Геометрическое сложение четырех и более векторов

Правило геометрического сложения векторов можно распространить на сумму множества заданных векторов.

Правило.Сумму векторов можно получить следующим образом. Из произвольной точки

откладывается вектор, равный первому слагаемому вектору. К концу первого вектора присоединяется начало второго вектора; к концу второго – начало третьего. Вектор, соединяющий начало первого вектора с концом последнего, является суммой данных векторов.

Чтобы задать вектор, нужно задать его модуль и направление. Направление вектора определяется его линией действия. Поэтому в задачах на сложение векторов удобно пользоваться линиями действия векторов, на которых удобно откладывать модули заданных векторов.

Определение. Суммой несколько векторов (рис. 9.14, а) называют вектор

Геометрическое правило сложения нескольких векторов основано на построении векторного многоугольника (по подобию построения векторного треугольника). Возьмем произвольную точку О и путем параллельного переноса совместим начало вектора с этой точкой. Далее последовательно путем параллельного переноса пристраиваем другие векторы один за другим так, чтобы начало последующего вектора совпадало с концом предыдущего, тогда вектор, замыкающий получившуюся ломаную, является суммой слагаемых векторов, причём, его начало совпадает с точкой А (началом первого из слагаемых векторов), а конец – с концом последнего вектора (рис. 9.14, б).

Геометрическая сумма векторов

определена вектором, соединяющим точку О (начало вектора ) с концом последнего вектора . Если построения векторов делать в масштабе, то, измеряя длину полученного вектора , получим его модуль, измеряя транспортиром угол , который образует вектор с положительным направлением оси , определим направление вектора .

Пример 9.9. Вычислить сумму трех векторов , , , , если , , . Направления векторов показаны на рис. 9.15.

Решение. Совместим ось декартовой системы координат с линией действия вектора , а начало – с точкой приложения вектора (рис. 9.15, в). Откладываем отрезок вдоль оси , равный модулю первого вектора– . Далее, через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен ), и откладываем отрезок, равный модулю второго вектора – ; через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линиями действия векторов и равен ), и откладываем отрезок, равный модулю третьей силы – . Через конец вектора проводим прямую, параллельную линии действия вектора (угол между линией действия вектора и положительным направлением оси равен ), и откладываем отрезок, равный модулю четвертой силы – . Вектор , равный сумме векторов + + , соединяет точку О (точка приложения первого вектора) с концом вектора (рис. 9.15, б). Измеряем линейкой модуль вектора : .

Измерим транспортиром угол между положительным направлением оси и вектором : .

В результате измерений получили характеристики вектора

Разность векторов

Разностью двух векторов и называется третий вектор , сумма которого с вычитаемым вектором дает вектор . Таким образом, если , то (на рис. 9.16 а). Вектор соответствует малой диагонали BD параллелограмма, построенного на векторах и , как на сторонах:

Рис. 9.16

Модуль вектора d вычисляется по теореме косинусов, рис. 9.16:

Следует обратить внимание на направление вектора
(рис. 9, 16, б): вектор направлен от конца вектора (точка B) к концу вектора (точка D).