Ћекции.ќрг


ѕоиск:




 атегории:

јстрономи€
Ѕиологи€
√еографи€
ƒругие €зыки
»нтернет
»нформатика
»стори€
 ультура
Ћитература
Ћогика
ћатематика
ћедицина
ћеханика
ќхрана труда
ѕедагогика
ѕолитика
ѕраво
ѕсихологи€
–елиги€
–иторика
—оциологи€
—порт
—троительство
“ехнологи€
“ранспорт
‘изика
‘илософи€
‘инансы
’ими€
Ёкологи€
Ёкономика
Ёлектроника

 

 

 

 


”равнение неразрывности установившегос€ движени€ жидкости




 

ѕри рассмотрении движени€ жидкости считают, что в потоке жидкость сплошь заполн€ет занимаемое ею пространство без образовани€ пустот, т.е. движение жидкости происходит неразрывно. ¬ этом случае справедливо уравнение неразрывности движени€, выводимое на основе закона сохранени€ массы. ѕолучим вначале уравнение неразрывности при установившемс€ движении жидкости дл€ элементарной струйки.

ѕусть имеем элементарную струйку (рис. 17). ¬озьмем сечение 1-1 с площадью искоростью движени€ частиц жидкости и1. Ёлементарный расход через сечение 1-1 [по формуле (67а), І 2.2 ]равен

.

«атем возьмем сечение 2-2 в этой же струйке с площадью сечени€ и скоростью u1. Ёлементарный расход через сечение 2-2 равен

.

Ќо по свойству элементарной струйки приток и отток жидкости через ее боковую поверхность невозможен (см. І 2.1); кроме того, в отсеке 12, который сохран€ет неизменные размеры, не образуетс€ пустот и не происходит переуплотнений; значит количества жидкости, протекающей н единицу времени через сечени€ 1-1 и 2-2, должны быть одинаковы, т.е. . ѕринима€ во внимание, что сечени€ 1-1 и 2-2 прин€ты произвольно, можно в общем случае дл€ элементарной струйки написать

,

или

. (69)

Ёто и есть уравнение неразрывности (сплошности) дл€ элементарной струйки, которое читаетс€ так: элементарный расход жидкости при установившемс€ движении есть величина посто€нна€ дл€ всей элементарной струйки.

 

ѕусть теперь имеем поток жидкости (рис. 18). ¬з€в в потоке два произвольных сечени€ 1-1 и 2-2 и представив живые сечени€ их состо€щими из суммы элементарных струек, можно написать Црасход жидкости в сечении 1-1; Ц расход жидкости в сечении 2-2.

Ќо поскольку скорости касательны к боковой поверхности потока, то в отсек между сечени€ми 1-1 и 2-2 через боковую поверхность движени€ жидкости не происходит; не измен€етс€ и объем отсека. —ледовательно, в отсек через сечение 1-1 поступает столько же жидкости, сколько за то же врем€ выходит . Ќо так как сечени€ 1-1 и 2-2 вз€ты произвольно, то можно написать, что или, выража€ расход жидкости в сечени€х через среднюю скорость v, получим

. (69')

Ёто и есть уравнение неразрывности дл€ потока жидкости, которое читаетс€ так: р асход жидкости через любое сечение потока при установившемс€ движении есть величина посто€нна€. »з уравнени€ (69) дл€ двух сечений можно написать

, (70)

т.е. средние скорости потока обратно пропорциональны площад€м соответствующих живых сечений.

”равнение ƒ. Ѕернулли

 

”равнение ƒаниила Ѕернулли €вл€етс€ основным уравнением гидродинамики. Ќиже разбираетс€ это уравнение дл€ установившегос€ плавно измен€ющегос€ движени€ жидкости, с помощью которого решаютс€ основные задачи гидродинамики. ¬ведем пон€ти€ удельной энергии элементарной струйки и потока жидкости.

”дельна€ энерги€ элементарной струйки. Ќапомним, что удельна€ энерги€ есть энерги€, отнесенна€ к единице силы т€жести жидкости. ѕусть имеем в элементарной струйке частицу массой m, котора€ обладает некоторой скоростью и, находитс€ под гидродинамическим давлением р, занимает некоторый объем V и находитс€ от произвольной плоскости сравнени€ о-о на некоторой высоте z (рис. 20). ћасса частицы обладает запасом удельной потенциальной энергии еп, котора€ складываетс€ из удельных потенциальных энергий положени€ епол, и давлени€ едав. ¬ самом деле, масса жидкости, подн€та€ на высоту z, имеет запас потенциальной энергии, равный mgz, где g Ц ускорение свободного падени€. ”дельна€ потенциальна€ энерги€ положени€ равна потенциальной энергии, деленной на силу т€жести жидкости ()

. (а)

ћасса жидкости занимает некоторый объем V, наход€щийс€ под давлением р. ѕотенциальна€ энерги€ давлени€ равна р V. ”дельна€ же потенциальна€ энерги€ давлени€ равна потенциальной энергии pV, деленной на силу т€жести данного объема gV, т. е.

. (б)

ѕолный запас удельной потенциальной энергии массы жидкости равен их сумме, т. е. и, учитыва€ выражени€ (а) и (б), напишем

. (в)

 роме того, масса жидкости т движетс€ со скоростью и и обладает кинетической энергией ; но сила т€жести этой массы равна mg, и удельна€ кинетическа€ энерги€ струйки равна

. (г)

—кладыва€ выражени€ (в) и (г), получим выражение полной удельной энергии элементарной струйки

. (71)

«десь Ц удельна€ кинетическа€ энерги€;

Ц удельна€ потенциальна€ энерги€ давлени€ и положени€.

ѕолна€ удельна€ энерги€ потока складываетс€ из удельной потенциальной энергии и удельной кинетической энергии к потока.

ƒл€ случа€ установившегос€ плавно измен€ющегос€ движени€ жидкости удельна€ потенциальна€ энерги€ во всех точках живого сечени€ одинакова и равна

. (д)

ѕоток жидкости рассматриваетс€ как совокупность п элементарных струек, кажда€ из которых обладает своей удельной кинетической энергией . Ёта величина различна дл€ разных струек, образующих поток.

ќпределим среднее значение этой величины в сечении потока. ƒл€ этого действительные скорости элементарных струек u1, u2,..., ип заменим средней скоростью потока v;тогда среднее значение удельной кинетической энергии потока в данном сечении равно

. (е)

«десь a Ц коэффициент  ориолиса, учитывающий неравномерность распределени€ скоростей по сечению потока (или корректив кинетической энергии).

Ѕезразмерный коэффициент a представл€ет собой отношение действительной кинетической энергии потока к кинетической энергии, вычисленной по средней скорости. ≈сли эпюра скоростей в сечении потока близка к пр€моугольной, т.е. скорости в разных точках близки к средней, то коэффициент  ориолиса a близок к единице. ≈сли же скорости в сечении значительно различаютс€ между собой, то и коэффициент a оказываетс€ значительно больше единицы.

–ассмотрим, например, поток глубиной Ќ = 6м, в сечении которого скорости распределены по треугольнику, т.е. у дна скорость равна нулю и к поверхности нарастает по закону пр€мой до наибольшего значени€ ипов = 3 м/сек. —редн€€ скорость v = 1,5 м/сек, а соответствующа€ ей кинетическа€ энерги€

м.

ќценим кинетическую энергию потока точнее. ƒл€ этого возьмем три точки на высоте h1 = 1м; h2 = 3 м и h3 = 5 м, которые лежат посредине слоев равной высоты по 2 м каждый. —корость в этих точках соответственно и1 = 0,5; и2 = 1,5 и и3 = 2,5 м/сек. ¬ычислим кинетическую энергию по этим трем скорост€м

м,

что больше, чем по средней скорости.

 оэффициент  ориолиса получаетс€

.

Ќа основе обработки многочисленных данных, полученных на реках и каналах, установлено, что дл€ больших открытых потоков . ѕри равномерном движении в трубах и каналах практически .

¬ дальнейшем, за исключением особо оговоренных случаев, дл€ упрощени€ расчетов будем принимать . ќднако следует помнить, что в некоторых случа€х при неравномерном распределении скоростей значени€ a могут быть значительно больше 1 (2 и более).

 
 

—кладыва€ удельную кинетическую и удельную потенциальную энергии потока, получим формулу полной удельной энергии потока

,

а учитыва€ выражени€ (е) и (д), имеем

, (72)
т.е. полна€ удельна€ энерги€ потока равна сумме удельной кинетической и удельной потенциальной (давлени€ и положени€) энергий потока. Ќапомним, что все выводы сделаны дл€ установившегос€, плавно измен€ющегос€ движени€ жидкости.

”равнение ƒ. Ѕернулли дл€ элементарной струйки. ¬ыделим в установившемс€ потоке реальной жидкости элементарную струйку (рис. 21) и определим удельную энергию жидкости в двух произвольных сечени€х 1-1 и 2-2. ¬ысоты положени€ центров первого и второго сечений будут соответственно z1 и z2; гидродинамическое давление и этих же точках р1 и р2 скорости течени€ Ц и1 и и2. “огда полна€ удельна€ энерги€ элементарной струйки в сечении 1-1 на основании формулы (71) равна

, (ж)

а в сечении 2-2

. (з)

ѕрактически всегда ,так как часть полной энергии затрачиваетс€ на преодоление сил сопротивлени€ (трени€) при движении жидкости от сечени€ 1-1 к сечению 2-2. ќбозначим эти потери . “огда в соответствии с законом сохранени€ энергии можно написать, что ,и, учитыва€ выражени€ (ж) и (з), получим

. (73)
”равнение (73) и есть уравнение ƒ. Ѕернулли дл€ элементарной струйки реальной жидкости при установившемс€ движении, которое устанавливает св€зь между скоростью движени€, давлением в жидкости и положением точки в пространстве. ќно справедливо дл€ любых двух сечений, так как сечени€ 1-1 и 2-2 были вз€ты произвольно. ”равнение (73) можно изобразить и графически (рис. 21). ≈сли соединить уровни жидкости в пьезометрах, присоединенных к нескольким сечени€м, получим некоторую линию р-р, котора€ называетс€ пьезометрической линией и показывает изменение удельной потенциальной энергией по длине элементарной струйки. ≈сли соединить точки, которые в каждом сечении вертикали изображают полную удельную энергию (а такие точки действительно можно получить, о чем см. ниже), получим некоторую линию N-N, котора€ называетс€ напорной линией или линией энергии; она показывает изменение полной удельной энергии по длине струйки. “огда рассто€ние по вертикали в любом сечении между горизонтальной плоскостью I - I, соответствующей начальному запасу удельной энергии в первом сечении, и напорной линией N-N дает величину потерь энергии hw на преодоление сил сопротивлени€ на участке от первого сечени€ до данного сечени€, а рассто€ние между напорной и пьезометрической лини€ми Ц удельную кинетическую энергию в данном сечении u2/2g.

ƒл€ идеальной жидкости, где отсутствуют силы трени€, в уравнении (IV.7) hw= 0 и уравнение Ѕернулли принимает вид

. (73 /)

Ќо так как сечени€ 1-1 и 2-2 вз€ты произвольно, то в общем виде уравнение Ѕернулли дл€ элементарной струйки идеальной жидкости записываетс€ так:

. (73")

”равнение ƒ. Ѕернулли дл€ потока. –ассмотрим поток при установившемс€, плавно измен€ющемс€ движении (рис. 22). ¬ыберем произвольно два сечени€ 1-1 и 2-2, по ос€м которых соответственно имеем z1 и z2 Ц вертикальные координаты оси потока над произвольной плоскостью сравнени€ о-о, р1 и p2 гидродинамические давлени€, в тех же точках v1 и v2 Ц средние скорости в сечени€х 1-1 и 2-2.

ѕолную удельную энергию потока определ€ем по формуле (72): сечение 1-1

,

сечение 2-2

.

ќчевидно , так как часть энергии потратитс€ на преодоление сил сопротивлени€ (трени€). ќбозначим потерю энергии на этом участке Ц . “огда можно написать, что и, подставл€€ значени€ и , получим

. (74)

”равнение (74) называетс€ уравнением ƒ. Ѕернулли дл€ потока жидкости и €вл€етс€ основным уравнением гидродинамики; с его помощью получены многие расчетные формулы и решаетс€ р€д практических задач. ”равнение Ѕернулли устанавливает математическую св€зь между основными элементами движени€ жидкости, т. е. средней скоростью и гидродинамическим давлением.





ѕоделитьс€ с друзь€ми:


ƒата добавлени€: 2016-11-20; ћы поможем в написании ваших работ!; просмотров: 505 | Ќарушение авторских прав


ѕоиск на сайте:

Ћучшие изречени€:

Ћаской почти всегда добьешьс€ больше, чем грубой силой. © Ќеизвестно
==> читать все изречени€...

694 - | 633 -


© 2015-2023 lektsii.org -  онтакты - ѕоследнее добавление

√ен: 0.019 с.