Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


“≈ќ–≈ћј √ј”——ј-ќ—“–ќ√–јƒ— ќ√ќ




–ассмотрим поле какого-либо вектора , определенного в каждой точке своего пол€. Ћини€ми этого вектора называютс€ линии, касательные к которым совпадают с вектором в каждой точке. Ћинии приписывают направление, совпадающее с направлением вектора. ”словимс€ проводить через каждую единичную площадку, перпендикул€рную лини€м , количество линий, равное значению этого вектора в данной точке. ≈сли поле неоднородно, выбирают элементарную площадку dS 0, перпендикул€рную лини€м, настолько малой, чтобы во всех ее точках вектор можно было считать одинаковым (в пределе Ц бесконечно малой): , где dN Ц число линии, проведенных через нормальную площадку dS 0. ѕотоком линий вектора через произвольную поверхность S называетс€ число линий вектора, проход€щих сквозь эту поверхность (если они проведены по сформулированному выше правилу). Ёлементарный поток . ¬ыберем элементарную площадку dS, не перпендикул€рную лини€м вектора , так, чтобы ее пронизывал тот же элементарный поток . »з рис.19 . —ледовательно, . ¬ведем новый вектор , где Ц единичный вектор нормали к площадке dS. “огда

,

так как a Ц угол между и (см. рис.19). ѕоток линий вектора через конечную поверхность S

.

ѕоток через замкнутую поверхность или полный поток линий вектора

.

¬ векторе использован единичный вектор внешней нормали. “аким образом, полный поток Ц алгебраическа€ величина. ¬ыход€щие из замкнутой поверхности линии считаютс€ со знаком плюс (), вход€щие Ц со знаком минус ().

јналогично лини€м напр€женности электрического пол€ ввод€тс€ линии вектора смещени€.

ѕоток этих линий через произвольную площадку S

.

—осчитаем полный поток линий вектора смещени€ через замкнутую сферическую поверхность, в центре которой расположен точечный зар€д Q 0, создающий поле (рис.20):

.

 ак видим, полный поток линий вектора смещени€ не зависит от формы поверхности и от того, где внутри нее расположен зар€д (рис.21).

Ћинии вектора пересекают поверхность S нечетное число раз, причем, кроме одного, с попарно противоположными знаками (вход€т, выход€т). ѕоэтому в поток линий вектора кажда€ лини€ войдет один раз со знаком, определ€емым ее направлением. «начит, полный поток вектора смещени€ через любую замкнутую поверхность, охватывающую создающий поле зар€д, равен этому зар€ду: .

«десь Ц вектор смещени€ на элементе поверхности dS (рис.21). ѕусть теперь поле создано n зар€дами (рис.22). ƒл€ каждого из зар€дов Q 0, попавших внутрь мысленной поверхности S, можно написать , где Ц вектор смещени€ пол€ i -го зар€да в точках dS. ƒл€ каждого из зар€дов, не попавших внутрь этой поверхности (рис.23), (четное число пересечений линий с поверхностью). —уммиру€ все такие уравнени€ почленно, имеем:

.

где k Ц число зар€дов, охваченных поверхностью S. »наче .

¬ынесем общий дл€ всех членов суммы элемент dS за знак суммировани€: . «десь все векторы относ€тс€ к одному элементу поверхности dS. ѕо принципу суперпозиции полей вектор смещени€ результирующего пол€ , где n Ц число всех зар€дов, создающих поле в данной точке (а не только охваченных поверхностью). ѕолучаем теорему √аусса Ц ќстроградского

или .

ѕолный поток линий вектора смещени€ через любую (замкнутую) поверхность равен алгебраической сумме зар€дов, охватываемых этой поверхностью.

≈сли в поле можно выбрать какую-либо замкнутую поверхность, через которую не равен нулю поток линий соответствующего вектора, эти линии не замкнуты. “о, что такую замкнутую поверхность можно выбрать сколь угодно близкой к зар€ду (и охватывающей его), доказывает, что точки, в которых наход€тс€ зар€ды, Ц особые точки пол€ (вспомним, что дл€ этих точек тер€ют смысл все характеристики пол€: ; ; j и т.д.), зар€ды Ч его источники, как и предполагалось ранее. Ћинии напр€женности электростатического пол€ и линии вектора смещени€ начинаютс€ и заканчиваютс€ на зар€дах (или в бесконечности).

“еорема √аусса Ц ќстроградского во многих случа€х позвол€ет рассчитать вектор смещени€ в данной точке электрического пол€. ƒл€ этого надо мысленную поверхность S провести через точку, в которой определ€етс€ вектор . ѕоверхность выбираетс€ так, чтобы, по воз≠можности, проще разрешалось уравнение относительно искомого вектора , лучше всего, если на всей поверхности или на конечном числе ее частей вектор посто€нен и составл€ет посто€нный угол с нормалью к поверхности. ¬ тех случа€х, когда применение теоремы не встречает непреодолимых математических трудностей, рассчитывают вектор , вектор , затем потенциал, т.е. сравнительно просто получают важнейшие характеристики данной точки электростатического пол€.

Ќапример, дл€ бесконечной равномерно зар€женной плоскости , где Ц поверхностна€ плотность зар€дов. ƒл€ пол€ плоского конденсатора .





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 336 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ќасто€ща€ ответственность бывает только личной. © ‘азиль »скандер
==> читать все изречени€...

545 - | 471 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.009 с.