Выведем формулы скорости и расхода жидкости при истечении через малое отверстие. Пусть жидкость вытекает из большого резервуара через малое отверстие в его дне или стенке (рис. 39).
Опытами установлено, что сжатое сечение струи находится от внутренней поверхности резервуара на расстоянии около половины диаметра отверстия. Эта величина обычно бывает мала сравнительно с напором Н в резервуаре, и можно считать, что центр отверстия и центр сжатого сечения струи находятся на одинаковой высоте, тем более при отверстии в боковой стенке.
Высоту уровня жидкости в резервуаре Н над центром отверстия называют геометрическим напором. В общем случае давление 
в резервуаре отличается от давления 
в пространстве, куда истекает жидкость.
Проведем плоскость сравнения 2-2 через центр сжатого сечения струи.
Уравнение Д. Бернулли применить к сечению отверстия нельзя, так как струйки в последнем сходятся под большими углами, и движение жидкости в нем не плавно изменяющееся.
Напишем уравнение Д. Бернулли для сечений 1-1 и 2-2
, (124)
где 
– скорость подхода жидкости к отверстию в резервуаре; 
– средняя скорость течения в сжатом сечении; 
–коэффициент местного сопротивления при истечении через отверстие.
Перенесем наружное давление в левую часть и обозначим величину
. (125)
Эта величина называется напором истечения.
В правой части уравнения (124) вынесем за скобки . Тогда уравнение Д. Бернулли сведется к
,
откуда
.
Обозначим величину
. (126)
Величину 
называют коэффициентом скорости.
С учетом введенного обозначения
. (127)
Так как коэффициент Кориолиса 
, а коэффициент местных потерь напора в отверстии 
, то 
. По опытным данным 
, а 
. Отсюда
.
Для идеальной жидкости 
и 
. Тогда
. (128)
Это уравнение называется формулой Торичелли. Оно показывает, что скорость в начале вытекающей струи равна скорости свободного падения тела, упавшего с высоты 
.
Когда поперечное сечение резервуара много больше площади живого сечения отверстия, а скорость жидкости в резервуаре незначительна (к примеру, меньше 0,1 м/сек), то скоростным напором 
можно пренебречь. В случае, когда давления снаружи и в резервуаре одинаковы 
,то весь напор истечения сводится к геометрическому напору, т. е. 
. Это бывает обычно при расчете истечения из открытых резервуаров в атмосферу.
Расход жидкости определится как произведение скорости истечения на площадь сжатого сечения струи
, (129)
где 
–коэффициент сжатия струи, равный отношению площади сжатого сечения 
кплощади отверстия 
.
Величину 
обозначают через 
и называют коэффициентом расхода.
Таким образом, расход жидкости, вытекающей через отверстие, определяют по формуле
. (130)
При точных измерениях размеров сжатого сечения струи установлено, что при совершенном сжатии струи 
. В этом случае 
. В общем же случае коэффициент расхода 
зависит от условий сжатия.
При истечении не в газовую среду, а в смежный резервуар с той же жидкостью (что принято называть истечением «под уровень»), т. е. когда отверстие затоплено с обеих сторон, в качестве геометрического напора Н принимают разность уровней жидкости в резервуарах. Числовые значения коэффициентов , 
и остаются при этом практически теми же.
В случае круглого отверстия, расположенного на значительном расстоянии от стенок, струя сжимается со всех сторон одинаково, и в сжатом сечении имеет также форму круга; при этом сжатое сечение находится от кромок отверстия на расстоянии около половины диаметра отверстия – 
. Величина коэффициента сжатия зависит от относительных размеров отверстия и от положения его относительно стенок резервуара и поверхности жидкости.
В зависимости от расположения отверстия различают следующие виды сжатия (рис. 40):
1) полное сжатие со всех сторон (отверстия 1 и 2);
2)неполное, когда сжатия нет с одной или нескольких сторон (отверстия 3, 4и 5).
Полное сжатие подразделяют на:
а) совершенное, когда 
и 
(отверстие 1);
б) несовершенное, когда 
и 
(отверстие 2).
Форма сечения струи жидкости при истечении претерпевает изменения.
Эти изменения называются инверсией. Инверсия происходит вследствие того, что скорости подхода к отверстию в разных точках его периметра различны и вследствие сил поверхностного натяжения. На рис. 41 показано изменение формы струи при истечении через квадратное отверстие по мере удаления от резервуара.
При несовершенном сжатии коэффициент расхода 
вычисляют по формулам:
для круглых отверстий
(131)
для прямоугольных отверстий
(132)
где – значение коэффициента расхода при совершенном сжатии; 
и 
– поправочные коэффициенты, зависящие от отношения площади сечения отверстий к площади сечения сосуда 
. Значения этих коэффициентов принимают по таблице:
Значение величин и при несовершенном сжатии
| 0,10 | 0,20 | 0,30 | 0,40 | 0,50 | 0,60 | 0,70 | 0,80 | 0,90 | 1,00 |
|
| 0,014 | 0,034 | 0,059 | 0,092 | 0,134 | 0,189 | 0,26 | 0,351 | 0,471 | 0,631 |
|
| 0,019 | 0,042 | 0,071 | 0,107 | 0,152 | 0,208 | 0,278 | 0,365 | 0,473 | 0,608 |
При неполном сжатии коэффициент расхода вычисляют по уравнениям:
для круглых отверстий
; (133)
для прямоугольных отверстий
, (134)
где – коэффициент расхода при полном сжатии; 
–часть периметра, на котором нет сжатия; Р – полный периметр отверстия.
При расчете больших отверстий значения коэффициентов расхода, рекомендованных Н. Н. Павловским, приведены в таблице:
Значения коэффициентов расхода для больших отверстий
| Виды отверстий и характер сжатия струи | коэффициент расхода
|
| Большие отверстия с несовершенным, но всесторонним сжатием............................................................ | 0,70 |
| Большие отверстия с умеренным боковым сжатием, без сжатия по дну.......................................................... | 0,80 |
| Средние отверстия (шириной до 2 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну ………. | 0,90 |
| Большие отверстия (шириной 5-6 м) с весьма слабым боковым сжатием, без сжатия по дну ………… | 0,95 |
