Когда работа сил поля зависит лишь от начального и конечного положений частицы, каждой точке поля можно сопоставить некоторую функцию U (x,y,z) такую, что разность значений этой функции в точках 1 и 2 будет определять работу сил при переходе частицы из первой точки во вторую: 
Пусть на частицу действуют только консервативные силы. Тогда работа, совершаемая над частицей на пути 1—2, может быть представлена в виде 
. Эта работа идет на приращение кинетической энергии частицы. 
Величина 
для частицы, находящейся в поле консервативных сил, остается постоянной, т. е. является интегралом движения.
Функцию U (x,у,z) называют потенциальной энергией частицы во внешнем поле сил. Величину E- полная механическая энергия частицы. Работа, совершаемая над частицей консервативными силами, равна убыли потенциальной энергии частицы. Зная вид функции U (x,y,z), можно найти силу, действующую на частицу. Рассмотрим перемещение частицы параллельно оси х на dx. При этом совершается работа dA =Fx dx. 
Выражение, стоящее справа, представляет собой производную функции U (x,y,z), вычисленную в предположении, что переменные у и z остаются неизменными – частная производная. 
Консервативная сила равна градиенту потенциальной энергии, взятому с обратным знаком: 
Конкретный вид функции U(x,y,z) зависит от характера силового поля. Найдем в качестве примера потенциальную энергию частицы в поле сил тяжести. 
, 
. Пусть на частицу, кроме консервативных сил, действует также неконсервативная сила 
. Тогда при переходе частицы из точки 1 в точку 2 над ней будет совершаться работа 
Работа неконсервативных сил затрачивается на приращение полной механической энергии частицы.
В системе, состоящей из N не взаимодействующих между собой частиц, находящихся в поле консервативных сил каждая из частиц обладает кинетической энергией Ti = miui2/ 2 и потенциальной энергией Ui = U (xi, yi, zi) 
Полная механическая энергия системы невзаимодействующих частиц, на которые действуют только консервативные силы, остается постоянной. Это закон сохранения энергии.Если на частицы действуют неконсервативные силы, полная энергия системы не остается постоянной. При наличии в системе сил трения полная механическая энергия системы уменьшается, переходя в немеханические формы энергии. Такой процесс называется диссипацией энергии. Силы, приводящие к диссипации энергии, называются диссипативными.
Вопрос № 13
Потенциальная энергия взаимодействия. Работа внутренних сил в системе 2х взаимодействующих частиц. Потенциальная энергия гравитационного взаимодействия. Закон сохранения энергии для системы взаимодействующих частиц.
Пусть системы состоит из двух взаимодействующих друг с другом частиц. Система замкнутая. Допустим, что модуль сил взаимодействия зависит только от расстояния между частицами.
, 
, 
Левая часть - приращение кинетической энергии системы за время dt, правая часть –– работу внутренних сил за то же время.
Скалярное произведение 
равно — приращению расстояния между частицами 
. 
Выражение 
можно рассматривать как приращение некоторой функции от 
. 
dAвнутр=dT = –dU 
Величина E = T + U для рассматриваемой замкнутой системы сохраняется. Функция U (R 12) представляет собой потенциальную энергию взаимодействия. Она зависит от расстояния между частицами. Работа сил не зависит от путей, по которым перемещались частицы, и определяется лишь начальным и конечным расстояниями между частицами. Силы взаимодействия являются консервативными. Закон сохранения энергии: Полная механическая энергия замкнутой системы тел, между которыми действуют только консервативные силы, остается постоянной. 
Если в замкнутой системе действуют неконсервативные силы, то полная механическая энергия системы не сохраняется. 
Если система незамкнута, то полная механическая энергия системы тел, на которые действуют, лишь консервативные силы, остается постоянной — закон сохранения энергии для незамкнутой системы. 
Найдем вид функции Uвз в том случае, когда сила взаимодействия обратно пропорциональна квадрату расстояния между частицами: 
. В случае притяжения между частицами a > 0, а в случае отталкивания частиц друг от друга a < 0. 
Потенциальная энергия взаимодействия определяется с точностью до произвольной постоянной. Обычно полагают, что при 
потенциальная энергия обращается в нуль. 
Сила гравитационного притяжения: 
Вопрос № 14
