III. Методика измерений и расчетные формулы

Гироскоп – это быстро вращающееся твёрдое тело, ось вращения которого не фиксирована, а может свободно изменять своё направление в пространстве, то есть поворачиваться. Одна из точек оси вращения обычно закреплена. Эту точку называют точкой опоры гироскопа. Главная особенность гироскопа состоит в том, что для поворота его оси вращения требуется очень большое внешнее воздействие. Иными словами, направление заданной изначально оси вращения гироскопа обладает высокой устойчивостью.

Наибольшее значение в науке и технике имеют симметричные гироскопы. Они обладают геометрической осью симметрии, и их приводят во вращение именно вокруг этой оси.

Теория гироскопов основана на уравнении моментов. Его ещё называют основным законом динамики вращательного движения. Этот закон состоит в том, что моменты внешних сил M _i, действующие на механическую систему, приводят к изменению момента импульса системы L. При этом скорость изменения момента импульса равна суммарному моменту внешних сил:

. (1)

Момент импульса системы L – это по определению сумма моментов импульсов L _k материальных точек, образующих систему, а момент импульса материальной точки L _k – это векторное произведение радиус-вектора точки r _k на её импульс p _k.

. (2)

Если твёрдое тело вращается вокруг неподвижной (фиксированной) оси с угловой скоростью w, то оказывается, что его момент импульса L параллелен вектору w и, более того, связан с ним формулой

, (3)

где J – момент инерции тела относительно оси вращения. При этом оба вектора L и w направлены вдоль оси вращения. Ось вращения гироскопа не фиксирована, поэтому связь между L и w немного иная. Выясним её (без доказательства). Как известно, всякий вектор можно представить в виде суммы двух взаимно перпендикулярных векторов (разложить на составляющие). Вектор w можно разложить на следующие составляющие: w _0, направленную вдоль оси симметрии, и w _^, направленную перпендикулярно оси симметрии:

. (4)

При этом:

, (5)

где J ₀ – момент инерции гироскопа относительно его оси симметрии, J _^ – момент инерции гироскопа относительно оси, перпендикулярной оси симметрии. Так как J ₀ и J _^обычно не равны друг другу, то в общем случае L, w и ось вращения направлены по-разному. Как отмечалось выше, гироскоп первоначально раскручивают вокруг его оси симметрии, и в начальном состоянии:

. (6)

В начальном состоянии L, w и ось вращения направлены одинаково. Однако с течением времени эта параллельность может нарушиться, так как согласно уравнению моментов (1) моменты внешних сил изменяют момент импульса гироскопа, что, в свою очередь, приводит к изменению угловой скорости. В чём состоит это изменение и нарушается ли при этом параллельность между L, w и осью вращения, зависит от конкретного устройства гироскопа и от сил, создающих моменты.

Рассмотрим гироскоп, состоящий из лёгкого стержня, на котором надеты диск-маховик M, масса которого много больше массы стержня, и цилиндрический противовес Р (рисунок 18). Маховик соединён со стержнем с помощью подшипника, поэтому он может вращаться вокруг стержня. Противовес вокруг стержня не вращается, но его можно перемещать вдоль стержня и закреплять в любой точке O₂. В точкеO₁ стержень гироскопа шарнирно закреплен с вертикальной подставкой S, так что O₁ является точкой опоры гироскопа. Ось O_s – это ось симметрии гироскопа.

Рисунок 18 – Устройство гироскопа

Рассмотрим поведение гироскопа. Во-первых, так как маховик вращается, он обладает моментом импульса L – см. рисунок 19. Во-вторых, на маховик массой m _ и противовес массой m ₂ действуют силы тяжести m ₁ g и m ₂ g (величина силы тяжести, действующей на стержень, много меньше m ₁ g и m ₂ g, поэтому её можно не учитывать).

Линии, вдоль которых действуют силы m ₁ g и m ₂ g, не проходят через ось вращения O₁, поэтому возникают два момента сил:

M ₁ = m ₁ gℓ ₁,

M ₂ = m ₂ gℓ ₂.

Рисунок 19 – Силы и моменты в гироскопе

Момент M ₁ вызывает вращение гироскопа против часовой стрелки и направлен к наблюдателю (показано точкой), момент M ₂ вызывает вращение по часовой стрелке и направлен от наблюдателя (показано крестиком), т.е. векторы M ₁ и M ₂ антипараллельны.

Если противовес установлен так, что модули этих векторов одинаковы, то есть m ₂ ℓ ₂ = m ₁ ℓ ₁, то М ₂ = – М ₁ и суммарный момент сил, действующих на гироскоп, равен нулю. При этом ось гироскопа будет сохранять горизонтальное положение независимо от того, вращается маховик или нет. Если m ₂ ℓ ₂ ≠ m ₁ ℓ ₁, то поведение гироскопа зависит от того, вращается маховик или нет. В случае, когда маховик не вращается, гироскоп под действием момента сил M ₁ + M ₂ будет вести себя привычно: он будет наклоняться влево или вправо (в плоскости рисунка 19) в зависимости от того, какой из моментов сил больше. Если же маховик вращается, то движение гироскопа необычно: его ось будет сохранять горизонтальное положение, а гироскоп в целом будет поворачиваться в горизонтальной плоскости (в плоскости, перпендикулярной плоскости рисунка 19). Это вращение называется вынужденной прецессией. Выясним причину этого явления и определим, от чего и как зависит частота прецессии.

На рисунке 20 показан вид на гироскоп сверху. Чтобы не загромождать рисунок, маховик показан в виде точки. Будем для определённости считать, что m ₂ ℓ ₂ > m ₁ ℓ ₁, так что суммарный момент сил на рисунке 19 направлен от наблюдателя, а на рисунке 20 – вверх.

Рисунок 20 – Вынужденная прецессия гироскопа

Пусть в начальный момент времени (в момент установки и закрепления противовеса) маховик вращается с угловой скоростью w (0). При этом он (и весь гироскоп в целом) обладает моментом импульса L (0).Согласно (6), L (0) = J ₀ ω (0) и начальный момент импульса направлен так же, как и угловая скорость, то есть вдоль оси гироскопа. Из уравнения моментов следует, что за малое время dt момент силы M изменит момент импульса гироскопа на d L = M dt. Так как M ^ L (0),то и d L ^ L (0). Поэтому вектор L по величине не изменяется, а только поворачивается на малый угол dj. Из (5) следует, что

. (7)

Поскольку ω _⊥(0) = 0, то d ω _⊥ = ω _⊥(dt). По определению, вектор w _^ перпендикулярен оси гироскопа, поэтому в (7) два вектора d w _^и d L имеют одно и то же направление. Следовательно, такое же направление имеет и вектор d w ₀. Это значит, что d w ₀^ w ₀, то есть вектор w ₀ не изменяется по величине, а только поворачивается – так же, как и вектор момента импульса L.

Итак, во-первых, скорость вращения гироскопа вокруг его оси w₀ сохраняется неизменной. Во-вторых, по определению, вектор w ₀ направлен вдоль оси вращения, поэтому поворот вектора w ₀ означает поворот оси гироскопа

Из (5) следует, что с течением времени у вектора L появляется составляющая, перпендикулярная оси вращения, однако по модулю эта составляющая невелика, так что J _⊥ω_⊥ << J ₀ω₀. Поэтому можно в первом приближении отбросить в (5) второе слагаемое и утверждать, что не только в начальный, но и в любой момент времени

. (8)

Это означает, что векторы L и w ₀ и ось вращения параллельны не только в начальный момент, но и остаются параллельными через время dt, повернувшись все вместе на угол d j. За следующий промежуток времени происходит то же самое. И так далее, то есть векторы L и w ₀ и ось вращения постоянно все вместе вращаются в горизонтальной плоскости, а это и есть прецессия.

Определим теперь скорость прецессии. Для этого достаточно определить скорость вращения вектора L. Из рисунка 20 следует:

.

Отсюда угловая скорость прецессии:

. (9)

Из формулы (9) видно, что, угловая скорость прецессии пропорциональна суммарному моменту внешних сил и обратно пропорциональна частоте вращения маховика. Экспериментальная проверка этого факта и составляет цель данной лабораторной работы.

Примечание.

Нетрудно догадаться, что частота прецессии W – это и есть w_^. Вектор W = w _^ направлен перпендикулярно оси гироскопа вдоль оси вертикальной подставки S и, как следует из (9), остаётся неизменным до тех пор, пока не изменяется положение противовеса. Теперь от приближённой формулы (8) можно вернуться к точной (5):

. (10)

Из формулы (10) видно, что между вектором момента импульса и осью гироскопа есть некоторый угол, его тангенс с учётом (9) составляет:

. (11)

Из формулы (11) видно, что угол q – во-первых, очень маленький, а во-вторых, с течением времени он не изменяется, так что даже с учётом того, что L и ось гироскопа не параллельны, они всё равно прецессируют с одинаковой скоростью, то есть формула (9) – правильная.