Методические указания для решения практической работы на тему

Предел числовой последовательности

Число А называется пределом числовой последовательности , если для любого сколь угодно малого числа e > 0 найдется номер N > 0 такой, что для всех членов последовательности а_n с номером n > N выполняется неравенство:

Обозначение предела:

· Числовая последовательность, имеющая конечный предел, называется сходящейся, в противном случае – расходящейся.

· Числовая последовательность называется бесконечно малой, если

· Числовая последовательность называется бесконечно большой, если для любого числа М > 0 найдется номер N такой, что для всех членов последовательности а_n с номером n > N выполняется: . Обозначение:

……………………………………………………………………………………………………

Теорема 1.

1) Если - бесконечно малая последовательность и все a_n ¹ 0, то -

бесконечно большая последовательность.

2) Если - бесконечно большая последовательность и все b_n ¹ 0, то - бесконечно малая последовательность.

Формально эти утверждения выглядят так:

Например,

………………………………………………………………………………………………

Теорема 2 (о пределах последовательностей)

Если существуют пределы , то

1) существует

2) существует

3) существует

…………………………………………………………………………………………………

Примеры.

Вычислим пределы, раскрывающие неопределенность вида , пользуясь теоремами.

Для раскрытия неопределенности вида использовали прием: числитель и знаменатель делим на старшую степень, т.е. на n². Затем используются теоремы о пределах.

Можно обобщить результаты:

Ø при равенстве старших степеней числителя и знаменателя в пределе всегда получается отношение числовых коэффициентов при этих старших степенях.

Ø если старшая степень числителя выше, то в пределе всегда получится бесконечность

Ø если старшая степень знаменателя выше, чем числителя, то в пределе всегда будет 0.

Пределы функции в точке

Пусть функция F(x) определена на множестве D.

· Число А называется пределом функции в точке х = х₀, если для любого e >0 найдется число d >0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<ôx - x₀ô< d, выполняется неравенство ôF(x) -Aô< e

Обозначение:

Для бесконечно малой в точке х₀ функции:

Для бесконечно большой в точке х₀ функции:

У функций существуют односторонние пределы:

· Левосторонний предел:

Число А называется пределом функции в точке х = х₀ слева, если для любого e>0 найдется число d>0 такое, что для всех х, принадлежащих промежутку (х₀ - d, х₀), выполняется неравенство ôF(x) -Aô< e

· Правосторонний предел:

Число А называется пределом функции в точке х = х₀ справа, если для любого e>0 найдется число d>0 такое, что для всех х, принадлежащих промежутку (х₀, х₀+ d), выполняется неравенство ôF(x) -Aô< e

Например,

Теорема 3 (о пределах функций)

Если существуют , то

1) существует

2) существует

3) существует

Примеры.

Этот пример решался непосредственно с помощью теорем о пределах, т.к. при подстановке х = 1 не возникало неопределенностей типа: и т.п.

2) В этом примере, в отличие от предыдущего, при подстановке числа 2 вместо х получаем неопределенность вида , поэтому непосредственно применить теоремы о пределах нельзя. Необходим прием, избавляющий от неопределенности. Прием заключается в следующем: числитель и знаменатель раскладывают на множители, а затем сокращают множители, содержащие в себе эту неопределенность.

После сокращения множителя (х - 2) предел вычислялся непосредственной подстановкой

х = 2, т.е. с помощью теорем о пределах.

3) - предел не содержит неопределенности и вычисляется непосредственной подстановкой.

В данном примере прием, позволяющий избавиться от неопределенности – это домножение числителя и знаменателя на выражение, сопряженное выражению с корнем (отличается знаком). После этого, применив формулу разности квадратов, сокращаем множители, содержащие в себе неопределенность.

8) - предел не содержит неопределенности и вычисляется непосредственной подстановкой х = 0.

Для двух бесконечно малых или бесконечно больших функций существует понятие эквивалентности.

· Бесконечно малые или бесконечно большие в точке х₀ функции a(х) и b(х) называются эквивалентными, если существует .

Неопределенность, соответственно,

· Обозначение:

В этом случае справедливо следующее утверждение:

Теорема 4.

Если и и существует , то существует , причем пределы равны:

Например, т.к.

т.к.

Введем в рассмотрение 1-й замечательный предел: .

Функция Sin x эквивалентна своему аргументу, если он бесконечно мал, т.е. в точке

х = 0.

Например,

Легко получить еще два часто используемых предела:

Таким образом, при вычислении пределов с тригонометрическими функциями, содержащими неопределенность вида , можно использовать три основные эквивалентности: