Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


III. ћетодика измерений и расчетные формулы




√ироскоп Ц это быстро вращающеес€ твЄрдое тело, ось вращени€ которого не фиксирована, а может свободно измен€ть своЄ направление в пространстве, то есть поворачиватьс€. ќдна из точек оси вращени€ обычно закреплена. Ёту точку называют точкой опоры гироскопа. √лавна€ особенность гироскопа состоит в том, что дл€ поворота его оси вращени€ требуетс€ очень большое внешнее воздействие. »ными словами, направление заданной изначально оси вращени€ гироскопа обладает высокой устойчивостью.

Ќаибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы. ќни обладают геометрической осью симметрии, и их привод€т во вращение именно вокруг этой оси.

“еори€ гироскопов основана на уравнении моментов. ≈го ещЄ называют основным законом динамики вращательного движени€. Ётот закон состоит в том, что моменты внешних сил M i, действующие на механическую систему, привод€т к изменению момента импульса системы L. ѕри этом скорость изменени€ момента импульса равна суммарному моменту внешних сил:

. (1)

ћомент импульса системы L Ц это по определению сумма моментов импульсов L k материальных точек, образующих систему, а момент импульса материальной точки L k Ц это векторное произведение радиус-вектора точки r k на еЄ импульс p k.

. (2)

≈сли твЄрдое тело вращаетс€ вокруг неподвижной (фиксированной) оси с угловой скоростью w, то оказываетс€, что его момент импульса L параллелен вектору w и, более того, св€зан с ним формулой

, (3)

где J Ц момент инерции тела относительно оси вращени€. ѕри этом оба вектора L и w направлены вдоль оси вращени€. ќсь вращени€ гироскопа не фиксирована, поэтому св€зь между L и w немного ина€. ¬ы€сним еЄ (без доказательства).  ак известно, вс€кий вектор можно представить в виде суммы двух взаимно перпендикул€рных векторов (разложить на составл€ющие). ¬ектор w можно разложить на следующие составл€ющие: w 0, направленную вдоль оси симметрии, и w ^, направленную перпендикул€рно оси симметрии:

. (4)

ѕри этом:

, (5)

где J 0 Ц момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, J ^ Ц момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикул€рной оси симметрии. “ак как J 0 и J ^обычно не равны друг другу, то в общем случае L, w и ось вращени€ направлены по-разному.  ак отмечалось выше, гироскоп первоначально раскручивают вокруг его оси симметрии, и в начальном состо€нии:

. (6)

¬ начальном состо€нии L, w и ось вращени€ направлены одинаково. ќднако с течением времени эта параллельность может нарушитьс€, так как согласно уравнению моментов (1) моменты внешних сил измен€ют момент импульса гироскопа, что, в свою очередь, приводит к изменению угловой скорости. ¬ чЄм состоит это изменение и нарушаетс€ ли при этом параллельность между L, w и осью вращени€, зависит от конкретного устройства гироскопа и от сил, создающих моменты.

–ассмотрим гироскоп, состо€щий из лЄгкого стержн€, на котором надеты диск-маховик M, масса которого много больше массы стержн€, и цилиндрический противовес – (рисунок 18). ћаховик соединЄн со стержнем с помощью подшипника, поэтому он может вращатьс€ вокруг стержн€. ѕротивовес вокруг стержн€ не вращаетс€, но его можно перемещать вдоль стержн€ и закрепл€ть в любой точке O2. ¬ точкеO1 стержень гироскопа шарнирно закреплен с вертикальной подставкой S, так что O1 €вл€етс€ точкой опоры гироскопа. ќсь Os Ц это ось симметрии гироскопа.

–исунок 18 Ц ”стройство гироскопа
–ассмотрим поведение гироскопа. ¬о-первых, так как маховик вращаетс€, он обладает моментом импульса L Ц см. рисунок 19. ¬о-вторых, на маховик массой m и противовес массой m 2 действуют силы т€жести m 1 g и m 2 g (величина силы т€жести, действующей на стержень, много меньше m 1 g и m 2 g, поэтому еЄ можно не учитывать).

Ћинии, вдоль которых действуют силы m 1 g и m 2 g, не проход€т через ось вращени€ O1, поэтому возникают два момента сил:

M 1 = m 1 gℓ 1,

M 2 = m 2 gℓ 2.

–исунок 19 Ц —илы и моменты в гироскопе
ћомент M 1 вызывает вращение гироскопа против часовой стрелки и направлен к наблюдателю (показано точкой), момент M 2 вызывает вращение по часовой стрелке и направлен от наблюдател€ (показано крестиком), т.е. векторы M 1 и M 2 антипараллельны.

≈сли противовес установлен так, что модули этих векторов одинаковы, то есть m 2 2 = m 1 1, то ћ 2 = Ц ћ 1 и суммарный момент сил, действующих на гироскоп, равен нулю. ѕри этом ось гироскопа будет сохран€ть горизонтальное положение независимо от того, вращаетс€ маховик или нет. ≈сли m 2 2m 1 1, то поведение гироскопа зависит от того, вращаетс€ маховик или нет. ¬ случае, когда маховик не вращаетс€, гироскоп под действием момента сил M 1 + M 2 будет вести себ€ привычно: он будет наклон€тьс€ влево или вправо (в плоскости рисунка 19) в зависимости от того, какой из моментов сил больше. ≈сли же маховик вращаетс€, то движение гироскопа необычно: его ось будет сохран€ть горизонтальное положение, а гироскоп в целом будет поворачиватьс€ в горизонтальной плоскости (в плоскости, перпендикул€рной плоскости рисунка 19). Ёто вращение называетс€ вынужденной прецессией. ¬ы€сним причину этого €влени€ и определим, от чего и как зависит частота прецессии.

Ќа рисунке 20 показан вид на гироскоп сверху. „тобы не загромождать рисунок, маховик показан в виде точки. Ѕудем дл€ определЄнности считать, что m 2 2 > m 1 1, так что суммарный момент сил на рисунке 19 направлен от наблюдател€, а на рисунке 20 Ц вверх.

–исунок 20 Ц ¬ынужденна€ прецесси€ гироскопа

ѕусть в начальный момент времени (в момент установки и закреплени€ противовеса) маховик вращаетс€ с угловой скоростью w (0). ѕри этом он (и весь гироскоп в целом) обладает моментом импульса L (0).—огласно (6), L (0) = J 0 ω (0) и начальный момент импульса направлен так же, как и углова€ скорость, то есть вдоль оси гироскопа. »з уравнени€ моментов следует, что за малое врем€ dt момент силы M изменит момент импульса гироскопа на d L = M dt. “ак как M ^ L (0),то и d L ^ L (0). ѕоэтому вектор L по величине не измен€етс€, а только поворачиваетс€ на малый угол dj. »з (5) следует, что

. (7)

ѕоскольку ω (0) = 0, то d ω = ω (dt). ѕо определению, вектор w ^ перпендикул€рен оси гироскопа, поэтому в (7) два вектора d w ^и d L имеют одно и то же направление. —ледовательно, такое же направление имеет и вектор d w 0. Ёто значит, что d w 0^ w 0, то есть вектор w 0 не измен€етс€ по величине, а только поворачиваетс€ Ц так же, как и вектор момента импульса L.

»так, во-первых, скорость вращени€ гироскопа вокруг его оси w0 сохран€етс€ неизменной. ¬о-вторых, по определению, вектор w 0 направлен вдоль оси вращени€, поэтому поворот вектора w 0 означает поворот оси гироскопа

»з (5) следует, что с течением времени у вектора L по€вл€етс€ составл€юща€, перпендикул€рна€ оси вращени€, однако по модулю эта составл€юща€ невелика, так что J ω << J 0ω0. ѕоэтому можно в первом приближении отбросить в (5) второе слагаемое и утверждать, что не только в начальный, но и в любой момент времени

. (8)

Ёто означает, что векторы L и w 0 и ось вращени€ параллельны не только в начальный момент, но и остаютс€ параллельными через врем€ dt, повернувшись все вместе на угол d j. «а следующий промежуток времени происходит то же самое. » так далее, то есть векторы L и w 0 и ось вращени€ посто€нно все вместе вращаютс€ в горизонтальной плоскости, а это и есть прецесси€.

ќпределим теперь скорость прецессии. ƒл€ этого достаточно определить скорость вращени€ вектора L. »з рисунка 20 следует:

.

ќтсюда углова€ скорость прецессии:

. (9)

»з формулы (9) видно, что, углова€ скорость прецессии пропорциональна суммарному моменту внешних сил и обратно пропорциональна частоте вращени€ маховика. Ёкспериментальна€ проверка этого факта и составл€ет цель данной лабораторной работы.

ѕримечание.

Ќетрудно догадатьс€, что частота прецессии W Ц это и есть w^. ¬ектор W = w ^ направлен перпендикул€рно оси гироскопа вдоль оси вертикальной подставки S и, как следует из (9), остаЄтс€ неизменным до тех пор, пока не измен€етс€ положение противовеса. “еперь от приближЄнной формулы (8) можно вернутьс€ к точной (5):

. (10)

»з формулы (10) видно, что между вектором момента импульса и осью гироскопа есть некоторый угол, его тангенс с учЄтом (9) составл€ет:

. (11)

»з формулы (11) видно, что угол q Ц во-первых, очень маленький, а во-вторых, с течением времени он не измен€етс€, так что даже с учЄтом того, что L и ось гироскопа не параллельны, они всЄ равно прецессируют с одинаковой скоростью, то есть формула (9) Ц правильна€.

 





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 1021 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

ƒва самых важных дн€ в твоей жизни: день, когда ты по€вилс€ на свет, и день, когда пон€л, зачем. © ћарк “вен
==> читать все изречени€...

1318 - | 1218 -


© 2015-2024 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.013 с.