Изображение декартова произведения двух числовых множеств на координатной плоскости

 

Когда множества A и B конечны и содержат небольшое число элементов, найти их декартово произведение несложно. А если множества бесконечны? В математике нашли выход из этой ситуации. Наглядное изображение декартова произведения двух числовых множеств можно получить при помощи координатной плоскости. Прямоугольная система координат позволяет каждой точке плоскости поставить в соответствие единственную пару действительных чисел – координаты этой точки. Понятие координат точек на прямой и на плоскости было впервые введено в геометрию французским ученым и философом Рене Декартом в XVII веке. Это событие явилось началом новой эры в математике – эры рождения и развития понятий функции и геометрического преобразования. По имени Рене Декарта прямоугольные координаты на плоскости называют еще декартовыми.

Но как связано с именем Декарта, жившего в XVII веке, понятие декартова произведения множеств, введенное в математику в конце XIXвека? Чтобы ответить на этот вопрос, выясним сначала, как используют прямоугольную систему координат для наглядного представления декартова произведения двух числовых множеств.

 

Пусть А и В – числовые множества. Тогда элементами декартова произведения этих множеств будут упорядоченные пары чисел. Изобразив каждую пару чисел точкой на координатной плоскости, получим фигуру, которая и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В.

Изобразим на координатной плоскости декартово произведение множеств А и В, если:

1) А = {1, 2, 3}, B = {3, 5};

2) A = {1, 2, 3}, B = [3, 5];

3) A = [1, 3], B = [3, 5];

4) A = R, B = [3, 5];

5) A = R, B = R.

 

В случае 1 данные множества конечны и содержат небольшое число элементов, поэтому можно перечислить все элементы их декартова произведения: А × В = {(1; 3), (1; 5), (2; 3), (2; 5), (3; 3), (3; 5)}.

Построим оси координат и на оси Ox отметим элементы множества А, а на оси - элементы множества В. Затем изобразим каждую пару чисел из множества А × В точкой на координатной плоскости. Полученная фигура из шести точек и будет наглядно представлять декартово произведение множеств А и В (рис. 1).

В случае 2 перечислить все элементы декартова произведения множеств невозможно, поскольку множество В бесконечное. Но можно представить процесс образования этого декартова произведения: в каждой паре первая компонента либо 1, либо 2, либо 3, а вторая компонента – действительное число из промежутка [3; 5]. Все пары, первая компонента которых есть число 1, а вторая пробегает значения от 3 до 5 включительно, изображаются точками первого отрезка. Аналогично строятся два других отрезка (рис. 2).

 

 

 

Случай 3 отличается от рассмотренного случая 2 тем, что здесь бесконечно не только множество В, но и множество А. Это приводит к тому, что первой компонентой пары, принадлежащей множеству А × В, могут быть не только концы промежутка [1; 3], но и любое число этого промежутка. Поэтому точки, изображающие элементы декартова произведения множеств А и В, образуют квадрат (рис. 3). Чтобы подчеркнуть, что элементы декартова произведения изображаются точками квадрата, его можно заштриховать.

Случай 4 отличается от предыдущего тоем, что множество А состоит из всех действительных чисел, т.е. абсцисса точек, изображающих элементы множества А × В, пробегает все действительные значения, в то время как ордината выбирается из промежутка [3; 5]. Множество таких точек образует полосу (рис. 4).

Декартово произведение R×R (случай 5) состоит из всевозможных пар действительных чисел. Точки, изображающие эти пары, сплошь заполняют координатную плоскость. Таким образом, декартово произведение R×R содержит столько же элементов, сколько множество точек координатной плоскости.

Рассмотренные примеры показывают, что название «декартово произведение множеств» не случайно: в нем отражена тесная связь между множеством упорядоченных пар чисел и его представлением в декартовой прямоугольной системе координат.

 

ПОНЯТИЕ ОТНОШЕНИЯ

 

В математике изучают не только сами объекты (числа, фигуры, величины), но и связи, отношения между ними. Так, усвоение понятия натурального числа происходит благодаря изучению различных взаимосвязей между числами. Например, выясняется, что:

число 5 больше числа 2;

число 10 больше числа 8 на 2;

число 7 следует за числом 6, т.е. числа связаны различными отношениями: «больше», «больше на», «следует за» и другими.

В геометрии изучают параллельност ь и перпендикулярность прямых, равенство и подобие фигур, т.е. различные отношения между геометрическими объектами.

Сравнивая множества, мы говорим, что они пересекаются, или равны, или одно включено в другое, т.е. устанавливаем отношения между множествами.

В математике чаще всего рассматривают отношения между двумя объектами. Их называют бинарными.

Перед нами стоит задача: имея представление о конкретных отношениях между числами, геометрическими фигурами, множествами и другими объектами, установить, что общего у этих отношений, каким образом можно классифицировать такое огромное число самых разнообразных отношений. Знание этого материала нужно, чтобы изучая конкретные отношения, понимать их общность, взаимосвязи, роль в усвоении тех или иных понятий.

Рассмотрим множество чисел X = {3, 4, 5, 6, 8}. Между числами этого множества существует отношение «больше»: 4>3, 5>3, 6>3, 8>3, 5>4, 6>4, 6>5, 8>5, 8>6.

Можно рассмотреть для данных чисел и отношение «больше на 1»: «4 больше 3 на 1», «5 больше 4 на 1», «6 больше 5 на 1».

Числа данного множества связаны также отношением «меньше в 2 раза»: «3 меньше 6 в два раза», «4 меньше 8 в два раза».

Можно указать и другие отношения между числами 3, 4, 5, 6, 8.

Обратим внимание на следующее: рассматривая то или иное отношение, мы каждый раз оперировали упорядоченными парами, образованными из чисел данного множества. Для отношения «больше» было множество {(4, 3), (5, 3), (6, 3), (8, 3), (5, 4), (6, 4), (8, 4), (6, 5), (8, 5), (8, 6)}; для отношения «больше на 1» - {(4, 3), (5, 4), (6, 5)}, а для отношения «меньше в два раза» - множество, содержащее две пары: {(3, 6), (4, 8)}. Таким образом, можно сказать, что каждое из рассматриваемых отношений определяется множеством пар чисел, образованных из элементов множества X = {3, 4, 5, 6, 8}.

Известно, что упорядоченные пары - это элементы декартова произведения множеств или его подмножеств. Те множества пар, которые определяют отношения «больше», «больше на 1» и меньше в два раза», являются подмножествами декартова произведения X × X = {(3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (3, 8), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (4, 8), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (5, 8), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6), (6, 8), (8, 3), (8, 4), (8, 5), (8, 6), (8, 8)}.

Итак, каждое из рассматриваемых отношений определяется множеством пар, которое в свою очередь является подмножеством декартова произведения X × X. Само это множество пар называют отношением между элементами множества Х.

Определение. Отношением между элементами множества Х или отношением на множестве Х называется всякое подмножество декартова произведения X × X.

Отношения обозначают прописными буквами латинского алфавита: P, Q, R, S и др. Следовательно, если R - отношение между элементами множества Х, то R X × X.

Отношения на конечном множестве Х можно представлять наглядно при помощи особых чертежей, состоящих из точек, соединенных стрелками. Такие чертежи называют графами.

Построим граф отношения «больше» между элементами множества X = {2, 4, 6, 8, 12} Для этого элементы данного множества изобразим точками и соединим стрелками те точки, которые изображают числа, находящиеся в отношении «больше». Поскольку 4>2, то проводим стрелку от 4 к 2; так как 6>4, то проводим стрелку от 6 к 4 и т.д., пока не переберем все пары чисел, связанных заданным отношением.

 

 

В результате получаем граф отношения «больше» для элементов множества X = {2, 4, 6, 8, 12}.

 

Рассмотрим теперь на том же множестве X = {2, 4, 6, 8, 12} отношение «кратно» и построим его граф.

Аналогично изобразим элементы множества Х точками и соединим стрелками те, которые изображают числа, находящиеся в отношении «кратно»: 12 кратно2, 12 кратно 4, 12 кратно 6 и т.д. Так как любое число из множества Х кратно самому себе, то граф данного отношения будет иметь стрелки, начало и конец которых совпадут. Такие стрелки на графе называют петлями.

 

 

СПОСОБЫ ЗАДАНИЯ ОТНОШЕНИЙ

 

 

По определению отношение R между элементами множества Х есть всякое подмножество декартова произведения X × X, т.е. множество, элементами которого являются упорядоченные пары. Поэтому способы задания отношений такие же, как и способы задания множеств.

 

1.Отношение R на множестве Х можно задать, перечислив все пары элементов, взятых из множества Х и связанных этим отношением.

Формы записи при этом могут быть различными.

Например, некоторое отношение R на множестве X = {4, 5, 6, 7, 9} можно задать, записав множество пар: {(5, 4), (6, 4), (6, 5), (7, 4), (7, 5), (7, 6), (9, 4), (9, 5), (9, 6), (9, 7)}. Это же отношение можно задать при помощи графа.

 

2. Чаще отношение R на множестве Х задают, указав характеристическое свойство всех пар элементов, находящихся в отношении R. Это свойство формулируется в виде предложения с двумя переменными, хотя обозначения переменных иногда опускаются.

Например, среди отношений на множестве N натуральных чисел могут быть такие: «число х больше у»; «число х – делитель числа у», «число х меньше числа у в 3 раза» и другие.

В математике многие предложения с двумя переменными записывают, используя символы. Например, отношение «больше» для чисел может быть задано в виде неравенства x > y, а отношение «число х меньше числа y в 3 раза» - в виде равенства y = 3x.

Для записи отношения параллельности, перпендикулярности прямых, подобия треугольников в геометрии используют особые символы:,, ~

Обобщением приведенных записей является запись xRy, которая означает, что элемент x находится в отношении R с элементом y.

 

 

СВОЙСТВА ОТНОШЕНИЙ

 

 

Рассмотрим на множестве отрезков {a, b, c, d, e} отношения параллельности (при этом прямые будем считать параллельными, если они лежат в одной плоскости, не имеют общих точек или совпадают), перпендикулярности, равенства и «длиннее». После построения графов этих отношений выясним их особенности.

I. Графы отношений параллельности и равенства имеют петли, которые говорят о том, что, какой бы отрезок из множества Х мы ни взяли, о нем можно сказать, что он параллелен самому себе или что он равен самому себе.

Про отношения параллельности и равенства говорят, что они обладают свойством рефлексивности или, просто, что они рефлексивны.

Определение. Отношение R на множестве Х называется рефлексивным, если о любом элементе множества Х можно сказать, что он находится в отношении R с самим собой.

Данное определение можно записать короче:

R рефлексивно на Х ↔ xRx для любого х Х

Если отношение R рефлексивно, то в каждой вершине графа имеется петля. Справедливо и обратное: граф, каждая вершина которого содержит петлю, представляет собой граф некоторого рефлексивного отношения.

Существуют отношения, которые свойством рефлексивности не обладают. Таким, например, является отношение перпендикулярности: нет ни одного отрезка, о котором можно сказать, что он перпендикулярен самому себе.

II.Особенность графов отношений параллельности, перпендикулярности и равенства заключается в том, что если есть одна стрелка, соединяющая пару элементов, то обязательно есть и другая, соединяющая те же элементы, но идущая в противоположном направлении. Эти стрелки говорят о том, что: 1) если первый отрезок параллелен второму отрезку, то и второй отрезок параллелен первому; 2) если первый отрезок перпендикулярен второму, то и второй отрезок перпендикулярен первому; 3) если первый отрезок равен второму отрезку, то и второй отрезок равен первому.

Про отношения параллельности, перпендикулярности и равенства говорят, что они обладают свойством симметричности или, просто, симметричны.

Определение. Отношение R на множестве Х называется симметричным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что и элемент у находится в отношении R с элементом х.

Короче: R симметрично на X ↔ xRy → yRx

Граф симметричного отношения обладает особенностью: вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, граф содержит и стрелку, идущую от у к х. Справедливо и обратное утверждение: граф, содержащий вместе с каждой стрелкой, идущей от х к у, и стрелку, идущую от у к х, является графом симметричного отношения.

III. Существуют отношения, которые свойством симметричности не обладают. Таким, например, является отношение «длиннее» для отрезков.

Рассмотрим граф этого отношения. Его особенностью является то, что если стрелка соединяет две вершины, то она только одна. Про отношение «длиннее» говорят, что оно обладает свойством антисимметричности или, просто, антисимметрично.

Определение. Отношение R на множестве Х называется антисимметричным, если для различных элементов х и у из множества Х из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у, следует, что элемент у в отношении R с элементом х не находится. ____

Короче: R антисимметрично на X ↔ xRy и x ≠ y → yRx

Граф антисимметричного отношения обладает особенностью: если две вершины графа соединены стрелкой, то эта стрелка только одна. Справедливо и обратное утверждение: граф, вершины которого соединены только одной стрелкой, является графом антисимметричного отношения.

Не следует думать, что все отношения делятся на симметричные и антисимметричные. Встречаются отношения, которые не обладают ни свойством симметричности, ни свойством антисимметричности.

IV. Обратим внимание еще на одну особенность графов отношений параллельности, равенства и «длиннее»: если стрелка идет от первого элемента ко второму и от второго – к третьему, то обязательно есть стрелка, идущая от первого элемента к третьему. Эта особенность графов отражает свойство данных отношений, называемое свойством транзитивности.

Определение. Отношение R на множестве Х называется транзитивным, если из того, что элемент х находится в отношении R с элементом у и элемент у находится в отношении R с элементом z, следует, что элемент х находится в отношении R с элементом z.

Короче: R транзитивно на X ↔ xRy и yRz → xRz

Граф транзитивного отношения с каждой парой стрелок, идущих от х к у и от у к z, содержит и стрелку, идущую от х к z. Справедливо и обратное утверждение.

Существуют отношения, которые свойством транзитивности не обладают., например, отношение перпендикулярности отрезков.

 

V. Рассмотрим еще одно отношение.

На множестве дробей { ½; 1/3; ¼; 2/4; 2/6; 3/6} задано отношение равенства.

Какими свойствами обладает данное отношение?

1) Оно рефлексивно, так как любая дробь равна сама себе.

2) Оно симметрично, так как из того, что дробь х равна дроби у следует, что и дробь у равна дроби х.

3) Оно транзитивно, так как из того, что дробь х равна дроби у и дробь у равна дроби z, следует, что дробь х равна дроби z.

Таким образом, отношение равенства дробей рефлексивно, симметрично и транзитивно. Говорят, что оно является отношением эквивалентности.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением эквивалентности, если оно рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Отношениями эквивалентности являются, например, отношение параллельности прямых, отношение равенства фигур.

Если внимательно посмотреть на графы отношения равенства дробей, отношения параллельности и равенства отрезков, то можно заметить, что они отличаются от графов других отношений тем, что на них видно, как множество, на котором задано отношение, разбивается на несколько подмножеств. Так, на графе отношения равенства дробей выделяются три подмножества: {1/2, 2/4, 3/6}, {1/3, 2/6}, {1/4}. Эти подмножества не пересекаются, а их объединение совпадает с множеством Х, т.е. имеем разбиение множества Х на попарно непересекающиеся подмножества. Аналогичную картину имеем для отношений параллельности и равенства отрезков.

Вообще, если на множестве Х задано отношение эквивалентности, то оно разбивает это множество на попарно непересекающиеся подмножества – классы эквивалентности.

Верно и обратное утверждение: если какое-либо отношение, заданное на множестве Х, определило разбиение этого множества на классы, то это отношение эквивалентности.

Если отношение эквивалентности имеет название, то соответствующее название дается и классам. Например, если на множестве отрезков задать отношение равенства, то множество отрезков разобьется на классы равных отрезков. Множество треугольников отношением подобия разобьется на классы подобных треугольников.

Рассмотрим, например, на множестве Х = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3». Оно порождает разбиение множества Х на классы: в один попадут все числа, при делении которых на 3 получается в остатке 0 (это числа 3, 6, 9), во второй – числа, при делении которых на 3 в остатке получается 1 (это числа 1, 4, 7, 10), и в третий – все числа, при делении которых на 3 в остатке получается 2 (это числа 2, 5, 8). Действительно, полученные подмножества не пересекаются и их объединение совпадает с множеством Х. Следовательно, отношение «иметь один и тот же остаток при делении на 3», заданное на множестве Х, является отношением эквивалентности.

Итак, имея отношение эквивалентности на некотором множестве, мы можем разбить это множество на классы. Но можно поступить и наоборот: сначала разбить множество на классы, а затем определить отношение эквивалентности, считая, что два элемента эквивалентны тогда, когда они принадлежат одному классу рассматриваемого разбиения.

В чем важность такого разбиения на классы? В каждом классе эквивалентности оказываются эквивалентные элементы, т.е. элементы, неразличимые с точки зрения некоторого отношения. Поэтому считают, что класс эквивалентности (множество) определяется любым (одним) своим представителем, т.е. произвольным элементом этого класса. Так, любой класс равных дробей можно задать, указав любую дробь, принадлежащую этому классу.

Определение класса эквивалентности по одному представителю позволяет вместо всех элементов множества изучать совокупность отдельных представителей из классов эквивалентности.

 

VI. Рассмотрим еще одно отношение – отношение порядка.

Слово «порядок» мы употребляем часто как в обыденной жизни, так и на занятиях по математике. Мы говорим о порядке поступления на работу, о порядке слов в предложении; на уроках математики обсуждаем порядок выполнения действий, порядок записи решения уравнения и т.д.

Что же такое порядок? Обратимся к нескольким примерам.

1)Чтобы установить порядок в множестве учащихся класса, достаточно выстроить их по росту. На практике эта процедура сводится к сравнению пар учащихся, т.е. на множестве учащихся рассматривается отношение «быть выше». Это отношение антисимметрично и транзитивно.

2)Множество учащихся класса можно было упорядочить и по возрасту, т.е. задав отношение «быть старше». Это отношение также антисимметрично и транзитивно.

3)Порядок следования букв в русском алфавите обеспечивает отношение «следует», обладающее свойством антисимметричности и транзитивности.

Замеченные свойства отношений, устанавливающих некоторый порядок в множестве, легли в основу определения отношения порядка.

Определение. Отношение R на множестве Х называется отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Множество Х с заданным на нем отношением порядка называется упорядоченным множеством.

 

 

ПОНЯТИЕ СООТВЕТСТВИЯ

Кроме отношений на множестве, часто приходится рассматривать отношения между элементами двух множеств. Такие отношения называют соответствиями.

По своей сути соответствие между элементами двух множеств Х и Y, так же как и отношение на множестве, представляет собой множество пар и является подмножеством декартова произведения множеств X и Y.

Соответствия между конечными множествами наглядно представляются при помощи графов. Построим граф соответствия «больше» между элементами множеств X = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Для этого обозначим элементы данных множеств точками и проведем стрелки от точек, изображающих элементы множества Х, к точкам, изображающим элементы множества Y, при этом должно выполняться соответствие «больше». Так, стрелка должна идти от точки 5 к точке 4, поскольку 5 больше 4; должны быть стрелки, идущие от точки 7 к точкам 4 и 6, и т.д. В результате получаем граф соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y.

 

 

 

Соответствия между элементами числовых множеств Х и Y представляют при помощи графика на координатной плоскости. Для этого изображают все пары чисел, находящихся в соответствии R, точками на координатной плоскости. Получившаяся при этом фигура и будет графиком соответствия R. Обратно: любое подмножество точек координатной плоскости считают графиком некоторого соответствия.

Построим график соответствия «больше» между элементами множеств Х = {3, 5, 7, 9} и Y = {4, 6}. Запишем пары чисел, находящихся в заданном отношении: (5, 4), (7, 4), (7, 6), (9, 4), (9, 6). Изобразив элементы множества Х на оси О х, элементы множества Y на оси O y, а каждую из получившихся пар точкой на координатной плоскости, получим график соответствия «больше» между элементами множеств Х и Y.

 

 

Такое представление соответствия позволяет наглядно изображать их в тех ситуациях, когда в заданном соответствии находится бесконечное множество пар чисел.

Рассмотрим, например, соответствие «больше» между элементами множеств X = R и Y = {4, 6} и построим его график.

В данном случае элементы множества Х сплошь заполняют ось абсцисс, а множество Y состоит из двух элементов: 4 и 6. Так как для элементов множеств Х и Y задано отношение «больше», установим, какие числа из множества Х больше 4.

Все числа, большие 4, располагаются на оси Ох вправо от точки, изображающей число 4. Значит, все точки, для которых абсцисса выбирается из промежутка (4,), а ордината равна 4, образуют луч. Этот луч не имеет начала, поскольку точка (4, 4) графику данного соответствия не принадлежит. Аналогично все точки, для которых абсцисса выбирается из промежутка (6,), а ордината равна 6, также образуют луч.