Понятие объема.
Из курса планиметрии известно, что каждый многоугольник имеет площадь, которая измеряется с помощью выбранной единицы измерения площадей. В качестве единицы измерения площадей обычно берут квадрат, сторона которого равна единице измерения отрезков.
Процедура измерения объемов аналогична процедуре измерения площадей. Объем измеряется с помощью выбранной единицы измерения объемов. За единицу измерения объемов примем куб, ребро которого равно единице измерения отрезков. Куб с ребром 1 см называют кубическим сантиметром и обозначают см3. Аналогично определяются кубический метр (м3), кубический миллиметр (мм3) и т. п. При выбранной единице измерения объем каждого тела выражается положительным числом, которое показывает, сколько единиц измерения объемов и их частей содержится в данном теле.
Задача измерения объемов тел состоит в том, чтобы при избранной единице измерения каждому телу поставить в соответствие определенное положительное число, называемое объемом тела, так, что выполняются следующие условия.
Свойства объемов.
Объем куба, ребро которого равно единице измерения длин отрезков, равен единице и принимается за единицу измерения объемов.
2. Равные тела имеют равные объемы (свойство инвариантности). Равенство двух фигур в стереометрии определяется так же, как и в планиметрии: два тела называются равными, если их можно совместить наложением. Равными телами являются два прямоугольных параллелепипеда с соответственно равными измерениями, две прямые призмы с равными основаниями и равными высотами, две правильные пирамиды, у которых соответственно равны стороны оснований и высоты и т. д.
3. Если тело составлено из нескольких тел, то его объем равен сумме объемов этих тел (свойство аддитивности). Пусть тело составлено из нескольких тел. При этом мы предполагаем, что любые два из этих тел не имеют общих внутренних точек, но могут иметь общие граничные точки. Объем полученного тела складывается из объемов составляющих его тел.
4.Если тело с объемом V1 содержится в теле с объемом V2, то V1 £ V2 (свойство монотонности объемов).
Тела, имеющие равные объемы, называются равновеликими.
Два тела называются равносоставленными, если, определенным образом разбив одно из них на конечное число частей, можно из этих частей составить второе тело.
Из свойств объемов следует, что равносоставленные тела равновелики.
Принцип Кавальери.
Точное обоснование формул для вычисления площадей многих фигур в планиметрии, а также объемов тел в стереометрии весьма сложно. Однако вопрос о выводе формул для вычисления площадей плоских фигур и объемов тел в пространстве может быть решен, если принять без доказательства следующие утверждения:
- если при пересечении двух плоских фигур прямыми, параллельными одной и той же прямой, в сечениях этих фигур любой из прямых получаются равные между собой отрезки, то площади данных фигур равны;
- если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются равновеликие между собой фигуры, то объемы данных тел равны.
Эти утверждения обосновал итальянский математик Бонавентура Кавальери (1598 - 1647), по имени которого они носят название принципа Кавальери.
Для вывода формул объемов тел используем еще более сильное утверждение:
- если при пересечении двух тел плоскостями, параллельными одной и той же плоскости, в сечениях этих тел любой из плоскостей получаются фигуры, площади которых относятся как m:n, то объемы данных тел относятся как m:n.
Объем куба и прямоугольного параллелепипеда.
Рассмотрим куб, принятый за единицу измерения объемов. Его ребро равно единице измерения отрезков. Разобьем каждое ребро этого куба на n равных частей, где n – произвольное целое число, и проведем через точки разбиения плоскости, перпендикулярные к этому ребру. Куб разобьется на n3 равных кубиков с ребром 
Так как сумма объемов всех маленьких кубиков равна объему всего куба, т. е. равна 1, то объем каждого из маленьких кубиков равен 
Объемы маленьких кубиков равны друг другу, так как соответственно равны длины их ребер.
Объем куба с ребром 
равен 
Теорема: Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению трех его измерений:
где а – длина, b – ширина, h – высота прямоугольного параллелепипеда.
Для доказательства воспользуемся принципом Кавальери.
1) Сначала найдем объем прямоугольного параллелепипеда со сторонами основания a, b и высотой 1. Расположим единичный куб и данный параллелепипед так, чтобы их основания находились в одной плоскости, а сами многогранники были расположены по одну сторону от этой плоскости. Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований этих многогранников и пересекающая куб, пересекает также и прямоугольный параллелепипед, причем площади сечений, образованных при пересечении обоих многогранников, относятся как 1:(ab). Это означает, что объемы этих тел относятся как 1:(ab). Иными словами, если объем единичного куба равен 1, то объем рассматриваемого прямоугольного параллелепипеда равен V = ab.
2) Теперь найдем объем прямоугольного параллелепипеда с измерениями a, b, h. Расположим прямоугольный параллелепипед с измерениями a, b, 1 и прямоугольный параллелепипед с измерениями a, b, h так, чтобы грань со сторонами 1 и а и грань со сторонами h и a находились в одной плоскости, а сами параллелепипеды были расположены по одну сторону от этой плоскости. Тогда любая плоскость, параллельная плоскости оснований этих параллелепипедов и пересекающая первый из них, пересекает также и второй параллелепипед, причем площади сечений, образованных при пересечении обоих многогранников, относятся как (1×a):(ah) = 1:h. Это означает, что объемы этих тел относятся как 1:h. Таким образом, если объем первого параллелепипеда равен ab, то объем второго прямоугольного параллелепипеда равен V = abh.
Следствия:
1.Объем прямоугольного параллелепипеда равен произведению площади основания на высоту:
2.Объем прямой призмы, основанием которой является прямоугольный треугольник, равен произведению площади основания на высоту. Для доказательства этого утверждения достроим прямую треугольную призму до прямоугольного параллелепипеда. Объем этого параллелепипеда равен 
площадь треугольника, лежащего в основании. Секущая плоскость разбивает параллелепипед на две равные прямые треугольные призмы, поэтому объем призмы равен половине объема прямоугольного параллелепипеда.
Объем прямой призмы.
Теорема: Объем прямой призмы равен произведению площади основания на высоту:
Докажем эту теорему:
1. Рассмотрим произвольную прямую призму с площадью основания S и высотой h и прямоугольный параллелепипед с площадью основания S и высотой h. Расположим призму и параллелепипед так, чтобы их основания лежали в одной плоскости и оба многогранника находились по одну сторону от этой плоскости. Тогда каждая плоскость, параллельная плоскости основания параллелепипеда и пересекающая его, пересекает и призму. Плоскости сечений призмы и параллелепипеда, параллельных основаниям этих многогранников, равны площадям оснований многогранников, а значит, равны между собой. Согласно принципу Кавальери S1:S2 = V1:V2. По условию S1 = S2 Þ V1 = V2.
2. Для прямой треугольной призмы, в основании которой лежит произвольный треугольник. Проведем высоту основания BD, которая разделит треугольник основания на два прямоугольных треугольника: DABD и DCBD. По свойству объемов
2. Для прямой призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник. Разобьем многоугольник основания диагоналями на произвольные треугольники, проведем через диагонали плоскости, перпендикулярные основанию. Призма разобьется на n произвольных треугольных призм, причем по свойству объемов ее объем будет равен сумме объемов полученных треугольных призм:
Объем наклонной призмы.
Теорема: Объем наклонной призмы равен произведению площади основания на высоту:
Аналогичные рассуждения справедливы и для наклонной призмы, в основании которой лежит произвольный многоугольник площадью S и высотой h.
Или:
Теорема: Объем наклонной призмы равен произведению бокового ребра на площадь перпендикулярного ему сечения:
Построим сечение призмы плоскостью, перпендикулярное боковому ребру призмы (перпендикулярное сечение). Разобьем многоугольник основания диагоналями на произвольные треугольники, проведем через диагонали плоскости, перпендикулярные основанию. Призма разобьется на n произвольных треугольных призм, причем по свойству объемов ее объем будет равен сумме объемов полученных треугольных призм:
Объем пирамиды.
Теорема 1: Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту:
Теорема 2: Объем усеченной пирамиды, высота которой равна h, а площади оснований равны S1 и S2, определяется по формуле:
Использованная литература:
1. Атанасян Л. С. и др. Геометрия, 10 – 11. Гл. 7, § 1; § 2, п. 65; § 3, пп. 68, 69.
