Методика решения задач по электродинамике

1. Задачи о движении электрических зарядов по проводникам и о явлениях, связанных с этим движением, удобно разделить на три типа:
задачи на законы Ома на каком-либо участке цепи;
задачи на работу, мощность в тепловое действие тока и
задачи на электролиз.

Из задач первого типа можно выделить вспомогательную группу — задачи на вычисление сопротивлений отдельных проводников и различных соединений из них.

2. Если в условии задачи указано, из какого материала изготовлен проводник, или приводятся сведения о его геометрических размерах или массе, то для нахождения неизвестной величины, от которой зависит сопротивление проводника, нужно воспользоваться формулой сопротивления и соотношением между массой, плотностью и объемом проводника.
Следует при этом иметь в виду, что, пользуясь представлениями электронной теории, удельное сопротивление можно выразить через величины, характеризующие свойства и движение элементарных зарядов.

 

Задачи о температурной зависимости сопротивлений, как правило, не представляют большой трудности, их легко решать с помощью уравнений

и тех указаний, которые были сделаны к задачам о линейном расширении тел.

При вычислении общего сопротивления какого-либо контура, составленного из нескольких проводников, необходимо, прежде всего, установить, есть ли в нем проводники, соединенные между собой последовательно или параллельно, или в схеме таких подключений нет.

В первом случае решение задачи основано на использовании формул для последовательного или параллельного соединения проводников, во втором нужно применять другие методы расчета, в которых формулы сопротивления играют уже не главную, а вспомогательную роль.

Решение задач на вычисление сопротивлений сложных соединений нужно начинать с анализа схемы и отыскания в ней каких-нибудь двух проводников, соединенных друг с другом последовательно или параллельно.
При этом все время надо следить за тем, чтобы в случае последовательного соединения ток между проводниками не разветвлялся, а в случае параллельного — их концы соединялись непосредственно.
Если в схеме удается найти такие проводники, их следует заменить одним эквивалентным сопротивлением, используя формулы для последовательного или параллельного соединения проводников, и получить упрощенную схему.

В схемах, представляющих собой комбинацию последовательно и параллельно включенных проводников, этот прием нужно применять несколько раз и таким образом найти общее сопротивление.

Если в схеме не окажется ни последовательно, ни параллельно соединенных проводников, для вычисления общего сопротивления используют следующие два свойства электрической цепи:

• Во всякой электрической цепи точки с одинаковым потенциалом можно соединить и разъединить. Режим тока от этого не нарушается, поскольку ток между такими точками не идет.
• Работа по перемещению единичного заряда из одной точки однородной цепи в другую не зависит от сопротивления проводников, по которым проходит заряд, а определяется только разностью потенциалов между этими точками.

Иными словами, какой бы мы ни выбрали путь движения заряда по однородной цепи, алгебраическая сумма падений напряжений на отдельных участках этой цепи равна разности потенциалов между начальной и конечной точками:

где I_i, и R _i, — токи и сопротивления отдельных участков.
Следует при этом помнить, что такое утверждение справедливо лишь в тех случаях, когда на заряды действуют только электрические силы, и на участках нет э.д.с.

 

Установив, что в схеме нет последовательно и параллельно соединенных проводников, нужно попытаться найти точки с одинаковыми потенциалами.

Точки с одинаковым потенциалом всегда есть в схемах, обладающих осью или плоскостью симметрии относительно точек подключения источника питания. Здесь можно различать два случая.

Если схема симметрична относительно оси (плоскости), проходящей через точки входа и выхода тока (имеется продольная плоскость симметрии), то точки одного потенциала находятся на концах симметричных сопротивлений, поскольку по ним идут одинаковые токи.

Если схема симметрична относительно оси (плоскости), перпендикулярной линии, на которой лежат точки входа и выхода тока — в схеме имеется поперечная ось (плоскость) симметрии, то одинаковым потенциалом обладают все точки, лежащие на пересечении этой оси (плоскости) с проводниками.
Это почти очевидное обстоятельство вытекает из того, что работа электрических сил над зарядами не зависит от формы пути.

Найдя в схемах точки с одинаковым потенциалом, нужно соединить их (если они были разъединены) или разъединить (если точки были соединены), после чего мы получим эквивалентную схему, составленную из последовательно и параллельно соединенных сопротивлений.
В общем случае, когда нет точек с равным потенциалом, обычно поступают так.
Проставляют токи на каждом сопротивлении и указывают их предполагаемое направление. Обозначив затем через I ₀ суммарный ток, проходящий через данный контур (он равен току, подходящему к контуру), составляют уравнение токов для каждой точки разветвления (узла): сумма токов, подходящих к узлу, должна равняться сумме токов, исходящих из узла. Затем выбирают все возможные пути прохождения заряда между точками подключения контура и составляют для каждого из них уравнение падения напряжения вида:

где R ₀ – общее сопротивление, всего контура, которое требуется найти.
Эти уравнения составляются на основании того, что падение напряжения I ₀ R ₀ на всем контуре равно алгебраической сумме падений напряжения на отдельных сопротивлениях, замыкающих цепь.

Если оказывается, что по какому-либо проводнику, входящему в рассматриваемую часть цепи, ток идет в направлении, противоположном начальному току участка, то падение напряжения на этом проводнике берут со знаком «минус»; в остальных случаях — со знаком «плюс».
Так как неизвестным является сопротивление R ₀, то число уравнений токов и напряжений должно быть на одно больше числа токов, введенных в решение.
Исключая из этих уравнений все токи, находят R ₀.

3. При решении задач на определение силы тока, напряжения или сопротивления на каком-либо участке цепи надо:
а) Начертить схему и указать на ней все элементы цепи: источники тока, сопротивления и конденсаторы.

б) Установить, если схема дана в готовом виде, какие элементы цепи включены последовательно, какие — параллельно.

в) Расставить токи и напряжения на каждом участке цепи и записать для каждой точки разветвления (если они есть) уравнения токов и уравнения, связывающие напряжения на участках цепи.
При составлении таких уравнений для схем, в которых нет ни последовательных, ни параллельных соединений, следует руководствоваться указаниями п. 2.

г) Используя закон Ома (или формулу для напряжения на участке, содержащем э.д.с.), установить связь между токами, напряжениями и э.д.с. В результате получится система уравнений, полностью отражающая условия задачи и позволяющая определить искомую величину. Если в схеме делают какие-либо переключения сопротивлений или источников, уравнения составляют для каждого режима работы цепи.

При расчетах шунтов или добавочных сопротивлений к гальванометру можно использовать готовые формулы.

Чтобы расширить пределы измерения тока в n раз и измерять токи до значений I > I ₀, параллельно амперметру нужно присоединить шунт с сопротивлением

где R ₀ – внутреннее сопротивление амперметра.

Чтобы расширить пределы измерения напряжения в n раз и измерять напряжение до значений U > U ₀, последовательно вольтметру нужно присоединить добавочное сопротивление

где R ₀ – внутреннее сопротивление вольтметра.

д) Составляя зависимости между заданными и искомыми величинами, характеризующими элементы цепи и режим ее работы, нужно стараться не вводить в решение дополнительные величины, которые не даны и которые не требуется находить по условию задачи.

Решение большинства задач на ток построено на применении закона Ома. Этот закон можно записать в обычном, наиболее распространенном виде

В общем случае эти выражения не эквивалентны друг другу, второе из них имеет известное ограничение — оно справедливо, если на участке нет э.д.с.
Тем не менее, очень часто расчеты значительно сокращаются, если использовать именно вторую формулу, а не первую.

Обычно, когда составляют простую цепь, то известными являются элементы цепи: э.д.с. и сопротивления, и требуется найти на каком-либо участке ток или напряжение.
При некотором навыке вторая из указанных формул позволяет легко и быстро находить напряжение на отдельных участках цепи, не используя токи.
Для этого нужно все сопротивления или их группы, соединенные последовательно с сопротивлением рассматриваемого участка R _уч, внести во внутреннее сопротивление источника и считать его равным не r, а r + R ₀,
где R ₀ — общее сопротивление внешней цепи без сопротивления R _уч.
Нетрудно заметить, что после этого участок, на котором требуется найти напряжение, оказывается подключенным к зажимам источника и согласно формулам

напряжение на нем будет равно:

Зная напряжение на участке, можно найти и ток в нем по закону Ома для участка цепи.
е) Большие затруднения у учащихся вызывают задачи на расчет цепей, содержащих несколько источников тока, соединенных между собой последовательно или параллельно.

В первом случае можно рекомендовать такую последовательность действий:

• Найти общую э.д.с. контура для последовательно соединенных батарей:
  
  Их общее внутреннее сопротивление
  
• найти общее сопротивление контура R + r ₀,
• найти ток в контуре I ₀ по формуле
  
  (он будет одинаковый на всех участках) и затем
• применить для рассматриваемого участка формулу разности потенциалов
  
  где φ₁ и φ₂ – потенциалы начала и конца участка в направлении тока.
  В этой формуле предполагается, что э.д.с. направлена от φ₂ к φ₁, т.е. начало и конец участка примыкают соответственно к положительному и отрицательному полюсу источника. Знак "минус" перед I ₀, берется в тех случаях, когда ток по участку течет от φ₂ к φ₁ (внутри источника от положительного полюса к отрицательному). Последнее возможно при условии, что на других участках данной цепи содержатся э.д.с., включенные навстречу э.д.с. рассматриваемого участка.

Во втором случае удобно поступать так:

• расставить токи, протекающие через элементы цепи (иногда направление токов можно предвидеть заранее; если же этого сделать не удается, то их направление ставится наугад);
• записать уравнение токов для узлов и после этого использовать формулу разности потенциалов для параллельных ветвей, содержащих э.д.с.
  Так как ветви соединены параллельно, напряжение на них будет одинаковым.
  Чаще всего этими уравнениями условия задачи математически исчерпываются полностью.

Указанная последовательность действий при решении всех задач рассматриваемой группы будет правильной всегда, но она не всегда обязательна.
При достаточном навыке в решении задач многие промежуточные выкладки можно опускать и записывать лишь наиболее важные соотношения, которые нужны непосредственно для определения искомой величины.

 

4. Задачи на работу, мощность и тепловое действие тока в свою очередь можно разбить на три группы.

К первой группе относятся задачи на расчет электрической цепи, аналогичные тем, что рассматривались выше. Для их решения составляют те же уравнения закона Ома, но к ним добавляют формулы мощности.

Если по условию задачи даны значения мощности, выделяемой в проводниках, и требуется найти силу тока, напряжение или сопротивление проводников, то эти формулы играют вспомогательную роль.
Если же значение мощности нужно определить, эти формулы можно рассматривать как основное расчетное соотношение и начинать решение с их составления.

Особое внимание здесь нужно обратить на выбор исходной формулы мощности.
Анализируя условия задачи, необходимо, прежде всего, установить, идет ли речь о мощности, выделяемой на участке цепи, или о мощности, развиваемой источником — полной мощности в цепи, или же о мощности во внешней цепи источника.
В каждом из этих случаев нужно, в свою очередь, обратить внимание на то, какие из величин даны и какие требуется найти, и подобрать соответствующее расчетное соотношение.
В большинстве случаев удачное использование этих формул бывает достаточным для решения.

Решая задачи на мощность, выделяемую во внешней цепи, желательно помнить, что она будет максимальной, когда внешнее сопротивление цепи равно сопротивлению источника. Этим результатом можно пользоваться как готовым и значительно сократить вычисления.

Ко второй группе относятся задачи на тепловое действие тока.
Основным расчетным соотношением в них является закон Джоуля-Ленца.
Перед тем как приступать к составлению уравнений, необходимо установить, какую из формул
принять за исходную.
Обе формулы можно применять в том случае, когда участок цепи не содержит источников тока; если же на участке имеются э.д.с., в качестве основной расчетной формулы надо взять формулу

Если в уравнении закона Джоуля-Ленца окажется два и более неизвестных, к нему нужно добавить формулы теплоты и сопротивления.

В задачах на сравнение количества теплоты, выделяемой в разных проводниках, при выборе исходных уравнений можно руководствоваться следующим.
Если при переходе от одного участка цепи к другому или при подключении и выключении сопротивлений сила тока в проводниках остается одинаковой, удобно брать формулу
и составлять уравнение закона Джоуля-Ленца для каждого участка.
Если же при переходе от участка к участку или подключении сопротивлений одинаковым оказывается напряжение на проводниках, удобнее воспользоваться формулой
На задачи третьей группы следует обратить особое внимание, хотя их сравнительно мало.
Эту группу составляют задачи о превращении электрической энергии в механическую, тепловую и химическую при работе электромашины постоянного тока.
Решение таких задач основано на применении уравнения закона сохранения и превращения энергии:

Проанализировав условия и установив, на каких участках цепи электрическая энергия превращается в теплоту и механическую энергию, необходимо записать это исходное уравнение
для каждого режима работы цепи.
В простейших случаях этого достаточно, в более сложных задачах к основному уравнению приходится добавлять формулы законов постоянного тока и механики.

 

5. Решение задач на электролиз всегда удобно начинать с составления уравнения обобщенного закона Фарадея

В большинстве случаев все величины, входящие в это уравнение, кроме одной, заданы и нахождение неизвестного не представляет почти никакого труда.
Если даны два вещества или более, это уравнение составляют для каждого из них.
Для решения более сложных задач нужно воспользоваться вспомогательными формулами для нахождения m, q или I и, используя уравнение закона Фарадея, составить формулу, в которую входили бы величины, связанные с электролизом, но не входящие в основное уравнение.
Ими могут быть, например, толщина слоя металла, выделившегося на катоде, скорость роста этого слоя, расход электроэнергии на единицу массы получаемого металла, отношение заряда иона к его массе.
Эти формулы нет надобности запоминать, но знать об их существовании необходимо.

Если в задаче рассматривается выделение газа при электролизе, то следует иметь в виду, что масса газа входит и в формулу закона Фарадея, и в уравнение состояния идеального газа Менделеева-Клапейрона и через нее можно установить связь между всеми остальными величинами, входящими в эти формулы.

 

ЗАДАЧИ С ТЕХНИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕКТРИЧЕСКИЙ ТОК. ИСТОЧНИКИ ТОКА».

1. Аккумулятор мотоцикла имеет ЭДС 6 В и внутреннее сопротивление 0,5 Ом. К нему подключен реостат сопротивлением 5,5 Ом. Найдите силу тока в реостате.
2. К источнику с ЭДС 12 В и внутренним сопротивлением 1 Ом подключен реостат, сопротивление которого 5 Ом. Найти силу тока в цепи и напряжение на зажимах источника.
3. ЭДС батареи 6 В. Внешнее сопротивление цепи равно 11,5 Ом, а внутреннее - 0,5 Ом. Найти силу тока в цепи и напряжение на зажимах батареи.
4. Проводник какого сопротивления надо включить во внешнюю цепь генератора с ЭДС 220 В и внутренним сопротивлением 0,1 Ом, чтобы на его зажимах напряжение оказалось равным 210 В?
5. При подключении внешней цепи напряжение на полюсах источника равно 9 В, а сила тока в цепи - 1,5 А. Каково внутреннее сопротивление батареи и сопротивление внешней цепи? ЭДС источника 15 В.

Ответы

1. 1А

1. 2А; 10В
2. 0,5А; 5,75 В
3. 2,1 Ом
4. 4Ом; 6Ом

ЗАДАЧИ С ТЕХНИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ТЕМЕ: «СИЛА ТОКА. НАПРЯЖЕНИЕ. СОПРОТИВЛЕНИЕ»

1. Через проводник длиной 12 м и сечением 0,1мм², находящийся под напряжением 220 В, протекает ток 4 А. Определите удельное сопротивление проводника.
2. Длина провода, подводящего ток к потребителю, равна 60м. Какое сечение должен иметь медный провод, если при силе протекающего по нему тока 160 А потеря напряжения составляет 8 В?
3. Определите напряжение на концах стального проводника длиной 140 см и площадью поперечного сечения 0,2 мм², в котором сила тока 250 мА.
4. Линия электропередачи имеет длину 200 км. Для ее изготовления использован про вод из алюминия сечением 150 мм². Сила тока в линии 150 А. Определите падение напряжения в линии.

Ответы

1. 0,45 Ом*мм²/м

1. 40,8 мм²
2. 2А
3. 37В

ЗАДАЧИ С ТЕХНИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕКТРОМАГНЕТИЗМ»

1. Какова сила тока в проводнике, находящемся в однородном магнитном поле с индукцией 2 Тл, если длина активной части проводника 20 см, сила, действующая на проводник, 0,75 Н, а угол между направлением линий индукции и током 49⁰?
2. На прямой проводник длиной 0,5 м, расположенный перпендикулярно силовым линиям поля с индукцией 0,02 Тл, действует сила 0,15 Н. Найти силу тока, протекающего по проводнику.
3. На проводник длиной 50 см с током 2 А в однородном магнитном поле с индукцией 0,1 Тл действует сила 0,05 Н. Определите угол между направлением тока и вектором магнитной индукции.

Ответы

1. 2,5 А

1. 15А
2. 30⁰

МЕТОДИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕКТРОМАГНИТНАЯ ИНДУКЦИЯ»

1. Анализируя условия задачи, необходимо прежде, всего установить причины изменения магнитного потока, связанного с контуром, и определить, какая из величин В, S или α, входящих в выражение для магнитного потока Ф, изменяется с течением времени. После этого нужно записать закон электромагнитной индукции Фарадея для одного витка или для нескольких витков
   .
   Если в задаче речь идет о поступательном движении прямого проводника, то э.д.с. индукции определяют по формуле
   ,
   вытекающей из закона электромагнитной индукции.
2. Затем выражение для Ф надо представить в развернутом виде. Для этого выбирают два момента времени t ₁ и t ₂ и для каждого из них определяют потоки Ф ₁ и Ф ₂, связанные с данным контуром. Изменение магнитного потока за время Δ t = t ₂ − t ₁ в зависимости от условия задачи, будет равно или
   
   если изменяется магнитная индукция поля, в котором находится контур, или
   
   если изменяется положение рамки в поле, или, наконец,
   
   где ΔS — площадь, описанная в пространстве движущимся проводником.
3. Далее надо подставить выражение для ΔФ в исходную формулу закона электромагнитной индукции и, записав дополнительные условия, решить полученные уравнения совместно относительно искомой величины.
   Наибольшие затруднения возникают обычно при расчете электрических цепей, содержащих аккумуляторы, когда на одном из участков цепи возникает э.д.с. индукции, вызванная движением проводника в магнитном поле.
   Решение в этом случае нужно начинать с определения величины и направления этой э.д.с, после чего задача сведется к расчету обычной цепи постоянного тока с несколькими источниками э.д.с., соединенными между собой последовательно или параллельно.

ЗАДАЧИ С ТЕХНИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫЕ ЯВЛЕНИЯ».

1. Какова индуктивность катушки, если при равномерном изменении в ней тока от 5 до 10 А за 0,1 с возникает ЭДС самоиндукции, равная 20 В?
2. Катушка индуктивностью 1 Гн включается на напряжение 20 В. Определить время, за которое сила тока в ней достигает 30 А.
3. В катушке сопротивлением 5 Ом течет ток 17 А. Индуктивность катушки 50 мГн. Каким будет напряжение на зажимах катушки, если ток в ней равномерно возрастает со скоростью 1000 А/с?
4. Какова индуктивность витка проволоки, если при силе тока 6 А создается магнитный поток 12·10^-3 Вб? Зависит ли индуктивность витка от силы тока в нем?

Ответы

1. 0,4Гн

1. 1,5с
2. 133 В
3. 2мГн

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ: «ЗАКОНЫ ВНЕШНЕГО ФОТОЭФФЕКТА. ИЗЛУЧЕНИЕ И ПОГЛОЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ»

1. Определить красную границу фотоэффекта дляплатины.
2. Найти работу выхода электрона с поверхности некоторого материала, если при облучении этого материала желтым светом скорость выбитых электронов равна 0,28*10⁶ м/с. Длина волны желтого света равна 590 нм.
3. Какой кинетической энергией обладают электроны, вырванные с поверхности меди, при облучении ее светом с частотой 6 * 10¹⁶ Гц?
4. Какой длины волны свет надо направить на поверхность цезия, чтобы максимальная скорость фотоэлектронов была 2 Мм/с?
5. Наибольшая длина волны света, при которой происходит фотоэффект длявольфрама, 0,275 мкм. Найти работу выхода электронов из вольфрама; наибольшую скорость электронов, вырываемых из вольфрама светом с длиной волны 0,18 мкм.

Ответы

1. 2,34*10^-7м
2. 3,02*10^-19 Дж
3. 3,93*10^-17 Дж
4. 94,4 нм
5. 7,2*10^-19 Дж; 9,1*10⁵ м/с