Числовые последовательности.

§2.1. Предел последовательности

 

Рассмотрим функцию, у которой на аргумент наложены ограничения, те.е. аргумент принимает значения натурального ряда

,

 

Df 1. Числовой последовательностью называется отображение из в :

Множество - не обязательно бесконечно, но всегда счетно. Оно может состоять из одного элемента.

- постоянная последовательность

,

Последовательность элементов будем обозначать через , а также будем говорить, что задана последовательность ,

Df 2. Элемент называется общим членом последовательности , а называются членами последовательности .

Df 3. Две последовательности и элементов из называются равными, если для .

Df 4. Последовательность элементов множества, определенная равенством , , называется последовательностью последовательности или частичной последовательностью.

 

Члены числовой последовательности могут быть изображены в виде точек числовой оси.

 

Пример.

§2.2. Ограниченные и неограниченные последовательности.

Df 1. Пусть называется ограниченной сверху (справа), если существует такое число , что для всех элементов последовательности выполняется неравенство .

Df 2. Числовая последовательность называется ограниченной снизу (слева), если для всех элементов последовательности выполняется соотношение , т.е. имеет место неравенство .

Df 3. Числовая последовательность называется ограниченной, если существует такое число , что для всех членов последовательности выполняется соотношение , .

Пример.

Df 4. Числовая последовательность называется ограниченной, если , существует хотя бы один элемент последовательности удовлетворяющий неравенству: .

 

Пример.

Замечание. Если ограничена, то ограничена и сверху и снизу, т.е. .

 

 

§2.3. Предел последовательности.

 

Рассмотрим числовую прямую и в дальнейшем будем считать

 

Df. Окрестностью (или , или ) точки называется любой интервал , содержащий точку , т.е. .

 

Центрированной или «сферической» (с радиусом ) окрестностью точки называется множество .

 

Заметим, любые окрестности и такие, что .

(На самом деле достаточно взять и , .)

 

Df. Если - окрестность точки , то проколотой окрестностью точки называется множество .

В частности, .

 

Df. Действительное число называется пределом числовой последовательности , если , можно указать такой номер зависящий от , что выполняется неравенство , и обозначается: или при .

Запишем это определение в логической символике:

 

Неравенство , распишем следующим образом