Квадратное уравнение. Теорема Виета.

Квадратное уравнение aх 2+ bх + c =0 (a, b, c Î R, a ¹ 0) D = b 2-4 ac · D >0 Þ $ x 1¹ x 2Î R (если дискриминант положителен, то квадратное уравнение имеет два различных действительных корня):   · D =0 Þ $ x 1= x 2Î R (если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение имеет два совпавших действительных корня):   · D <0 Þ R – корней(если дискриминант отрицателен, то квадратное уравнение не имеет действительных корней).

Теорема Виета · Пусть х 1, х 2 – корни неприведённого квадратного уравнения ах 2+ bх + c =0, тогда:   · Пусть х 1, х 2 – корни приведённого квадратного уравнения х 2+ bх + c =0, тогда: – сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно третьему коэффициенту.

Задание 1. Решить уравнение (на множестве комплексных чисел) и проверить его корни подстановкой и по теореме Виета:

1)	Проверка 1:   Проверка 2:	2)	Проверка 1:     Проверка 2:
3) х 2+4 х +5=0 D =16-20=-4 D <0 Þ R – корней, но существуют два сопряжённых комплексных корня	Проверка 1:   Проверка 2:	4) х 2-4 х +5=0	Проверка 1:   Проверка 2:
5) х 2-6 х +10=0	Проверка 1:   Проверка 2:	6) х 2+6 х +10=0	Проверка 1:   Проверка 2:

Задание 2. Произвести действия над комплексными числами в алгебраической форме:

z 1=2-5 i; z 2=-3+ i 1) z 1+ z 2= z 2+ z 1=(2-5 i)+(-3+ i)=   – коммутативность сложения; 2) z 1- z 2=-(z 2- z 1)=(2-5 i)-(-3+ i)=     – антикоммутативность вычитания или коммутативность сложения; 3) z 1· z 2= z 2· z 1=(2-5 i)·(-3+ i)=     – коммутативность умножения; 4)   5)   или

z 1=-4+2 i; z 2=1-3 i 1) z 1+ z 2= z 2+ z 1=   – коммутативность сложения; 2) z 1- z 2=-(z 2- z 1)=     – антикоммутативность вычитания или коммутативность сложения; 3) z 1· z 2= z 2· z 1=     – коммутативность умножения; 4)   5)   или

Задание 3.

1. произвести действия над комплексными числами в алгебраической форме;

2. представить комплексные числа в тригонометрической форме;

3. произвести действия над комплексными числами в тригонометрической форме;

4. сравнить полученные результаты:

z ₁=-2+2 i; z ₂=1- i

1) z 1+ z 2= z 2+ z 1=   2) z 1- z 2=   3) z 2- z 1=   4) z 1· z 2= z 2· z 1=   5)   6)
	Переведём комплексное число z 1 из алгебраической формы в тригонометрическую: z 1=-2+2 i; а 1=; b 1=; Вычислим модуль r 1 комплексного числа z 1: Вычислим аргумент[1] j 1 комплексного числа z 1(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
z 1=-2+2 i =
	Переведём комплексное число z 1 из алгебраической формы в тригонометрическую: z 2=1- i; а 2=; b 2=; Вычислим модуль r 2 комплексного числа z 2: Вычислим аргумент j 2 комплексного числа z 2(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
z 2=1- i =
1) z 1+ z 2= z 2+ z 1=     2) z 1- z 2=     3) z 2- z 1=     4) z 1· z 2= z 2· z 1=     5)   6)

 

z ₁=-2-2 i; z ₂=4-4 i

1) z 1+ z 2= z 2+ z 1=   2) z 1- z 2=   3) z 2- z 1=   4) z 1· z 2= z 2· z 1=   5)   6)
	Переведём комплексное число z 1 из алгебраической формы в тригонометрическую: z 1=-2-2 i; а 1=; b 1=; Вычислим модуль r 1 комплексного числа z 1: Вычислим аргумент j 1 комплексного числа z 1(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
z 1=-2-2 i =
	Переведём комплексное число z 1 из алгебраической формы в тригонометрическую: z 2=4-4 i; а 2=; b 2=; Вычислим модуль r 2 комплексного числа z 2: Вычислим аргумент j 2 комплексного числа z 2(в данном случае не будем вычислять, а воспользуемся знаниями из тригонометрии – так как «угол поворота – имеет точное значение»:
z 2=4-4 i =
1) z 1+ z 2= z 2+ z 1=     2) z 1- z 2=     3) z 2- z 1=     4) z 1· z 2= z 2· z 1=     5)     6)

 

Домашнее задание