При малых скоростях газа, когда число Маха 
движение газа можно представить как движение несжимаемой жидкости (r=const).
В этом случае уравнение постоянства расхода может быть записано
.
Или в другой форме уравнение постоянства расхода устанавливает связь между сечением струйки и скоростью потока при М < 0,4 в виде
.
Анализ данного уравнения показывает, что для элементарной струйки или потока конечных размеров увеличение поперечного сечения, например, в таком канале, как диффузор (рис. 1.8) приводит к уменьшению скорости. Вспомним, что диффузор – это канал, который расширяется по направлению движения газа.
Рассматривая также формулу связи скорости звука и скорости газа
,
можем сделать вывод, что если сечение струйки (потока конечных размеров) при числах М <0,4 уменьшается, то и скорость звука также уменьшается.
Рис. 1.8 Влияние площади поперечного сечения канала (диффузора) на скорость потока
Однако при больших скоростях полета магистральных ВС плотность воздуха начинает изменяться и уравнение постоянства расхода (по другому – уравнение неразрывности) имеет вид
. (1.14)
Прологарифмируем уравнение (1.14)
После дифференцирования получим
. (1.15)
Умножим и разделим на dp первый член уравнения (1.15), получим V
. (1.16)
Используя уравнения для скорости звука
и уравнение Бернулли для газа в дифференциальном виде (формула 1.2)
подставим их в уравнение (1.16) и получим
. (1.17)
Подставляя (1.17) в (1.15), получим
Сделаем следующие преобразования
.
Окончательно получим уравнение связи скорости и площади поперечного сечения в сжимаемом потоке
.
Данное уравнение называется уравнением Гюгонио. Уравнение Гюгонио является частным случаем уравнения постоянства расхода.
Проанализируем с помощью уравнения Гюгонио, как влияет изменение площади сечения канала на скорость течения газа (табл. 1.2).
Рассмотрим следующие случаи (см.табл. 1.2):
№1 – течение дозвуковое (М<1), канал сужается (dS<0);
№2 – течение дозвуковое (М<1), канал расширяется (dS >0);
№3 – течение сверхзвуковое (М>1), канал расширяется (dS >0);
№4 – течение сверхзвуковое (М>1), канал сужается (dS <0).
Вывод: данные таблицы 1.2 показывают, что в сверхзвуковом и дозвуковом течениях влияние изменения геометрии на скорость потока газа является обратным.
Например, можно утверждать, что сверхзвуковая скорость потока в расширяющемся канале увеличивается в отличие от дозвукового потока, скорость которого уменьшается.
Таблица 1.2
| № п/п | Число Маха М | Изменен. площади канала dS | Геометрическая форма канала | Изменение знаков в уравн. Гюгонио
| Изменение скорости dV |
| М<1 (дозвуковой поток) | dS<0 | Сужается | 
| dV>0 (скорость увеличив.) | |
| 2 | М<1 (дозвуковой поток) | dS>0 | Расширяется | 
| dV<0 (скорость уменьш.) |
| М>1 (сверхзвук. поток) | dS>0 | Расширяется | 
| dV>0 (скорость увеличив.) | |
| М>1 (сверхзвук. поток) | dS<0 | Сужается | 
| dV<0 (скорость уменьш.) |
Анализ уравнения Гюгонио и данных таблицы 1.2 свидетельствует, что необходимость увеличения скорости газа до сверхзвуковой требует использования сложной сужающе-расширяющейся формы канала. Такой канал получил название сопла Лаваля (рис. 1.9).
Рассмотрим, каковы условия реализации сверхзвукового режима в сужающе–расширяющемся сопле (режима сопла Лаваля).
В таком сопле возможны четыре функциональных режима работы, что показано на рис. 1.9.
При скорости 
на входе в сопло (1-й режима течения) не удается достичь скорости звука в области минимального сечения сопла. Тогда, согласно уравнению Гюгонио в расширяющейся части сопла Лаваля скорость дозвукового потока будет уменьшаться до скорости 
.Такой режим течения используется для измерения расхода и получил название режима трубы Вентури.
Рис.1.9 Изменение скорости по длине сопла Лаваля (4 режима течения)
В том случае, когда давление в области минимального сечения 
определяется в соответствии с формулой
,
где e - степень расширения давления до минимального сечения сопла Лаваля, а 
– давление торможения на входе в сопло, реализуется режим сопла Лаваля. При этом скорость газа во всех сечениях возрастает, а за минимальным сечением уже превышает звуковую, т.е. становится сверхзвуковой. Это второй, основной режим течения, получивший название режима сверхзвукового истечения или режима сопла Лаваля.
Третий режим – когда на входе в сопло скорость сверхзвуковая, а в области минимального сечения она (скорость) не достигает звуковой, специального названия не имеет.
Четвертый режим, при котором в области минимального сечения сверхзвуковая скорость потока переходит в дозвуковую, носит название режима сверхзвукового диффузора и используется во входных устройствах сверхзвуковых самолетов для того, чтобы повысить давление газа на входе в компрессор двигателя.
Таким образом, принцип работы сопла Лаваля заключается в использовании сужающе-расширяющегося сопла для ускорения потока до сверхзвуковых скоростей на срезе такого сопла.
Такое сопло широко применяется в реактивных двигателях сверхзвуковых самолетов, ракетных двигателях, а также в качестве расходомерного устройства.
