Рассмотрим простейшую модель парной регрессии – линейную регрессию. Линейная регрессия находит широкое применение в эконометрике ввиду четкой экономической интерпретации ее параметров.
Линейная регрессия сводится к нахождению уравнения вида
или 
. (1.1)
Уравнение вида позволяет по заданным значениям фактора x находить теоретические значения результирующего показателя, подставляя в него фактические значения фактора x.
Построение линейной регрессии сводится к оценке ее параметров – a и b. Классический подход к оцениванию параметров линейной регрессии основан на методе наименьших квадратов (МНК). МНК позволяет получить такие оценки параметров a и b, при которых сумма квадратов отклонений фактических значений результирующего показателя y от теоретических 
минимальна:
. (1.2)
Т.е. из всего множества линий линия регрессии на графике выбирается так, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали между точками и этой линией была бы минимальной (рис. 1.2):
Рис. 1.2. Линия регрессии с минимальной дисперсией остатков.
Как известно из курса математического анализа, чтобы найти минимум функции (1.2), надо вычислить частные производные по каждому из параметров a и b и приравнять их к нулю. Обозначая 
через 
, получим:
(1.3)
После несложных преобразований, получим следующую систему линейных уравнений для оценки параметров a и b:
(1.4)
Решая систему уравнений (1.4), найдем искомые оценки параметров a и b. Можно воспользоваться готовыми формулами, которые следуют непосредственно из решения системы (1.4):
, 
, (1.5)
где 
– ковариация признаков x и y, 
– дисперсия признака x и
, 
, 
, 
.
Ковариация – числовая характеристика совместного распределения двух случайных величин, равная математическому ожиданию произведения отклонений этих случайных величин от их математических ожиданий. Дисперсия – характеристика случайной величины, определяемая как математическое ожидание квадрата отклонения случайной величины от ее математического ожидания. Математическоеожидание – сумма произведений значений случайной величины на соответствующие вероятности (см. Приложение 1).
Параметр b называется коэффициентомрегрессии. Его величина показывает среднее изменение результата с изменением фактора на одну единицу.
Возможность четкой экономической интерпретации коэффициента регрессии сделала линейное уравнение регрессии достаточно распространенным в эконометрических исследованиях.
Формально a – значение y при 
. Если фактор x не может иметь нулевого значения, то тогда трактовка свободного члена a не имеет смысла, т.е. параметр a может не иметь экономического содержания.
Уравнение регрессии всегда дополняется показателем тесноты связи. При использовании линейной регрессии в качестве такого показателя выступает линейный коэффициент корреляции 
, который можно рассчитать по следующим формулам:
. (1.6)
Линейный коэффициент корреляции находится в пределах: 
. Чем ближе абсолютное значение к единице, тем сильнее линейная связь между факторами (при 
имеем строгую функциональную зависимость). Однако близость абсолютной величины линейного коэффициента корреляции к нулю еще не означает отсутствия связи между признаками. При другой (нелинейной) спецификации модели связь между признаками может оказаться достаточно тесной.
Для оценки качества подбора линейной функции рассчитывается квадрат линейного коэффициента корреляции 
, называемый коэффициентомдетерминации. Коэффициент детерминации характеризует долю дисперсии результирующего показателя y, объясняемую регрессией, в общей дисперсии результирующего показателя:
, (1.7)
где 
, 
.
Соответственно величина 
характеризует долю дисперсии y, вызванную влиянием остальных, не учтенных в модели, факторов.
После того как найдено уравнение линейной регрессии, проводится оценка значимости как уравнения в целом, так и отдельных его параметров.
Проверить значимость уравнения регрессии – означает установить, соответствует ли математическая модель, выражающая зависимость между переменными, экспериментальным данным и достаточно ли включенных в уравнение объясняющих переменных (одной или нескольких) для описания зависимой переменной.
Чтобы иметь общее суждение о качестве модели из относительных отклонений по каждому наблюдению, определяют среднююошибкуаппроксимации:
. (1.8)
Средняя ошибка аппроксимации не должна превышать 8–10%.
Оценказначимостиуравнениярегрессиив целомпроизводитсянаосновеF - критерияФишера, которому предшествует дисперсионный анализ. В математической статистике дисперсионный анализ рассматривается как самостоятельный инструмент статистического анализа. В эконометрике он применяется как вспомогательное средство для изучения качества регрессионной модели.
Согласно основной идее дисперсионного анализа, общая сумма квадратов отклонений переменной y от среднего значения 
раскладывается на две части – «объясненную» и «необъясненную»:
,
где 
– общая сумма квадратов отклонений; 
– сумма квадратов отклонений, объясненная регрессией (или факторная сумма квадратов отклонений); 
– остаточная сумма квадратов отклонений, характеризующая влияние неучтенных в модели факторов.
Схема дисперсионного анализа имеет вид, представленный в таблице 1.1 (n – число наблюдений, m – число параметров при переменной x).
Таблица 1.1
| Компоненты дисперсии | Сумма квадратов | Число степеней свободы | Дисперсия на одну степень свободы |
| Общая |
| 
| 
|
| Факторная |
| m | 
|
| Остаточная |
| 
| 
|
Определение дисперсии на одну степень свободы приводит дисперсии к сравнимому виду. Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F -критерия Фишера:
. (1.9)
Фактическое значение F -критерия Фишера (1.9) сравнивается с табличным значением 
при уровне значимости 
и степенях свободы 
и 
. При этом, если фактическое значение F -критерия больше табличного, то признается статистическая значимость уравнения в целом.
Для парной линейной регрессии 
, поэтому
. (1.10)
Величина F -критерия связана с коэффициентом детерминации , и ее можно рассчитать по следующей формуле:
. (1.11)
В парной линейной регрессии оценивается значимость не только уравнения в целом, но и отдельных его параметров. С этой целью по каждому из параметров определяется его стандартная ошибка: 
и 
.
Стандартная ошибка коэффициента регрессии определяется по формуле:
, (1.12)
где 
– остаточная дисперсия на одну степень свободы.
Величина стандартной ошибки совместно с t-распределением Стьюдента при 
степенях свободы применяется для проверки существенности коэффициента регрессии и для расчета его доверительного интервала.
Для оценки существенности коэффициента регрессии его величина сравнивается с его стандартной ошибкой, т.е. определяется фактическое значение t -критерия Стьюдента: 
которое затем сравнивается с табличным значением при определенном уровне значимости и числе степеней свободы 
. Доверительный интервал для коэффициента регрессии определяется как 
. Поскольку знак коэффициента регрессии указывает на рост результативного показателя y при увеличении фактора x (
), уменьшение результативного показателя при увеличении признака-фактора (
) или его независимость от независимой переменной (
) (см. рис. 1.3), то границы доверительного интервала для коэффициента регрессии не должны содержать противоречивых результатов, например, 
. Такого рода запись указывает, что истинное значение коэффициента регрессии одновременно содержит положительные и отрицательные величины и даже ноль, чего не может быть.
Рис. 1.3. Наклон линии регрессии в зависимости от значения параметра 
.
Стандартная ошибка параметра a определяется по формуле:
. (1.13)
Процедура оценивания существенности данного параметра не отличается от рассмотренной выше для коэффициента регрессии. Вычисляется t -критерий: 
, его величина сравнивается с табличным значением при степенях свободы.
Значимость линейного коэффициента корреляции проверяется на основе величины ошибки коэффициента корреляции 
:
. (1.14)
Фактическое значение t -критерия Стьюдента определяется как 
.
Существует связь между t -критерием Стьюдента и F -критерием Фишера:
. (1.15)
В прогнозных расчетах по уравнению регрессии определяется предсказываемое 
значение как точечный прогноз при 
, т.е. путем подстановки в уравнение регрессии прогнозного значения x. Точечный прогноз дополняется расчетом доверительного интервала прогнозного значения :
,
где 
, а 
– средняя ошибка точечного прогноза:
. (1.16)
Пример. По данным проведенного опроса восьми групп семей известны данные связи расходов населения на продукты питания с уровнем доходов семьи.
Таблица 1.2
| Расходы на продукты питания, y, тыс. руб. | 0,9 | 1,2 | 1,8 | 2,2 | 2,6 | 2,9 | 3,3 | 3,8 |
| Доходы семьи, x, тыс. руб. | 1,2 | 3,1 | 5,3 | 7,4 | 9,6 | 11,8 | 14,5 | 18,7 |
Предположим, что связь между доходами семьи и расходами на продукты питания линейная. Для подтверждения нашего предположения построим поле корреляции (Рис. 1.4).
По графику видно, что точки выстраиваются в некоторую прямую линию.
Для удобства дальнейших вычислений составим таблицу (см. табл. 1.3).
Рассчитаем параметры линейного уравнения парной регрессии . Для этого воспользуемся формулами (1.5):
Рис. 1.4.
;
.
Получили уравнение: 
. Т.е. с увеличением дохода семьи на 1000 руб. расходы на питание увеличиваются на 169 руб.
Рассчитаем показатель тесноты связи – линейный коэффициент корреляции :
.
Близость коэффициента корреляции к 1 указывает на тесную линейную связь между признаками.
Коэффициент детерминации 
(примерно тот же результат получим, если воспользуемся формулой (1.7)) показывает, что уравнением регрессии объясняется 98,2% дисперсии результативного признака, а на долю прочих факторов приходится лишь 1,8%.
Оценим качество уравнения регрессии в целом с помощью F -критерия Фишера. Сосчитаем фактическое значение F -критерия:
.
Табличное значение (
, 
, 
): 
(см. Приложение 2). Так как 
, то признается статистическая значимость уравнения в целом.
Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитаем t -критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Рассчитаем случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции 
:
,
Таблица 1.3
| x | y | 
| 
| 
|
| 
| 
|  , %
| |
| 1,2 | 0,9 | 1,08 | 1,44 | 0,81 | 1,027 | –0,127 | 0,016 | 14,060 | |
| 3,1 | 1,2 | 3,72 | 9,61 | 1,44 | 1,348 | –0,148 | 0,022 | 12,328 | |
| 5,3 | 1,8 | 9,54 | 28,09 | 3,24 | 1,720 | 0,080 | 0,006 | 4,440 | |
| 7,4 | 2,2 | 16,28 | 54,76 | 4,84 | 2,075 | 0,125 | 0,016 | 5,668 | |
| 9,6 | 2,6 | 24,96 | 92,16 | 6,76 | 2,447 | 0,153 | 0,023 | 5,867 | |
| 11,8 | 2,9 | 34,22 | 139,24 | 8,41 | 2,820 | 0,080 | 0,006 | 2,773 | |
| 14,5 | 3,3 | 47,85 | 210,25 | 10,89 | 3,276 | 0,024 | 0,001 | 0,718 | |
| 18,7 | 3,8 | 71,06 | 349,69 | 14,44 | 3,987 | –0,187 | 0,035 | 4,915 | |
| Сумма | 71,6 | 18,7 | 208,71 | 885,24 | 50,83 | 18,700 | 0,000 | 0,125 | 50,769 |
| Среднее значение | 8,95 | 2,34 | 26,09 | 110,66 | 6,35 | 2,34 | – | 0,016 | 6,35 |
| 5,53 | 0,943 | – | – | – | – | – | – | – |
| 30,55 | 0,890 | – | – | – | – | – | – | – |
,
.
Фактические значения t -статистик: 
, 
, 
. Табличное значение t -критерия Стьюдента при и числе степеней свободы 
есть 
(см. Приложение 2). Так как 
, 
и 
, то признается статистическая значимость параметров регрессии и показателя тесноты связи.
Рассчитаем доверительные интервалы для параметров регрессии a и b: 
и 
. Получим, что 
и 
.
Средняя ошибка аппроксимации (находим с помощью столбца 10 таблицы 1.3; 
) 
говорит о хорошем качестве уравнения регрессии, т.е. свидетельствует о хорошем подборе модели к исходным данным.
И, наконец, найдем прогнозное значение результативного фактора при значении признака-фактора, составляющем 110% от среднего уровня 
, т.е. найдем расходы на питание, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб.
(тыс. руб.)
Таким образом, если доходы семьи составят 9,845 тыс. руб., то расходы на питание будут 2,490 тыс. руб.
Найдем доверительный интервал прогноза. Ошибка прогноза
,
а доверительный интервал (
):
.
Т.е. прогноз является статистически надежным.
Теперь на одном графике изобразим исходные данные и линию регрессии:
Рис. 1.5.
