Комплексные числа
Блок №1
Определение комплексного числа. Алгебраическая форма комплексного числа.
Комплексными числами называются упорядоченные пары 
действительных чисел 
и 
, для которых введены понятия равенства и операции сложения и умножения:
если 
,
.
Комплексные числа вида 
отождествляются с действительными числами 
. Особую роль играет число 
, которое называется мнимой единицей. Заметим, что 
.
Каждое комплексное число 
можно представить в виде 
. Такая запись комплексного числа называется алгебраической формой комплексного числа. Число 
называется действительной частью, а 
– мнимой частью комплексного числа 
. Для них приняты следующие обозначения: 
. Комплексное число 
называется сопряженным с комплексным числом .
Вычитание и деление комплексных чисел являются действиями, обратными соответственно сложению и умножению:
Геометрическое изображение чисел
Комплексное число как упорядоченная пара вещественных чисел определяет точку 
на плоскости или вектор 
. Плоскость, на которой изображаются комплексные числа, называется комплексной плоскостью. Положение точки на комплексной плоскости однозначно определяется не только декартовыми координатами 
, но и полярными координатами 
, где 
– длина вектора , а 
– угол между действительной осью и вектором , отсчитываемый от положительного направления действительной оси. При этом, если отсчет ведется против часовой стрелки, то величина угла считается положительной, а если по часовой стрелке – отрицательной. Полярные и декартовы координаты связаны соотношениями 
Операциям сложения и вычитания комплексных чисел можно поставить в соответствие операции над векторами:
Геометрический смысл разности двух комплексных чисел – это расстояние между точками 
и 
: 
.
Задачи
Рассмотрим в аудитории типичные примеры, для решения которых используются приведенные определения, теоремы и понятия:
1. Найти 
и 
, если
а) 
б) 
Решение. а) Перемножая почленно и учитывая, что 
получим:
Ответ. 
б) Умножим числитель и знаменатель на число, сопряженное знаменателю:
Ответ. 
2. Найти 
и записать комплексное число 
если
Решение. Выполнив операции над комплексными числами и используя условие
равенства двух комплексных чисел, получим:
Решаем систему: 
Ответ. 
3. Вычислить:
а) 
б) 
Решение. а) Применяя формулу куба разности, получим:
Ответ. 
б) Последовательно выполнив операции над комплексными числами,
получим:
Ответ. 
4. Решить уравнение:
Решение. Находим дискриминант и пару комплексно-сопряженных корней уравнения:
Ответ. 
5. Начертить в комплексной плоскости линию, заданную уравнением
Решение. Так как 
есть расстояние между точками и , то из равенства
следует, что точки линии удалены от точки 
на расстояние,
равное 3, то есть данная линия – окружность радиуса 3 с центром (2,–1).
Ответ.
6. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих заданным неравенствам:
а) 
б) 
в) 
г) 
д) 
е) 
Решение.
а) Неравенство 
означает, что расстояние от точки 
до точек z меньше 2. Этому условию удовлетворяют точки круга с центром в точке 
радиуса 2, исключая границу.
Ответ.
б) Неравенство 
означает, что расстояние от точки 
до точек z должно быть не меньше 1. Искомое множество лежит вне круга с центром в точке 
радиуса 1, включая границу.
Ответ.
в) Искомое множество должно удовлетворять двум неравенствам 
и 
Первое неравенство определяет внешность круга, радиуса 1 с центром в точке (1,1), включая границу. Второе неравенство- круг радиуса 3 с центром в той же точке (1,1), исключая границу. Поэтому данное множество-кольцо с центром в точке (1,1), ограниченное окружностями радиусов 
и 
Ответ.
г) Равенство 
задает на плоскости множество точек с одинаковым аргументом, то есть луч, выходящий из начала координат под углом 
к действительной оси.
Ответ.
д) Неравенство 
задает на плоскости угол, ограниченный двумя лучами, выходящими из начала координат под углами и 
к действительной оси.
Ответ.
е) Неравенство 
задает на плоскости множество точек, действительная часть которых не меньше 1. Это множество является полуплоскостью с границей, перпендикулярной действительной оси и проходящей через точку (1;0).
Ответ.
Задания для самостоятельного решения
1. Найти и записать комплексное число если
Ответ. 
2. Решить систему в комплексных числах:
Ответ. 
3. Вычислить:
а) 
б) 
Ответ. 
.
4. Решить уравнения:
а) 
б) 
Ответ. 
5. Изобразить на комплексной плоскости множество точек, удовлетворяющих неравенствам.
а) 
Ответ. Внутренность круга R = 5, центр О (3,4), границы не входят.
б) 
Ответ. Внешность круга R = 2, центр О (5,–3), граница включается.
в) 
Ответ. Кольцо между двумя окружностями радиусов и 
, центр обеих лежит в О (–2,–1). Внешняя окружность не включает границу; внутренняя граница включается.
г) 
Ответ. Полуокружность 
(граница включается).
Блок №2
