Линейными операциями называются операции сложения и вычитания векторов и умножения вектора на число. Отметим, что для скалярных и векторных величин правила сложения и вычитания разные.
Рассмотрим пример (рис. 9.1, а). Для того чтобы попасть из точки А в некоторую точку С, путник сначала проходит путь АВ, до которого 4 kм, затем путь ВС, равный 3 kм и попадает в пункт С; при этом он проходит путь, который вычисляется алгебраическим сложением
.
Расстояние между пунктами А и С можно вычислитьпо теоремеПифагора(рис. 9.1, а):
.
Определим путь АВ вектором 
, где 
; путь 
– вектором 
, где 
. Тогда путь 
определим вектором 
, где 
(рис. 2.1, б). Из рис. 9.1, б видно, что вектор 
соединяет начало вектора 
с концом вектора 
. Треугольник АВС (рис. 9.1, б) называется векторным треугольником.
Вектор называется суммой векторов и . В этом случае пишут:
. (1)
В общем случае, при сложении двух векторов, приложенных в одну точку А, используют так называемое «правило параллелограмма».
Пример 9. 1. Заданы два вектора и , то есть заданы модули векторов: 
, 
, а направления векторов относительно оси 
показаны на рис. 9.2, а. Сложить геометрически заданные векторы.
Решение. Параллельным переносом совместим начало вектора с концом вектора (рис. 9.2, б). Вектор соединит начало вектора (точку 
) с концом вектора (точкой 
), получим вектор , который является суммой векторов и :
.
Вычислим модуль и направление полученного геометрически вектора . Для этого вычислим угол 
(рис. 9.2, б):
.
По формуле приведения имеем
Используя теорему косинусов для 
, вычислим модуль вектора (рис. 9.2, б):
Определим направление вектора относительно оси , т. е. вычислим угол 
, рис. 9.2, в.
Геометрия задачи (рис. 9.2, б).
Рассмотрим 
. Угол 
, тогда
.
Рассмотрим 
. Угол 
, тогда
Вычислим длину отрезка 
:
.
Рассмотрим 
:
;
.
Геометрическим построением векторов можно убедиться в правильности вычислений, измерив линейкой сторону с параллелограмма и транспортиром угол .
Правило параллелограмма. Пусть и – два свободных вектора (рис. 9.3, а). Выберем произвольно точку А. Параллельным переносом векторов и , совместим их начало с точкой (рис. 9.3, б). Построим на этих векторах, как на сторонах, параллелограмм 
. Для этого из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора ; из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора . Эти прямые пересекутся в точке 
. Вектор , соединяющий точки А и С параллелограмма, является суммой векторов и :
.
Полученный параллелограмм состоит из двух равных треугольников: 
и 
. Если вектор параллельным переносом совместим с прямой , получим правило сложения векторов (1) – правило векторного треугольника, рис. 9.3, в.
Операция сложения векторов обладает переместительным (коммутативным) свойством
.
Модуль вектора вычисляется по теореме косинусов (рис. 9.3, в)
.
Итак, сложение двух векторов можно выполнить двумя способами: построением параллелограмма или построением векторного треугольника. Оба графических построения дают один и тот же результат.
Пример 9.2. Заданы два вектора и : 
, 
, направления векторов относительно оси показаны на рис. 9.4. Сложить заданные векторы по правилу параллелограмма.
Решение. По условию задачиначало векторов и совпадают, рис. 9.5. Из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора ; из конца вектора проведем прямую, параллельную линии действия вектора . Эти прямые пересекутся в точке . Вектор , соединяющий точки А и С параллелограмма, является суммой векторов и :
.
Геометрия задачи (рис. 9.5)
Рассмотрим 
. Угол 
, тогда используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора (рис. 9.5, б):
Определим направление вектора относительно оси , т. е. вычислим угол , рис. 9.5, б.
Рассмотрим 
. Угол 
, тогда, используя теорему синусов для , получим
;
.
Геометрическим построением векторов можно убедиться в правильности вычислений, измерив линейкой сторону с параллелограмма и транспортиром угол . Используя понятия вектора и правила их сложения, можно моделировать и решать реальные физические задачи.
Пример 9.3. Два мальчикакатают на тележке третьего мальчика. Первый мальчик катит тележку в плоскости по горизонтали со скоростью 
, второй – под углом 
к нему со скоростью 
(рис. 9.6, а). Вычислить направление движения тележки.
Решение. Скорость движения любого объекта являетсявекторной величиной, т.к.она определяет и направление движения, и изменение пройденного пути со временем, т. е. величину скорости.
Поэтому направление движения тележки определяется направлением вектора скорости тележки 
.
Изобразим скорость движения мальчиков, катающих тележку через векторы, направление которых задано, рис. 9.6, б.
Вычислим направление скорости тележки. Сложим геометрически векторы 
и 
, отложенные в масштабе 1:2 от точке 
, рис. 9.6, в:
.
Геометрия задачи
Рассмотрим 
и вычислим угол (рис. 9.6, в):
.
Используя теорему косинусов для , вычислим модуль вектора 
(рис. 9.6, в):
Определим направление движения тележки оси , т. е. вычислим угол , рис. 2.6, г.
Рассмотрим . Угол 
, тогда, используя теорему синусов для 
, получим
.
Измерив полученную диагональ (рис.9.6,в), убедимся, что 
Измерив транспортиром угол , убедимся, что 
.
Пример 9. 4. Вертикально падающие капли дождя оставляют на боковых стеклах автомобиля полосы под углом 
к вертикали, рис. 9.7. Скорость движения автомобиля 60 км/ч. Определить, с какой скоростью падают капли дождя.
Решение. Изобразим движение автомобиля, капель дождя на стекле автомобиля, и сам дождь через векторы, направление которых задано, рис. 9.7. Дождь на автомобиль падает вертикально, следовательно, вектор скорости выбранной капли направлен вертикально, обозначим скорость как вектор ; относительно Земли скорость автомобиля обозначим вектором : скорость движения капли дождя по боковому стеклу автомобиля обозначим через вектор (рис. 9.8, а). Тогда вектор скорости капли дождя можно представить в виде геометрической суммы векторов и .
По условию задачи известно, что 
, .
Геометрия задачи
Диагональ параллелограмма 
делит его на два равных треугольника, рис. 9.8, б.
Рассмотрим 
:
.
Подставим заданные значения, получим скорость падающей капли дождя:
.
Пример 9.5. На пресс, сжимающий головку сыра, в точке О приложены две силы 
и 
(рис. 9.9). Вычислить модуль равнодействующей силы 
, сжимающей головку сыра, если она направлена вертикально. Вычислить модуль силы . Дано: 
, 
, 
.
Решение. Изобразим действующие на пресс силы через векторы, направление которых задано, рис. 9.9, б. Геометрическая сумма заданных сил равна равнодействующей силе , которую вычислим по правилу параллелограмма:
.
Диагональ параллелограмма, построенного на векторах, как на сторонах, делит параллелограмм на два равных треугольника. Рассмотрим ,
рис. 9.9, б:
.
По теореме синусов, получаем
.
Здесь
; 
.
Итак,
