Гармонический ряд (после чисел Ферма).

Ещё одно доказательство бесконечности множества простых чисел использует расходимость гармонического ряда. Эти слова означают, что сумма

1+1/2+1/3+ … +1/n

может быть сделана сколь угодно большой, надо только взять достаточно

много слагаемых.

Наглядно это утверждение можно представлять себе так. Мы идём умень-

шающимися шажками - первый длины 1, второй 1/2, далее 1/3, 1/4,

1/5,.... Оказывается, что несмотря на уменьшение со временем

длины шага, таким манером можно уйти сколь угодно далеко.

Чтобы убедиться в этом, разделим гармонический ряд на части:

(в каждой скобке последнее слагаемое имеет в знаменателе степень двойки).

Правило тут такое: n-я по счёту скобка начинается с дроби 1/(2ⁿ + 1),

кончается дробью 1/2ⁿ⁺¹ и содержит 2ⁿ слагаемых. (Скажем, следующая

скобка будет содержать числа от 1/9 до 1/16 включительно.) Наименьшее из

чисел в каждой из скобок - последнее, и если все слагаемые заменить на

него, то получится сумма

в которой каждая скобка равна 1/2. Поэтому если взять достаточно много

скобок, мы уйдём сколь угодно далеко, как и утверждалось.

 

 

Важно понимать, что сама по себе бесконечность числа слагаемых не

гарантирует, что мы далеко уйдём. Например, сколько ни бери слагаемых в

сумме

 

всё равно больше 2 не получится: каждый следующий член составляет половину оставшегося расстояния до точки 2, и мы на каждом шаге

приближаемся к этой точке вдвое, так никогда её и не достигнув. Формально

говоря,

чтобы убедиться в этом, достаточно перенести 1/2ⁿ из правой части в левую

и затем свернуть левую часть, объединяя одинаковые слагаемые.

Разница между этими двумя примерами объясняется тем, что в бесконечно убывающей прогрессии (втором примере) слагаемые убывают гораздо

быстрее.

Всё это замечательно, но при чём тут простые числа? Удивительным

образом связь существует, и очень глубокая. Давайте для начала перемножим

две суммы

(обратные степени двойки и тройки; сколько именно слагаемых в каждой

скобке, мы решим потом). После раскрытия скобок в произведении возникнут слагаемые 1 (как 1 · 1), 1/2 (как (1/2) · 1), 1/3 (как 1 · (1/3)), 1/4

(как (1/4) · 1), 1/6 (как (1/2) · (1/3)) и так далее. Заметьте, что при этом

пропущена 1/5, нет также 1/7, 1/10 и др. Формально говоря, произведение

двух скобок будет суммой всех дробей вида

при не слишком больших k и l (каких именно - зависит от того, сколько

членов мы взяли в наших двух суммах).

Чтобы восполнить хотя бы часть пропущенного, добавим третий множитель и рассмотрим произведение

Теперь уже есть знаменатели вида 2^k 3^l 5^m (так что 1/5 и 1/10 вошли в

сумму), но, скажем, 1/7 по-прежнему нет. Чтобы появилась 1/7, надо домножить произведение на

и так далее.

 

Продолжая эти наблюдения, можно придти к такому выводу: если бы

простых чисел было конечное число n, то гармонический ряд бы не превысил

2ⁿ (а мы знаем, что это не так - значит, простых чисел бесконечно много).

В самом деле, пусть 2, 3, …, p - все простые числа и их всего n. В

этом случае произведение

 

содержит n сомножителей. Каждый из сомножителей меньше двух (про первый мы уже говорили, остальные почленно меньше первого). Значит, произведение меньше 2ⁿ. С другой стороны, взяв достаточно членов в каждой скобке, мы можем получить после раскрытия скобок сколь угодно длинный кусок гармонического ряда без пропусков (а дальше - с пропусками). Ведь мы предположили, что других простых чисел нет, значит, любой знаменатель представим в виде произведения имеющихся.

Таким образом, расходимость гармонического ряда неизбежно влечёт за

собой бесконечность множества простых чисел!

Замечание 1. Использовали ли мы в этом рассуждении однозначность

разложения чисел на простые множители? На самом деле нет. Если бы разложение на множители какого-либо числа N было неоднозначным, это привело бы к тому, что при раскрытии скобок у нас появилось несколько слагаемых вида 1/N (столько, сколько есть различных разложений). Но если даже с несколькими такими слагаемыми сумма не больше 2ⁿ, то уж с одним и подавно. А вот существование (хотя бы одного) разложения любого числа на простые множители мы действительно использовали, когда говорили, что в произведении можно получить любые члены гармонического ряда.

Замечание 2. Более тонкий анализ (основанный на тех же идеях) позволяет доказать, что не только гармонический ряд расходится, но и ряд

(в знаменателях - простые числа) тоже расходится.