Приёмы вычисления сумм, произведений и экстремальных значений
Вычисление суммы и произведения
Прием накопления суммы часто используется в различных приложениях. Суммируемыми элементами могут быть элементы массива или вычисляемые значения функции. В любом случае накопление суммы производится в цикле по рекуррентной формуле S=S+ Y, где S- промежуточная сумма, Y- слагаемое. Перед циклом в большинстве случаев начальное значение S должно быть равным нулю.
Фрагмент программы для вычисления суммы первых n элементов массива Y будет иметь вид:
S:=0;
for i:=1 to n do
S:= S+Y[i];
Фрагмент программы для вычисления среднего первых n значений функции Y(x), вычисляемых при значениях x, изменяемых от x0 с шагом dx будет иметь вид:
S:=0;
x:=x0;
for i:=1 to n do
begin
S:=S+Y(x)
x:=x+dx
end;
S:=S/n;
Вычисление произведения выполняется аналогичным образом, но перед циклом в большинстве случаев начальное значение P должно быть равным единице P:=1, а в цикле произведение накапливается по рекуррентной формуле P:=P·Y.
Пример. Вычислить значение суммы элементов массива X(n), n≤30.
const
nMax=30;
var S:Real;
X: array [1..nMax] of Real;
i:Integer;
begin
Write(' Введите количество элементов: ');
ReadLn (n);
WriteLn(' Введите элементы массива: ');
for i:=1 to n do
Read (X[i]);
ReadLn;
S:=0; //Начальное значение суммы
for i:=1 to n do
S:= S+X[i]; //Накопление суммы
WriteLn('Сумма элементов массива равна ', S:6:2);
......
end.
Нахождение наибольшего или наименьшего значения
Поиск наибольшего или наименьшего значения может выполняться в имеющемся массиве или при вычислении значения функции.
При поиске в массиве начальному значению наибольшего Xmax (начальному значению наименьшего Xmin) присваивается значение первого элемента массива, а затем в цикле для очередного элемента массива Xi, i=2, 3,…,n, производится проверка: если Xi>Xmax
(Xi < Xmin), то переменной Xmax (переменной Xmin) присваивается значение Xi, иначе значение Xmax (Xmin) не изменяется.
Поиск максимального и минимального значений в массиве представляют следующие фрагменты программ
Xmax= X[1]; Xmin = X[1];
for i:=2 to n do for i:=2 to n do
if X[i] > Xmax then if X[i] < Xmin then
Xmax:=X[i]; Xmin:=X[i];
WriteLn('Xmax=', Xmax:6:2); WriteLn('Xmin=', Xmin:6:2);
При поиске наибольшего Ymax (наименьшего Ymin) из вычисляемых значений функции F(x) переменной Ymax (Ymin), которая после вычислений будет представлять максимальное (минимальное) значение функции, до входа в цикл следует присвоить одно из вычисляемых значений F(x), а в цикле для каждого очередного значения функции F(x) проверять: если F(x) >Ymax (F(x) <Ymin), то Ymax (Ymin) присвоить это значение функции.
Ниже представлены фрагменты программ поиска максимального и минимального значений функции y=e-xsin(5x), вычисляемых на значениях x, изменяющихся от a до b с шагом dx.
Ymax:=Exp(-A)*Sin(5*A); Ymin:=Exp(-A)*Sin(5*A);
X:=A+dx; Xk:=B+dx/2; X:=A+dx; Xk:=B+dx/2;
while X < Xk do while X < Xk do
begin begin
Y:= Exp(-X)*Sin(5*X); Y:= Exp(-X)*Sin(5*X);
if Y > Ymax then if Y < Ymin then
Ymax:=Y; Ymin:=Y;
end; end;
WriteLn('Ymax = ',Ymax); WriteLn('Ymin = ',Ymin);
Как видно из представленных фрагментов программ, их алгоритмы можно получить один из другого заменой одного знака отношения на другой, например, > на <.
Если заранее известно, что максимальное (минимальное) значение функции на заданном интервале больше (меньше) некоторой величины, например, -1015 (1015), то эту величину можно использовать в качестве начального значения при поиске максимального (минимального) значения функции, например, Ymax:=-1E15 (Ymin:=1E15).
Наряду с нахождением максимального/минимального значения функции (максимального/минимального значения в массиве) может потребоваться нахождение значения аргумента (индекса элемента массива), при котором оно достигается. Нахождение указанных значений при поиске максимума поясняют следующие фрагменты программ.
Поиск максимального значения функции Поиск максимального элемента
и соответствующего значения аргумента массива и его индекса
Ymax:=Exp(-A)*Sin(5*A);Xmax:=A; Xmin = X[1]; Imin:=1;
X:=A+dx; Xk:=B+dx/2; for i:=2 to n do
while X < Xk do if X[i] > Xmax then
begin begin
Y:= Exp(-X)*Sin(5*X); Xmax:=X[i];
if Y > Ymax then Imax:=i;
begin end;
Ymax:=Y; WriteLn('Xmax = ', Xmax:6:2);
Xmax:=X; WriteLn('Imax = ', Imax);
end;
end
WriteLn('Ymax = ',Ymax);
WriteLn('Xmax = ',Xmax);
Рассмотренный выше приёмы нахождения на заданном интервале максимума/минимума функции и точек (значений аргумента), на которых они достигаются, не следует путать с нахождением экстремумов функции, так как искомый максимум/минимум может находиться на границе интервала, где производная функции не равна нулю.
Поиск приближенных значений точек экстремумов функции F(X) и её значения в них, а также точек перегибов (экстремумов F'(X)), точек экстремальной кривизны (экстремума |F''(X)|/(1+(F'(X))2)3/2) могут иметь самостоятельное значение. Эти задачи можно решать ранее рассмотренными методами при вычисляемых по известным аналитически выражениям значениям производных. Однако, имея в виду, что аналитические выражения производных не всегда известны, приходится вычислять значения производных по разностным схемам или использовать более простые приёмы.
Например, приближенное значение точки экстремума-максимума (локального максимума) будет найдено, если на очередном значении аргумента, изменяемом с заданным шагом, окажется, что слева и справа от него функция имеет меньшие значения. Проверку можно ещё упростить: если заранее известно, что в начале исследуемого интервала функция растет, то точкой экстремума будет значение аргумента, после которой значение функции начнёт уменьшаться.
