Методические указания по решению задач

Задача 1. Парная регрессия и корреляция.

Месячные объемы продаж зерна (Х, центнеров) и величины премиального фонда (Y, тыс. руб.) в девяти отпускных пунктах элеватора, характеризуются следующими данными (таблица 1).

Таблица1

Объем продаж	у	6,1	8,2	7,1	14,9	9,1	9,0	15,8	8,2	7,7
Премиальный фонд	х	2,3	2,8	1,9	3,4	2,6	3,3	4,2	3,0	1,7

Исследовать зависимость премиального фонда от объема продаж, используя линейную зависимость. Получить прогноз объема премиального фонда при продажах 4,5 центнера зерна. Оценить качество прогноза. Продавцы полагают, что если объем продаж составит 5 центнеров, то их премия будет свыше 18 тыс. руб. в месяц. Найти вероятность данного предположения.

Решение:

1. Построим поле корреляции (рис.1).

2. Для расчета параметров уравнения линейной регрессии построим расчетную таблицу (Таблица 2).

Рис. 1 Поле корреляции.

Таблица 2

	y	х	xy*	y²	x²			A_i
	6,1	2,3	14,03	37,21	5,29	7,795	-1,695	1,70%
	8,2	2,8	22,96	67,24	7,84	9,57	-1,37	1,37%
	7,1	1,9	13,49	50,41	3,61	6,375	0,725	0,73%
	14,9	3,4	50,66	222,01	11,56	11,7	3,2	3,20%
	9,1	2,6	23,66	82,81	6,76	8,86	0,24	0,24%
		3,3	29,7		10,89	11,345	-2,345	2,34%
	15,8	4,2	66,36	249,64	17,64	14,54	1,26	1,26%
	8,2		24,6	67,24		10,28	-2,08	2,08%
	7,7	1,7	13,09	59,29	2,89	5,665	2,035	2,04%
Итого	86,1	25,2	258,55	916,85	75,48	86,13	-	14,95%
Среднее значение	9,57	2,8	28,73	101,87	8,39	-	-	1,66
	3,21	0,74	-	-	-	-	-	-
	10,2851	0,55	-	-	-	-	-	-

Коэффициенты уравнения регрессии определим по формулам (1.1), (1.2):

, .

Используя данные расчетной таблицы (Таблица 2), получим значение коэффициентов a, b уравнения регрессии:

Таким образом, уравнение регрессии имеет вид: .

Экономический анализ решения регрессии показывает, что с увеличением продажи зерна на 1 центнер, премиальный фонд возрастает в среднем на 3,55 тыс. руб.

3. Тесноту линейной связи между изучаемыми показателями оценит коэффициент корреляции r_xy и детерминации R². Для расчета r_xy и R² вычислим дисперсии факторов х, у по формулам (1.3), (1.4), (1.5):

Величина дисперсии факторов x,y для наших данных:

Коэффициент корреляции r_xy устанавливает количественную меру тесноты связи и формирует качественную характеристику силы связи:

Коэффициент корреляции по шкале Чеддока (Приложение 3) связь между изучаемыми факторами высокая.

Найдем коэффициент детерминации:

Экономический смысл этого означает, что 65,61% вариации объема продаж (y) объясняется вариацией фактора премиального фонда (х).

4. Вычислим значения по полученному уравнению регрессии:

	2,3	2,8	1,9	3,4	2,6	3,3	4,2	3,0	1,7
	7,795	9,57	6,375	11,7	8,87	11,33	14,54	10,28	5,665

Найдем среднюю ошибку аппроксимации, которая определяет качество полученной модели. Для расчета используются формулы (1.7), (1.8):

Например, для первой строки данных таблицы имеем:

Аналогично найдем значения для всех строк . В результате получаем величину ошибки аппроксимации для нашей задачи:

где

Качество построенной модели оценивается как хорошее, так как фактическое значение не превышает 8-10%.

5. Оценку статистической значимости уравнения регрессии в целом проведем с помощью F-критерия Фишера. Фактическое значение F-критерия вычисляется по формулам (1.9) или (1.10).

Фактическое значение F -критерия Фишера сравнивается с табличным значением F_табл(a; k₁; k₂) (Приложение 2)при уровне значимости α и степенях свободы k₁ = m и k₂ = n - m -1. При этом, если фактическое значение F – критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.

Табличное значение критерия при и степенях свободы k₁ =1 и k₂ =9 - 2 =7 составляет F_табл= 5,59. Для расчета фактического значения F-критерия Фишера используем формулу (1.10). Имеем:

Сравниваем полученное значение с табличным:

F_факт =13,35> F_табл = 5,59.

Так как, полученное (фактическое) значение больше табличного, то уравнение регрессии признается статистически значимым и может использоваться для прогноза премиального фонда.

Оценку статистической значимости параметров регрессии проведем с помощью t -статистики Стьюдента.

Табличное значение (Приложение 4) t -критерия для числа степеней свободы df = n - 2 =9 - 2 =7 и уровня значимости a = 0,05 составит t_табл = 2,36.

Определим случайные ошибки параметров m_a, m_b и коэффициента корреляции по формулам (1.12), (1.13), (1.14):

Предварительно найдем выборочную остаточную дисперсию

Тогда

	(1.12)
	(1.13)
	(1.14)

Фактическая t-статистика определяется по формулам (1.11). Расчеты фактической t-статистики Стьюдента приведены ниже:

Сравниваем полученные значения с табличным значением. В результате имеем:

Видим, что фактическое значение t-статистики коэффициента а не превосходит табличное, то есть коэффициент а незначим. Фактические значения t-статистики параметров b и r_xy превосходят табличное, а следовательно, онине случайно отличаются от нуля и статистически значимы.

6. Найдем прогнозное значение премиального фонда при х = 4,5. По уравнению регрессии находим

тыс. руб.

7. Найдем прогнозное значение премиального фонда при х = 5. По уравнению регрессии находим

тыс. руб.

Определим доверительный интервал для данного индивидуального прогноза

Тогда доверительный интервал:

Искомую вероятность определим, используя нормальный закон распределения с параметрами .

Построим в поле корреляции полученное уравнение линейной регрессии (рис.2).

Рис 2.

Как видно, на графике большинство точек поля корреляции расположены вдоль расчетной теоретической прямой , следовательно, полученное нами уравнение регрессии может использоваться для рассмотрения определенных вопросов, относящихся к исследуемому процессу.

Решение данной задачи можно проверить, используя возможности MS Excel с помощью инструмента анализа данных Регрессия.

Рассмотрим данную задачу в MS Excel 2010.

По умолчанию эта надстройка отключена. Для ее активации необходимо выполнить следующие действия.

1. Активируем вкладку Файл, в открывшемся меню ищем пункт Параметры и кликаем на него.

2. В открывшемся окне, слева, следует активировать пункт Надстройки, выделить Пакет анализа и нажать на кнопку Перейти.

3. Всплывающее окошко предложит выбрать доступные надстройки, в нем необходимо поставить галочку напротив Пакет анализа, а затем подтвердить выбор кликнув по кнопочке ОК.

После активации надстройки Пакета анализа она будет всегда доступна во вкладке главного меню Данные под ссылкой Анализ данных.

В активном окошке инструмента Анализа данных из списка возможностей ищем и выбираем Регрессия

Далее откроется окошко для настройки и выбора исходных данных для вычисления параметров регрессионной модели. Здесь нужно указать интервалы исходных данных, а именно описываемого параметра (Y) и влияющих на него факторов (Х), как это на рисунке ниже, остальные параметры, в принципе, необязательны к настройке.

После того как выбрали исходные данные и нажали ОК, MS Excel выдает расчеты на новом листе активной книги (если в настройках не было выставлено иначе), эти расчеты имеют следующий вид:

Соберем рассчитанные коэффициенты в модель:

Как видим полученное нами уравнение рассчитано верно.