Первый замечательный предел. Непрерывность функции в точке

 

Примеры.

1)

2)

3)

4)

 

5)

Непрерывность функции в точке

Приращение функции в точке х₀ определяется по формуле: DF = F(x₀ + Dx) – F(x₀)

 

· Функция F(x), определенная на множестве D, называется непрерывной в точке х₀, если:

1) х₀ Î D т.е. существует значение F(x₀)

2) существует или

2¢) существует т.е.

Непрерывность функции в точке означает, что бесконечно малому приращению аргумента соответствует бесконечно малое приращение функции, т.е. функция ведет себя гладко, без разрывов. График непрерывной функции сохраняет целостность.

 

· Точки, в которых нарушается непрерывность функции, называются точками разрыва. В них нарушается и целостность графика функции.

Классификация точек разрыва

Классификация точек разрыва функции осуществляется по виду односторонних пределов в этих точках.

· Если существуют конечные односторонние пределы , то точка х₀ называется точкой разрыва 1-го рода, а величина разности В - А называется скачком функции в точке х₀.

 

· В частности, точка разрыва 1-го рода называется устранимой (или точкой устранимого разрыва), если односторонние пределы А и В совпадают (но не совпадают со значением функции в этой точке, иначе была бы непрерывность)

· Все остальные точки разрыва, а именно, когда хотя бы один из односторонних пределов бесконечен или не существует, относятся к точкам разрыва 2-го рода.

 

· Если односторонние пределы в точке х₀ конечны, равны между собой и равны значению функции в точке, то х₀ является точкой непрерывности, т.е. разрыва в ней нет.

 

Примеры.

Исследовать функции на непрерывность:

1) Исследуем на непрерывность точку х₀ = 1.

Вычисляем односторонние пределы:

Пределы конечные, одинаковые.

В этом случае смотрим на значение функции в точке х₀ = 1: F (1) = - 1.

Следовательно, F (1 – 0) = F (1 + 0) ≠ F (1).

В этом случае рассматриваемая точка является точкой устранимого разрыва.

…………………………………………………………………………………………………

2)

В данном случае точкой «стыковки» графиков опять является х₀ = 1.

Односторонние пределы в этой точке:

Пределы конечные, разные. Следовательно, х₀ = 1 является точкой разрыва 1-го рода.

……………………………………………………………………………………………………

3) Исследуем на непрерывность точку х₀ = 0

Левосторонний предел бесконечен.

Следовательно, х₀ = 0 является точкой разрыва 2-го рода.

…………………………………………………………………………………………………

4) Исследуем точку х₀ = 0:

Пределы конечны, одинаковы, но не совпадают со значением функции в этой точке:

F(1) = 1. Следовательно х₀ = 0 является точкой устранимого разрыва.

…………………………………………………………………………………………………

 

5) Исследуем точку х₀ = 4:

Пределы конечны и одинаковы. В этом случае могут быть устранимый разрыв или непрерывность. Значение функции в этой точке F(4) = (4 – 2)² = 4.

Следовательно, тройное равенство: F (4 – 0) = F(4 + 0) = F(4)

В этом случае разрыва в точке нет, т.е. х₀ = 4 – точка непрерывности функции.

……………………………………………………………………………………………………..

6) . Точками разрыва являются корни знаменателя, т.к. в них значения функции не существуют. Таких точек две: х = 2 и х = - 2. Находим односторонние пределы в точке

х = 2:

Аналогично:

Следовательно, х = 2 является точкой разрыва 2-го рода.

Пределы в точке х = -2:

Пределы конечны, одинаковы, но значения функции в этой точке не существует. Следовательно, х = - 2 – точка устранимого разрыва.

……………………………………………………………………………………