейбница:

1)

2) т.е.

Условия выполнены, значит ряд сходится.

Ответ: Ряд сходится при

Пример 5. Найти четыре члена разложения функции в ряд Маклорена.

Решение. Используем известное разложение

область сходимости ­–1 < x £ 1.

Итак:

область сходимости ­

 

Пример 6. В группе 18 студентов из которых, из которых 8 имеют задолженность по математическому анализу. Какова вероятность того, что из 10 произвольно выбранных студентов 3 человек имеют задолженность?

Решение. Такие задачи описываются общей схемой. Имеется совокупность из N ₁ элементов первого вида и N ₂ элементов второго вида. Какова вероятность того, что при выборе совокупности из k элементов она состоит из k ₁ элементов первого вида и k ₂ элементов второго вида, где k = k ₁ + k ₂, k ₁ £ N ₁, k ₂ £ N ₂.

 

Пример 7. Предполагаем, что рост призывника – нормально распределенная случайная величина Х, с математическим ожиданием а и средним квадратическим отклонением s. В специальную команду нужно отобрать призывников ростом от х₁ до х₂ сантиметров. Определить: а) вероятность того, что наудачу взятый призывник попадёт в специальную команду; б) вероятность того, что абсолютная величина отклонения Х–а окажется меньше d; в) по правилу трех сигм найти наибольшую и наименьшую границы предполагаемого роста призывника.

а	s	х1	х2	d

Решение. а) Для нормально распределённой случайной величины

б)

с) По правилу трёх сигм наименьшая граница , наибольшая . Таким образом, .

Наименьшая граница 150 см, наибольшая 210 см.

Пример 8. Задан закон распределения дискретной случайной величины. Найти:

1) значение параметра а;

2) математическое ожидание М(Х);

3) дисперсию D(Х).

Построить многоугольник распределения.

Х
р	0,2	0,1	0,3	0,2	а

Решение.

1)

2)

3)

4) многоугольник распределения:

Пример 9. Случайная величина Х задана функцией распределения.

Требуется:

1) найти функцию плотности вероятности f(x);

2) найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины Х;

3) построить графики функций F(x) и f(x).

 

Решение:

1) ,

2) Найдём М (X) по формуле .

.

Дисперсию вычисляем по формуле

.

3) Построим графики функций и .

Пример 10. Закон распределения двумерной дискретной случайной величины (Х, Y) задан таблицей.

	Y
X
	1/18	1/12	1/36
	1/9	1/6	1/18
	1/6	1/4	1/12

Найти:

1) частные законы распределения случайных величин Х и Y;

2) математические ожидания М (Х) и М (Y);

3) дисперсии D (Х) и D (Y);

4) корреляционный момент C_xy;

5) коэффициент корреляции r_xy;

6) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение.

Решение:

1) частный закон распределения случайной величины Х:

проверка: верно.

хi
pi	1/6	1/3	1/2

частный закон распределения случайной величины Y:

проверка: верно.

yi
pi	1/3	1/2	1/6

 

2) Математические ожидания случайных величин X и Y:

3) Дисперсии D (Х) и D (Y):

,

.

4) Корреляционный момент C_xy:

.

5) коэффициент корреляции где

– среднеквадратические отклонения.

Так как у нас то и

6) условный закон распределения случайной величины Х при условии, что случайная величина Y принимает своё наименьшее значение.

Наименьшее значение при этом

По формуле находим:

 

Условный закон распределения

pi	1/6	1/3	1/2

 

Вопросы к экзамену

 

1. Дифференциальные уравнения первого порядка: с разделяющимися перемен­ными, однородные и приводящиеся к ним, линейные, Бернулли.

2. Уравнения, допускающие понижение порядка.

3. Определитель Вронского. Свойства линейных однородных уравнений.

4. Структура общего решения линейного однородного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

5. Неоднородное линейное уравнение второго порядка. Метод вариации произ­вольных постоянных.

6. Частное решение неоднородного линейного уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами.

1. Ряды. Свойства рядов. Необходимый признак сходимости.
2. Расходимость гармонического ряда.
3. Признаки Даламбера, Коши, сравнения, интегральный признак Коши.
4. Признак Лейбница.
5. Свойства абсолютно сходящихся и условно сходящихся рядов.
6. Интегрирование и дифференцирование равномерно сходящихся рядов.
7. Классическое и геометрическое определения вероятности. Свойство вероятно­сти.
8. Теоремы сложения и умножения.
9. Формула полной вероятности. Вероятность гипотез. Формулы Байеса
10. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли.
11. Теорема Муавра - Лапласа; интегральная теорема Лапласа
12. Операции над СВ.
13. Свойства М(X), D(X).Формулы для вычисления D(X).
14. Одинаково распределенные взаимнонезависимые СВ.
15. Начальные и. центральные теоретические моменты.
16. Биномиальное распределение, распределение Пуассона их числовые характе­ристики.
17. Функция распределения, ее свойства.
18. Плотность распределения вероятностей, ее свойства
19. Числовые характеристики непрерывных СВ
20. Равномерное, нормальное, показательное распределения, их числовые характе­ристики.
21. Кривая Гаусса.
22. Неравенство Чебышева, теорема Чебышева, теорема Бернулли.