Процесс проектирования базы данных начинается с построения модели базы данных, то есть с анализа того, какого рода информация должна быть представлена и каковы взаимосвязи между элементами этой информации.
Существует множество моделей, отражающих различные аспекты реального мира: физические, позволяющие понять физические свойства; математические, представляющие собой абстрактное описание мира с помощью математических знаков; экономические, отображающие тенденции экономики и позволяющие получить прогноз ее развития. Самой обобщенной моделью реального мира может служить естественный язык. Но так как естественный язык пока малопригоден для компьютерной обработки преимущественно вследствие его многозначности, то нам потребуется построить такую модель, которая бы наиболее адекватно отображала некоторую часть реального мира (предметную область) и была пригодна для компьютерной обработки.
В данной главе вводится понятие модели баз данных, рассматриваются ранние типы моделей: иерархическая, сетевая, модель «сущность-связь». Излагается наиболее распространенная реляционная модель данных, которая базируется на понятии отношения и использует эффективные операции реляционной алгебры. Также обсуждаются другие модели баз данных: постреляционная, многомерная, объектно-ориентированная, объективно-реляционная и расширенная модель «сущность-связь».
Понятие модели
База данных является отображением предметной области, поэтому объекты и отношения между ними, имеющиеся в БД и реальном мире, должны быть наиболее адекватным образом представлены в БД. Информационные системы оперируют только с формально определенными объектами области внешнего мира. Для формального описания точек зрения пользователей на предметную область разработано большое количество моделей представления данных.
Модель данных – это средство абстракции, позволяющее отобразить информационное содержание данных. Критерием выбора модели является максимум количества информации, извлекаемой из данных, позволяющей установить соответствие между данными модели и реальным миром.
Хранящиеся в информационной системе данные должны быть доступны в том виде, в каком они нужны для конкретной деятельности человека. Сегодня можно встретить системы обработки данных традиционного типа, в которых служащий вручную заполняет формы и помещает их в скоросшиватель. Электронные системы обработки предполагают другие модели данных. Несмотря на поразительную несхожесть, обе эти системы обязаны предоставить достоверную информацию в определенное время, в определенном месте и с ограниченными затратами.
На первом этапе проектирования БД происходит объединение в концептуальной модели предметной области различных точек зрения пользователей на область внешнего мира.
На втором этапе осуществляется отображение концептуальной модели предметной области в модель БД, которая воспринимается имеющейся в распоряжении СУБД. Не следует смешивать понятия «модель данных» (средство моделирования) и «модель БД» (результат процесса моделирования).
Модель представления данных, или модель данных,— множество допустимых типов данных и отношений между ними, ограничений и операций над этими типами данных и отношениями. Модель представления БД — множество конкретных ограничений над объектами и операциями, которые выполняются с объектами. Множество допустимых типов данных и отношений между ними называют структурой данных.
Таким образом, модель данных представляется комбинацией трех компонентов: 1) множества структур данных, объекты которых составляют содержимое БД; 2) множества операций, применяемых для поиска или модификации данных; 3) множества ограничений целостности, явно или неявно определяющих множество допустимых состояний БД. Указанные компоненты выражаются языковыми и программными средствами описания данных, манипулирования данными и контроля целостности БД, которые СУБД предоставляет пользователю.
В начале 70-х годов были предложены три широко распространенные модели данных: иерархическая, сетевая и реляционная, которые оперировали данными как самостоятельными объектами. Связь этих моделей с внешним миром, т. е. их семантика, не описывалась в ЭВМ. Поэтому дальнейшие исследования положили начало созданию новых, так называемых семантических моделей БД.
Иерархическая модель
Иерархическая модель появилась в результате обобщения структур данных языка Кобол. Эта модель характеризуется, с одной стороны, эффективными средствами описания объектов с иерархической структурой, а с другой — сильной зависимостью между описанием структуры данных и способами записи данных на внешние носители, а также способами доступа к данным.
Основные понятия. Иерархическая модель БД представляется связным графом типа дерева, вершины которого расположены на разных иерархических уровнях. При этом одна из вершин на самом высоком уровне, называемая корнем, не подчиняется ни одной вершине, а все остальные вершины связаны с одной и только одной вершиной, расположенной на более высоком уровне.
Уровень вершины — это расстояние от нее до корня, уровень которого — нуль. Вершины, подчиненные другой вершине, т. е. имеющие отца, называют сыновьями или детьми дерева. В дереве любой сын может иметь не более одного отца, а любой отец — множество сыновей. Любая из вершин может иметь множество подчиненных ей вершин, находящихся на более низком уровне. Дерево имеет п вершин и п -1 дуг, не имеет циклов, каждая пара вершин соединена одной и только одной простой дугой.
Можно дать следующее рекурсивное определение дерева: конечное множество G, состоящее из одной или более вершин, таких, что: одна из вершин является корнем; остальные вершины (кроме корня) содержатся в m ≥0 попарно непересекающихся множествах G 1,..., Gm, каждое из которых, в свою очередь, является деревом. Деревья G 1,..., Gm называются поддеревьями корня.
Иерархическую модель можно применять как при рассмотрении логической структуры (схемы, подсхемы), так и физической. Вершины дерева логической структуры соответствуют типам логических записей, а физической структуры — экземплярам записей. В последнем случае имеем множество деревьев значений (или лес), составляющих содержимое БД. Множество корневых вершин удобно связать с фиктивной корневой вершиной, которая для них будет являться отцом, и в этом случае множество деревьев значений будет представлено одним деревом. Заметим, что различные вершины дерева значений могут иметь одинаковые значения.
Дуга дерева соответствует типу связи, называемому «исходный—порожденный», и не помечается, так как между двумя типами записей может быть не более одной такой связи. Дуги направлены от исходных записей к порожденным.
Различные СУБД иерархического типа по-разному строят дерево для своей модели БД.
Рассмотрим пример иерархической модели БД. Подобная модель включает пять объектов: КОМПАНИЯ (название компании, количество менеджеров, количество служащих); МЕНЕДЖЕР (табельный номер, фамилия, должность); ОТДЕЛ (номер отдела, количество служащих); ПРОЕКТ (планируемые задания, фамилия менеджера, время на выполнение задания);. СЛУЖАЩИЙ (табельный номер, фамилия, должность). Дерево для этой модели приведено на рис. 2.1.
Рис. 2.1. Иерархическая модель БД БИЗНЕС
Операции манипулирования данными в иерархических системах ориентированы прежде всего на поиск информации «сверху вниз», т.е. по заданному экземпляру записи-отца можно найти все экземпляры записей-сыновей. Обратный же поиск (найти экземпляр отца по заданному экземпляру сына) затруднен, а часто и невозможен.
Иерархической модели присущи недостатки, например дублирование данных на логическом уровне. Так, если один менеджер работает одновременно с несколькими отделами, то соответствующий экземпляр объекта ПРОЕКТ должен повторяться несколько раз.
Названные недостатки связаны прежде всего с неудовлетворительной реализацией связи типа М: N в иерархических моделях. Применение других моделей БД позволяет избежать приведенные выше трудности.
Сетевая модель
Сетевая модель была разработана рабочей группой по БД КОДАСИЛ. Целью работы группы было создание иерархической модели, позволяющей описывать связи типа М: N, и уменьшение недостатков этой модели. Более того, было введено понятие «подсхема БД», позволяющее решать задачи защиты, целостности, разделения данных.
Основные понятия. В сетевой модели данные представляются с помощью записей и связей. Запись в сетевой модели в отличие от иерархической может иметь множество как подчиненных ей записей, так и записей, которым она подчинена. Сеть позволяет непосредственно моделировать отношение типа M:N (рис. 2.2). Так, на рисунке экземпляры записи МЕНЕДЖЕР связываются с экземплярами записи ОТДЕЛ с помощью записе 
й пересечения (ПРОЕКТ), указывающих наименование проекта, фамилию менеджера, время на выполнение проектов. Данные пересечения соединены адресными ссылками в цепочки, соответствующие экземплярам записей МЕНЕДЖЕР и ОТДЕЛ. Аналогично связываются экземпляры записей МЕНЕДЖЕР и СЛУЖАЩИЙ посредством экземпляров записи ЗАДАНИЕ. Атрибутами записи ЗАДАНИЕ могут быть: наименование задания (повышение уровня продаж продукта, изготовление нового продукта, изменение внешнего вида продукта и т.п.); количество часов, выделяемых менеджеру на выполнение задания.
Рис. 2.2. Сетевая модель БД БИЗНЕС
В сетевой модели БД (ПОСТАВЩИК, ИЗДЕЛИЕ) (рис. 2.3, а) поставщики связаны с продуктами (изделиями). Экземпляры связующей записи (данные пересечения) содержат количество поставляемых изделий и адресные ссылки. В сетевой модели БД (ИЗДЕЛИЕ, УЗЕЛ, ДЕТАЛЬ) (рис. 2.3, б) связующие записи содержат количества: узлов в изделии, деталей в узле, деталей в изделии.
Рис.2.3. Сетевая модель БД а)- (ПОСТАВЩИК,ИЗДЕЛИЕ); б)- (ИЗДЕЛИЕ,УЗЕЛ,ДЕТАЛЬ)
|
Рис. 2.4. Сетевая модель БД
(УЗЕЛ, ДЕТАЛЬ) с циклом и петлей
Подобно иерархическим, сетевые СУБД могут поддерживать разнообразные модели БД.
Модель БД, определенная при использовании сетевой модели, представляет собой граф с вершинами двух типов. Этим двум типам вершин соответствуют основные и зависимые записи. На физическом уровне говорят об основных и зависимых файлах. Связи могут устанавливаться только между основными и зависимыми записями, причем зависимая запись не может существовать самостоятельно, без связей с основными файлами.
Сетевая СУБД поддерживает связь типа → в направлении от основной к зависимой записи.
M:N 1:N 1:M
Рис.2.5. Преобразование сети с отношением типа M:N в деревья с отношениями типа 1:N и 1:M
Рассмотрим одну из первых моделей БД, которая практически был реализована в сетевой СУБД ВМР в середине шестидесятых годов прошлого столетия в США. Впоследствии аналогичная сетевая СУБД ВМР была разработана в Германии и позднее сетевая СУБД СЕТОР в Советском Союзе.
Указанная сетевая модель включала четыре файла: два основных файла – ПРЕДМЕТЫ и РАБОЧИЕ МЕСТА и два файла связей – СПЕЦИФИКАЦИЙ и ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МАРШРУТЫ (рис. 2.6).
Рис. 2.6. Сетевая модель БД
Представленная сетевая модель БД адекватно отображает схему производственного процесса на предприятии, например, на машиностроительном или другом, на котором производятся или используются некоторые изделия.
Файл ПРЕДМЕТЫ включает записи о произведенных или используемых на предприятии продуктах, изделиях, комплектующих узлах или деталях, материалах и пр.
Файл СПЕЦИФИКЦИИ включает записи конструкторских спецификаций, указывающих, что некоторая деталь, узел или изделие, указанные в файле ПРЕДМЕТЫ, входит (т.е. используется для производства) в другой узел, изделие, которое содержится в файле ПРЕДМЕТЫ, в таком-то количестве.
Файл ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МАРШРУТЫ включает технологические процессы производства деталей, узлов, изделий и пр., указанных в файле ПРЕДМЕТЫ. Технологический маршрут – это перечень операций от заготовительных до финишных операций производства предметов с указанием их характеристик.
Файл РАБОЧИЕ МЕСТА включает записи, содержащие характеристики рабочих мест, оборудования, станков и пр.
Перечислим основные операции поиска данных, выполняемые с помощью предложенной сетевой модели:
· Используя два файла ПРЕДМЕТЫ и СПЕЦИФИКАЦИИ, можно решить так называемую задачу «разузлования», т.е. получить перечень всех деталей и узлов с указанием их количества для некоторого узла или изделия, указанного в файле ПРЕДМЕТЫ.
· Используя три файла ПРЕДМЕТЫ, СПЕЦИФИКАЦИЯ и ТЕХНОЛОГИЧЕСКИЕ МАРШРУТЫ можно получить, например, общее время производства некоторого изделия, указанного в файле ПРЕДМЕТЫ.
Рассмотрим подробнее указанные выше преимущества БД на примере этой сетевой модели.
Модель ВМР появилась из практики разработки и применения информационных систем управления предприятиями. Информация в четырех файлах является условно-постоянной и она обязательна для любой информационной системы управления предприятия. Только предлагаемая сетевая модель отличается от других программных реализаций:
1) установлением ссылок между записями различных файлов;
2) наличием языка макрокоманд, позволяющего осуществлять поиск информации, актуализацию и пр.;
3) наличием типового программного обеспечения, позволяющего производить настройку сетевой модели на различные объекты управления и тем самым существенно уменьшить трудовые затраты на разработку информационной системы.
Предложенная сетевая СУБД явилась прототипом для разработки подобных систем, которые эффективно использовались на предприятиях различных стран.
2.4. Модель данных «сущность-связь»
Модель данных «сущность—связь» ввел в 1976 г. П. П. Чен. Она имеет много общего с иерархической и сетевой моделями данных и в силу своей ориентации на процесс проектирования может рассматриваться как обобщение и развитие ранее рассмотренных моделей. Описываемая модель допускает непосредственное представление связей типа М: N.
Основные понятия. Модель «сущность — связь» базируется на представлении о том, что реальный мир состоит из различных сущностей, связанных определенными отношениями. Категории «сущность» и «связь» объявляются основополагающими, и разделение их производится на этапе создания конкретных представлений некоторой предметной области.
Каждая сущность принадлежит к некоторому классу или ему соответствует некоторый тип. Между сущностями имеются связи, за которыми пользователь закрепляет какой-то класс (тип). Таким образом, класс сущностей и класс связей определяют множества конкретных объектов и связей между ними. Заметим, что некоторая сущность может принадлежать более чем к одному классу (например, поставщик может одновременно быть и потребителем). В каждый момент времени состояние связи S между классами сущностей E1, Е2..., Еn определяется отношением между множествами DOM E1, DOM E2,..., DOM Еn, где DOM Еi, i = 
— множество объектов типа Еi.
Множество связей в модели «сущность — связь» можно представить в виде математического отношения п классов объектов:
где еi — сущность, принадлежащая множеству сущностей Еi, кортеж < e1 e2... еп> — связь из множества связей R. Необязательно, чтобы все Ei, на которых определено R, были различными. Совокупность сущностей и классов связей образует верхний уровень модели.
Сущности и связи описываются характерными для них атрибутами. Среди атрибутов какой-нибудь сущности или связи выделяется подсписок, значения атрибутов которой однозначно идентифицируют сущность или связь в пределах типа. Сущности, связи и атрибуты образуют нижний уровень модели.
Графически модель «cущность — связь» представляется в виде схемы, в которой каждому классу объектов соответствует прямоугольник, а классу связей — шестиугольник (рис. 2.7). Под прямоугольником и шестиугольником указываются имена атрибутов сущностей и связей.
Рис. 2.7. Графическое представление модели «сущность-связь»:
а) класс сущностей; б) класс связей;
При изображении класса сущностей будем придерживаться следующих обозначений: ключевые атрибуты подчеркиваются, два различных класса сущностей не могут иметь одного имени.
На связи накладываются следующие ограничения:
типы связей между классами задаются парами (1:1, 1: N, N: 1, М: N). Когда значения М и N уточнены, берется максимальное значение;
одна связь может относиться ко многим сущностям и одна сущность может иметь много связей. В случае связей типа 1:1, 1: N, N: 1 не всегда нужно указывать имя связи.
Рассмотрим пример представления концептуальной схемы БД с помощью модели «сущность—связь» (рис. 2.8). Пусть имеются следующие приложения: управление поставками, складом, производством и договорами. Эти приложения могут использовать такие классы сущностей: ПОСТАВЩИК (поставщики), БАЗ-ДЕТ (базовые детали), ИЗД-УЗЕЛ (изделия и узлы), ДОГОВОР (договоры), СЛУЖАЩИЙ (служащие), ОТДЕЛ (отделы).
Рис. 2.8. Пример схемы модели «сущность—связь»
Для удовлетворения требований указанных выше приложений используются следующие связи между сущностями:
ВЫБРАТЬ — позволяет выбрать поставщика базового продукта в зависимости от условий продажи и поставки (эти условия задаются на схеме);
СБОРКА-БД — указывает базовые детали (материалы), которые непосредственно используются для производства изделия или узла, а также их число;
СБОРКА-УЗЕЛ — указывает узлы, непосредственно входящие в другие узлы или изделия, а также их число;
ПОСТ-БАЗ — связывает в договоре поставщиков с базовыми деталями;
НАЗНАЧИТЬ — характеризует в договоре изделия и узлы;
ОТВЕЧАЕТ — указывает ответственного за договор;
УЧАСТВУЕТ — связывает договор и людей, которые участвуют в его реализации;
РАБОТАЕТ — связывает отдел и людей, которые в нем работают;
РУКОВОДИТ — указывает руководителя данного отдела.
Схема модели «сущность—связь» может быть описана в виде, представленном на рис. 2.8.
Классы сущностей:
E1/ПОСТАВЩИК [НОМ-ПОСТ, ФАМ-ПОСТ, АДРЕС];
Е2/БАЗ-ДЕТ [НОМ-БДЗ-ДЕТ, НАИМ-БАЗ-ДЕТ, КОЛИЧ-НА-СКЛАДЕ, МИНИМ-КОЛИЧ];
Е3/ДОГОВОР [НОМ-ДОГ, ДАТА];
Классы связей:
| L 1/ПОСТ-БАЗ L2 /ВЫБРАТЬ L3 /СБОРКА-БД |
[ПОСТАВЩИК, БАЗ-ДЕТ, ДОГОВОР];
[ПОСТАВЩИК, БАЗ-ДЕТ: ЦЕНА, СРОК-ПОСТ];
[БАЗ-ДЕТ, ИЗД-УЗЕЛ: КОЛИЧ-БД];
Имена атрибутов связей отделяются двоеточием от имен классов сущностей.
Модель «сущность—связь» включает различные характеристики предметной области.
1. Связь может относиться к нескольким классам сущностей, например, связь ПОСТ-БАЗ соединяет классы сущностей ПОСТАВЩИК, БАЗ-ДЕТ, ДОГОВОР.
2. Связь может многократно относиться к одному классу сущностей, например связь СБОРКА-УЗЕЛ.
3. Многие связи могут относиться к одному классу сущностей, например связи РАБОТАЕТ и РУКОВОДИТ между сущностями СЛУЖАЩИЙ и ОТДЕЛ.
4. Модель отображает различные связи типа 1:1, 1: N, М: N.
5. Наличие двух классов сущностей для деталей БАЗ-ДЕТ и ИЗД-УЗЕЛ позволяет управлять: поставками деталей и находить поставщиков, опираясь на класс БАЗ-ДЕТ; процессом производства изделий, используя класс ИЗД-УЗЕЛ.
6. Два класса сущностей БАЗ-ДЕТ и ИЗД-УЗЕЛ имеют общие и специфические для них атрибуты. Наличие общих атрибутов приводит к некоторой избыточности данных. Специфические атрибуты требуются областью применения объектов.
В схеме (рис. 2.8) можно было бы рассматривать только функцию продажи изделий. В этом случае внешняя схема включала бы только сущности: базовые детали, узлы, изделия, которые нужно выделить вместе со связями между ними из концептуальной схемы. Во внешней схеме следует различать изделия и узлы, так как некоторая информация, требуемая для продажи, имеет отношение только к изделиям.
Для решения задач управления складом и производством изделий необходимо описать номенклатуру изделий и узлов, указывая: состав изделий из узлов и базовых деталей, состав узлов из подузлов и базовых деталей.
Для указания более конкретных связей между сущностями различают прямую и обратную связи. Каждой такой связи соответствует имя и пара чисел.
Рис. 2.9. Схема прямой и обратной связей
Например, в связи между сущностями СЛУЖАЩИЙ и ОТДЕЛ (рис. 2.9) прямая связь РАБОТАЕТ [1:1] указывает на то, что служащий работает только в одном отделе; обратная связь СОДЕРЖИТ [1: N ] указывает на то, что отдел содержит не менее одного служащего (обычно много служащих). Другими словами, связь L[M, N] между двумя классами сущностей А и В указывает на то, что сущность А связана, как минимум, с M и, как максимум, с N сущностями В. Иногда N может быть не определено.
Модель «сущность—связь» появилась в связи с потребностями проектирования БД. Она удовлетворяет двум важным критериям: во-первых, мощность ее средств позволяет представлять структуры и ограничения, свойственные реальному миру, и, во-вторых, разрыв между возможностями модели и промышленными СУБД не является слишком большим. Эти модели помогают проектировщикам контактировать с пользователями в процессе анализа и конструирования БД.
Реляционная модель
Основные понятия
В реляционной модели данных информация хранится в одной или нескольких связанных таблицах. Отдельная таблица обычно представляет совокупность (группу) либо реальных объектов, либо некоторых абстрактных концепций, либо событий одного типа. Каждая запись в таблице идентифицирует один объект группы. Таблица состоит из строк и столбцов, называемых записями и полями соответственно. Таблицы обладают следующими свойствами:
1. Каждый элемент таблицы представляет собой один элемент данных, т.е. группа значений в одном столбце одной строки недопустима;
2. Все столбцы в таблице однородные. Это означает, что элементы столбца имеют одинаковую природу. Столбцам присвоены имена;
3. В таблице нет двух одинаковых строк;
4. Порядок размещения строк и столбцов в таблице может быть произвольным. В операциях с такой таблицей ее строки и столбцы могут просматриваться в любом порядке безотносительно к их информационному содержанию и смыслу.
Таблицы, обладающие такими свойствами, являются точным прообразом математического двумерного множества – отношения (relation). Но эти два понятия не эквивалентны. Отношение – это абстрактный математический объект, а таблица – это конкретное изображение этого абстрактного объекта. Различие проявляется в их свойствах. В отношении строки и столбцы могут быть неупорядочены, а в таблице строки упорядочены сверху вниз, а столбцы слева направо. Строки в таблице могут повторяться строки, а в отношении нет.
В реляционной модели каждая строка таблицы уникальна. Это обеспечивается применением ключей, которые содержат одно или несколько полей таблицы. Ключи хранятся в упорядоченном виде, обеспечивающем прямой доступ к записям таблицы во время поиска. Связь между таблицами осуществляется посредством значений одного или нескольких совпадающих полей (преимущественно ключевых).
Приведем ряд терминов, применяющихся в реляционной модели:
· Отношением (relation) называется двумерное множество – таблица, удовлетворяющая вышеперечисленным требованиям;
· Атрибут – это свойство, характеризующие объект. В структуре таблицы каждый атрибут имеет имя и ему соответствует заголовок некоторого столбца таблицы. Количество атрибутов называется степенью отношения;
· Кортежом (tuple) называется строка таблицы. В общем случае кортежи представляют собой набор пар <атрибут>, <значение>. Каждое значение должно быть атомарным, т.е. не может быть многозначным или составным. Следовательно, многозначные и составные атрибуты в реляционной модели не поддерживаются. Количество кортежей называется кардинальным числом;
· Домен представляет собой множество всех возможных значений определенного атрибута отношения.
· Первичным ключом называется атрибут отношения, однозначно идентифицирующий каждый из его кортежей. Ключ может быть составным (сложным), т. е. состоять из нескольких атрибутов.
· Потенциальный ключ – это подмножество атрибутов отношения, обладающего следующими свойствами:
- Свойством уникальности. Нет одинаковых кортежей с теми же значениями потенциальных ключей;
- Свойством неизбыточности. Никакое из подмножеств потенциального ключа не обладает свойством уникальности.
Каждое отношение обязательно имеет комбинацию атрибутов, которая может служить ключом. Его существование гарантируется тем, что отношение – это математическое множество, которое не может содержать одинаковых кортежей, т.е. по крайней мере вся совокупность атрибутов обладает свойством однозначной идентификации кортежей отношения. Возможны случаи, когда отношение имеет несколько комбинаций атрибутов, каждая из которых однозначно определяет все кортежи отношения. Все эти комбинации атрибутов являются потенциальными или возможными ключами отношения. Один потенциальный ключ выбирается в качестве первичного, остальные будут называться вторичными (альтернативными). Могут быть даже такие ситуации, когда любой из потенциальных ключей может быть выбран в качестве первичного. Примером может служить таблица Менделеева, содержащая поля Имя, Символ и Атомное число. Потенциальные ключи имеют очень большое значение в реляционной теории. Они служат для адресации кортежей. Указав значение потенциального ключа мы гарантированно получим не более одного кортежа. Для отношений, связанных с другими «базовыми» отношениями, существуют еще внешние ключи, использующиеся для установления связи.
· Внешний ключ – это такой атрибут подчиненного отношения, который используется для установления связи с базовым отношением. Он содержит значения, всегда совпадающие с некоторыми значениями потенциального ключа базового отношения.
Исходя их вышеприведенных понятий, математически отношение можно описать следующим образом. Пусть даны n множеств Dl, D2, D3,..., Dn. Тогда отношение R есть множество упорядоченных кортежей< d1, d2, d3,..., dn >, где dk Î Dk, dk – атрибут, a Dk – домен отношения R.
В середине 70-х годов инженером IBM Коддом (Codd) была предложена модель данных, основанная на математических операциях исчисления отношений и реляционной алгебре. Основной структурной единицей этой модели являлось отношение (relation). Поэтому такая модель данных получила название реляционной. Коддом был также разработан язык манипулирования данных, представленных в виде отношений. Он предложил два эквивалентных между собой по своим выразительным возможностям варианта языка манипулирования данными:
5. Реляционная алгебра. Это процедурный язык, так как отношение, являющееся результатом запроса к реляционной БД, вычисляется при выполнении последовательности реляционных операторов, применяемых к отношениям. Операторы состоят из операндов, в роли которых выступают отношения, и реляционных операций. Результатом реляционной операции является отношение. Операции реляционной алгебры можно разделить на две группы. Первую группу составляют операции над множествами, к которым относятся операции объединения, пересечения, разности, деления и декартова произведения. Вторую группу составляют специальные операции над отношениями: проекция, выборка и соединение.
6. Реляционное исчисление. Это непроцедурный язык описательного или декларативного характера, содержащий лишь информацию о желаемом результате. Процесс получения этого результата скрыт от пользователя. К языкам такого типа относятся SQL и QBE. Первый основан на реляционном исчислении кортежей, второй – на реляционном исчислении доменов.
С помощью этих языков можно извлекать подмножество столбцов и строк таблицы, создавая таблицы меньшей размерности, а также объединять связанные данные из нескольких таблиц, создавая при этом таблицы большей размерности. Следовательно, различные пользователи могут выделять в реляционной БД различные наборы данных и связей между ними. Этот способ представления данных наиболее естественен и обозрим для конечного пользователя. Реляционная модель данных очень гибка, поскольку любое представление данных с некоторой избыточностью можно свести к двумерным таблицам.
Отношения
Теоретическим фундаментом реляционного подхода к БД является математическая теория отношений. Основные понятия и операции над отношениями используются в реляционных БД.
Основные понятия и способы представления отношений. Всякая система (математическая, информационная) непосредственно связана со множеством каких-то объектов, или элементов. Так, в математике используются множества чисел: натуральных, положительных, вещественных и др. В алгебре рассматриваются элементы, которые можно складывать, вычитать, умножать и т.д., а в геометрии — множества точек: прямые, линии, плоскости и т.д. Информационная система объекта, например, учебного заведения, содержит информацию о преподавателях, студентах, кафедрах, факультетах, лабораториях, расписании занятий и т. п.
Помимо элементов система включает в себя связи, отношения между ними. Так, числа а и b могут быть равны (а = b), не равны (а ≠ b), а больше или равно b (а ≥ b); фигуры А и В могут быть конгруэнтны (А = В), А может содержать В (A 
B); две прямые А и В могут быть параллельны (А || В), перпендикулярны (
). Студент а относится (принадлежит) к множеству А (студенты кафедры).
Все перечисленные отношения касаются двух объектов и поэтому называются бинарными отношениями или просто отношениями. Отношения между тремя объектами называются тернарными, а между n объектами — n-арными. Так, тернарным является отношение между объектами ЗАКАЗЧИК, ПОСТАВЩИК, ТОВАР.
Бинарным отношением R между множествами А и В (обозначается R (A, В)) называется любое множество упорядоченных пар (а, b), где а 
А, b В. Если (а, b) R, то говорят, что а находится в отношении R к b, и записывают aRb, Поскольку множество упорядоченных пар (а, b), где а A, b В, является декартовым произведением A × В, то бинарным отношением будет любое подмножество этого произведения.
Пример 2.1. Возьмем множество поставщиков и множество предлагаемых товаров. Любое подмножество связей ПОСТАВЩИК — ТОВАР является бинарным отношением.
Пример 2.2. Пусть даны множества A = {1, 2, 3} и В = {2, 3, 4, 5, 6}. Декартово произведение A × В — это множество пар:
(1, 2), (1, 3), …, (1, 6),
(2, 2), (2, 3), …, (2, 6),
(3, 2), (3, 3), …, (3, 6).
Построим бинарное отношение R, у которого первый элемент является делителем второго. Получим следующее бинарное отношение: R ={(1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 3), (3,6)}.
Пример 2.3. Пусть Ольга (О), Павел (П), Иван (И) — имена детей в семье. Отношением а — брат b будет:
R = {(П, О), (И, О), (П, И), (И, П)}.
В отношении R (A, В) множество А, т.е. совокупность всех первых координат, называют областью определения отношения R, а множество B, т. е. множество всех вторых координат, — областью его значений. Так, для примера 3.3 область определения — множество {П, И}, а область значений— множество {О, П, И}.
Дополнением к бинарному отношению R будем называть отношение 
, которое определяет подмножество
= (A × B)\ R,
т.е. a b тогда и только тогда, когда { a, b) R. Так, для примера 2.2
= {(2, 3), (2, 5), (3, 2), (3, 4), (3, 5)}.
Бинарные отношения можно задавать различными способами: матрицами, графами, таблицами (сечениями). Отношение R (A, В), где А = { а 1, а 2,..., am }; B = { b 1, b 2,..., bn }, можно представить матрицей смежностей, строки которой соответствуют элементам A, а столбцы — элементам В; на пересечении аi -й строки и bj -го столбца записана 1, если aiRbj, и 0, если aiRbj. Матрицы смежности для отношений R и для примера 2.2 имеют вид
| R |
| ||||||||||||
Бинарное отношение R (A, В) можно представить в виде ориентированного графа. Элементы множества А и В — вершины графа, причем ребром соединяются те и только те элементы а А, b В, для которых (a, b) R. Так, в виде графа на рис. 2.10 представлено отношение для примера:
Рис. 2.10. Представление отношения R в виде графа
Пусть даны три множества А, В, С и два отношения R (A, В) и S (B, С). Композицией, или умножением, отношений R и S называют бинарное отношение RS (или R * S) между элементами множеств А и С такое, что aRSc тогда и только тогда, когда существует хотя бы один элемент b В, при котором истинны aRb и bSc.
Пример 2.4. Рассмотрим множества
А = { а 1, а 2, а 3}, В = { b 1, b 2, b 3}, С = { с 1, c 2, c 3, c 4}
и отношения
R (A, B) = {(a 1, b 2), (a 2, b 1), (a 2, b 3), (a 3, b 4)},
S (B, C) = {(b 1, c 2), (b 2, c 1)}.
Умножение отношений RS можно представить в виде графа (рис. 2.11.).
Умножение бинарных отношений ассоциативно, т. е. (RS) T = R (ST). Пусть даны отношения R (A, В), S (B, С) и Т (С, D). Тогда a (RS) Td = aR (ST) d, т.е. элемент а A тогда и только тогда находится в каждом из отношений (RS) T и R (ST) к элементу d D, когда существуют такие элементы b В и c С, что aRb, bSc, cTd. Умножение отношений, однако, не является в общем случае коммутативным (перестановочным), т.е. RS ≠ SR. Эта операция имеет место только в частных случаях (в этом случае говорят, что R и S перестановочны).
Пример2.5. Пусть даны множества
A = {a, b}, B = {a, b, c}, C = {b, c}
и отношения R (A, В) = {(а, b), (b, с)}, S (B, C) = {(b, с), (а, b)}. Тогда aRSc = aSRc для любых а А и c С.
Умножение k отношений R на множестве H, т.е. k -я степень R, обозначаемая Rk, рекурсивно определяется следующим образом:
1) aR l b истинно, когда истинно aRb;
2) aR i b для i >0 истинно, когда существует такое с А,
что aRc и cRi -l b истинны.
Пусть имеем aR 3 b. Тогда существует такое с 1, что aRc 1 и c 1 R 2 b. Для c 1 R 2 b найдется такое с 2, что c 1 Rc 2 и c 2 Rb , т. е. для аR 3 b есть такое с 1, с 2 А, что аRс 1, c 1 Rc 2 и с 2 Rb.
Пусть в одном или нескольких множествах даны отношения Ri (i пробегает множество индексов I) и S. Тогда
, 
(2.1)
Согласно a [(U Ri) S ] с существует такой элемент b, что a (
Ri) b и bSc. А это, в свою очередь, равносильно существованию такого индекса i 0, что a R 
b и bSc, т.е.
Рис. 2.11.Представление операции умножения отношений RS в виде графа
a(R S) c и поэтому a ( RiS) c. Заметим, что в равенствах (3.1) объединение нельзя заменить пересечением. Из (3.1) следует, что если даны отношения R, R ' и S, причем R 
R ', то
RS R ' S, SR SR '. (2.2)
Действительно, так как R R ’ то R R ' = R ', что приводит к равенству (R R ’) S = RS R ’ S = R ’ S, 
которое равносильно включению RS R ' S.
Функциональные отношения, отображения. Пусть r (a, b) — элемент отношения R (A, В). Проекцией элемента r на множество А является элемент а. Проекцией отношения R (A, В) на множество А называется множество элементов а М, которые являются проекциями элементов r R на А. Сечением отношения R (A, В) по элементу а называется множество элементов bi B, для которых (a, bi) R.
Множество сечений по элементам а А отношения R (A, В) называется фактор-множеством множества В по отношению R и обозначается B / R. Таблица, в которой под каждым элементом а i А расположено соответствующее ему сечение, полностью определяет отношение R (A, В); вторая строка таблицы является фактор-множеством B / R:
Сечение R (X) пo X 
A есть объединение сечений R (x) по х Х. Таким образом, R (X) B и для нашего примера
R (a 2, а 4 ) = { b 1, b 2, b 3, b 4}.
Отношение R (А, В) называется функциональным, если для каждого а А существует не более одного b В, удовлетворяющего отношению aRb (рис. 2.12).
Отношение R (A, В) называется взаимно однозначным, если для функционального отношения R симметричное ему отношение тоже функционально.
Всякому отношению R (A, В) можно поставить в соответствие функцию f (x), если его сечение по каждому х А либо пусто, либо есть элемент множества В. Если f (x) всюду определена, т. е. область определения функции совпадает с А, то говорят, что отношение R (A, В) есть отображение множества А в В. Функциональное отношение R (A, В) вызывается отображением А в В, если для каждого а A существует один и только один элемент
Рис. 2.12. Представление функционального отношения R(A, В) в виде графа
b B, удовлетворяющий отношению aRb. Элемент b называется образом элемента а и обозначается aR, а элемент а — прообразом элемента b при отображении R. Совокупность всех прообразов элемента b в А при отображении R называется полным прообразом этого элемента в А.
Отображение можно задавать таблицей, состоящей из двух строк. В верхней строке записываются элементы а 
А, а под ними — соответствующие названным элементам прообразы из множества В. Например, таблица
R = 
определяет отображение множества {1, 2, 3, 4} в множество {2, 5, 1, 4}. При этом 1 R = 2, 2 R = 5, 3 R =1, 4 R = 4.
Пусть Р — отображение А в В, Q — отображение В в С. Умножение отображения PQ будет отображением А в С, и для любого x € А справедливо x (PQ) = (xP) Q. Действительно, пусть x (PQ)= c. Тогда для некоторого у В имеем хРу и yQc, откуда хР = у и поэтому с = (xP) Q. Обратно, из (xP) Q следует x (PQ).
Умножение отображений, заданных таблицами, покажем на примере:
Отображение R называют сюръективным (сюръекцией) или отображением множества А на множество В, когда каждый элемент b € В имеет хотя бы один прообраз из А.
Пример 2.6. Пусть А и В — множества вещественных чисел. Отображением (сюръективным) А на В может быть функция, определенная формулой х → З х + 5, т. е. х переходит в y = 3 x + 5.
Функция х → у = х 2 определяет отображение множества A в Б, которое не является сюръективным, так как отрицательные числа из В не являются образами элементов из А.
Отображение R множества А в множество В называется взаимно однозначным, если обратное отношение R -l есть отображение В в А. Для взаимно однозначного отображения, заданного с помощью сечений, необходимо и достаточно, чтобы каждый элемент из В встречался в нижней строке таблицы один и только один раз. Так, три таблицы, приведенные ранее в качестве примера умножения отображений, соответствуют взаимно однозначным отображениям.
Взаимно однозначное отображение, для которого R всюду определено, называют инъективным (инъекцией).
Пример 2.7. Пусть А — множество действительных чисел, В — множество положительных действительных чисел. Отображение х → у = ех является взаимно однозначным, так как каждому у соответствует х = ln y. Таким образом, имеем инъективное отображение, обратным для которого будет отображение у → х =ln y.
Взаимно однозначное отображение R между элементами одного множества, для которого R и R -l всюду определены, называется отображением на себя или биективным отображением. Биективное отображение является одновременно сюръективным и ииъективным.
При отображении некоторого множества самого в себя говорят, что отображение aRb переводит точку а в точку b. При aRa точку а называют неподвижной точкой отображения R. Если все точки множества A при отображении неподвижны, то отображение называют тождественным и обозначают ЕА. Очевидно, что Е -1= Е и для любого отображения R RE = ER = R. При задании отображения в себя с помощью сечений в нижней строке таблицы будут такие же элементы, как и в верхней (возможно, в другом порядке), и каждый из них встречается один и только один раз:
Матрица смежностей, соответствующая отображению в себя, является квадратной:
| R | ||||
Представление отображения в себя в виде графа состоит из циклов (конечных или бесконечных).
