Гироскоп – это быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого не фиксирована, а может свободно изменять своё направление в пространстве, то есть поворачиваться. Одна из точек оси вращения обычно закреплена. Эту точку называют точкой опоры гироскопа. Главная особенность гироскопа состоит в том, что для поворота его оси вращения требуется очень большое внешнее воздействие. Иными словами, направление заданной изначально оси вращения гироскопа обладает высокой устойчивостью.
Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы. Они обладают геометрической осью симметрии, и их приводят во вращение именно вокруг этой оси.
Теория гироскопов основана на уравнении моментов. Его ещё называют основным законом динамики вращательного движения. Этот закон состоит в том, что моменты внешних сил M i, действующие на механическую систему, приводят к изменению момента импульса системы L. При этом скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту внешних сил:
. (1)
Момент импульса системы L – это по определению сумма моментов импульсов L k материальных точек, образующих систему, а момент импульса материальной точки L k – это векторное произведение радиус-вектора точки r k на её импульс p k.
. (2)
Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной (фиксированной) оси с угловой скоростью w, то оказывается, что его момент импульса L параллелен вектору w и, более того, связан с ним формулой
, (3)
где J – момент инерции тела относительно оси вращения. При этом оба вектора L и w направлены вдоль оси вращения. Ось вращения гироскопа не фиксирована, поэтому связь между L и w немного иная. Выясним её (без доказательства). Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов (разложить на составляющие). Вектор w можно разложить на следующие составляющие: w 0, направленную вдоль оси симметрии, и w ^, направленную перпендикулярно оси симметрии:
. (4)
При этом:
, (5)
где J 0 – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, J ^ – момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикулярной оси симметрии. Так как J 0 и J ^обычно не равны друг другу, то в общем случае L, w и ось вращения направлены по-разному. Как отмечалось выше, гироскоп первоначально раскручивают вокруг его оси симметрии, и в начальном состоянии:
. (6)
В начальном состоянии L, w и ось вращения направлены одинаково. Однако с течением времени эта параллельность может нарушиться, так как согласно уравнению моментов (1) моменты внешних сил изменяют момент импульса гироскопа, что, в свою очередь, приводит к изменению угловой скорости. В чём состоит это изменение и нарушается ли при этом параллельность между L, w и осью вращения, зависит от конкретного устройства гироскопа и от сил, создающих моменты.
Рассмотрим гироскоп, состоящий из лёгкого стержня, на котором надеты диск-маховик M, масса которого много больше массы стержня, и цилиндрический противовес Р (рисунок 18). Маховик соединён со стержнем с помощью подшипника, поэтому он может вращаться вокруг стержня. Противовес вокруг стержня не вращается, но его можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любой точке O2. В точкеO1 стержень гироскопа шарнирно закреплен с вертикальной подставкой S, так что O1 является точкой опоры гироскопа. Ось Os – это ось симметрии гироскопа.
| Рисунок 18 – Устройство гироскопа |
Линии, вдоль которых действуют силы m 1 g и m 2 g, не проходят через ось вращения O1, поэтому возникают два момента сил:
M 1 = m 1 gℓ 1,
M 2 = m 2 gℓ 2.
| Рисунок 19 – Силы и моменты в гироскопе |
Если противовес установлен так, что модули этих векторов одинаковы, то есть m 2 ℓ 2 = m 1 ℓ 1, то М 2 = – М 1 и суммарный момент сил, действующих на гироскоп, равен нулю. При этом ось гироскопа будет сохранять горизонтальное положение независимо от того, вращается маховик или нет. Если m 2 ℓ 2 ≠ m 1 ℓ 1, то поведение гироскопа зависит от того, вращается маховик или нет. В случае, когда маховик не вращается, гироскоп под действием момента сил M 1 + M 2 будет вести себя привычно: он будет наклоняться влево или вправо (в плоскости рисунка 19) в зависимости от того, какой из моментов сил больше. Если же маховик вращается, то движение гироскопа необычно: его ось будет сохранять горизонтальное положение, а гироскоп в целом будет поворачиваться в горизонтальной плоскости (в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка 19). Это вращение называется вынужденной прецессией. Выясним причину этого явления и определим, от чего и как зависит частота прецессии.
На рисунке 20 показан вид на гироскоп сверху. Чтобы не загромождать рисунок, маховик показан в виде точки. Будем для определённости считать, что m 2 ℓ 2 > m 1 ℓ 1, так что суммарный момент сил на рисунке 19 направлен от наблюдателя, а на рисунке 20 – вверх.
Рисунок 20 – Вынужденная прецессия гироскопа
Пусть в начальный момент времени (в момент установки и закрепления противовеса) маховик вращается с угловой скоростью w (0). При этом он (и весь гироскоп в целом) обладает моментом импульса L (0).Согласно (6), L (0) = J 0 ω (0) и начальный момент импульса направлен так же, как и угловая скорость, то есть вдоль оси гироскопа. Из уравнения моментов следует, что за малое время dt момент силы M изменит момент импульса гироскопа на d L = M dt. Так как M ^ L (0),то и d L ^ L (0). Поэтому вектор L по величине не изменяется, а только поворачивается на малый угол dj. Из (5) следует, что
. (7)
Поскольку ω ⊥(0) = 0, то d ω ⊥ = ω ⊥(dt). По определению, вектор w ^ перпендикулярен оси гироскопа, поэтому в (7) два вектора d w ^и d L имеют одно и то же направление. Следовательно, такое же направление имеет и вектор d w 0. Это значит, что d w 0^ w 0, то есть вектор w 0 не изменяется по величине, а только поворачивается – так же, как и вектор момента импульса L.
Итак, во-первых, скорость вращения гироскопа вокруг его оси w0 сохраняется неизменной. Во-вторых, по определению, вектор w 0 направлен вдоль оси вращения, поэтому поворот вектора w 0 означает поворот оси гироскопа
Из (5) следует, что с течением времени у вектора L появляется составляющая, перпендикулярная оси вращения, однако по модулю эта составляющая невелика, так что J ⊥ω⊥ << J 0ω0. Поэтому можно в первом приближении отбросить в (5) второе слагаемое и утверждать, что не только в начальный, но и в любой момент времени
. (8)
Это означает, что векторы L и w 0 и ось вращения параллельны не только в начальный момент, но и остаются параллельными через время dt, повернувшись все вместе на угол d j. За следующий промежуток времени происходит то же самое. И так далее, то есть векторы L и w 0 и ось вращения постоянно все вместе вращаются в горизонтальной плоскости, а это и есть прецессия.
Определим теперь скорость прецессии. Для этого достаточно определить скорость вращения вектора L. Из рисунка 20 следует:
.
Отсюда угловая скорость прецессии:
. (9)
Из формулы (9) видно, что, угловая скорость прецессии пропорциональна суммарному моменту внешних сил и обратно пропорциональна частоте вращения маховика. Экспериментальная проверка этого факта и составляет цель данной лабораторной работы.
Примечание.
Нетрудно догадаться, что частота прецессии W – это и есть w^. Вектор W = w ^ направлен перпендикулярно оси гироскопа вдоль оси вертикальной подставки S и, как следует из (9), остаётся неизменным до тех пор, пока не изменяется положение противовеса. Теперь от приближённой формулы (8) можно вернуться к точной (5):
. (10)
Из формулы (10) видно, что между вектором момента импульса и осью гироскопа есть некоторый угол, его тангенс с учётом (9) составляет:
. (11)
Из формулы (11) видно, что угол q – во-первых, очень маленький, а во-вторых, с течением времени он не изменяется, так что даже с учётом того, что L и ось гироскопа не параллельны, они всё равно прецессируют с одинаковой скоростью, то есть формула (9) – правильная.
