Методика решения задач молекулярной физики

Уравнением, характеризующим состояние идеального газа, является уравнение Менделеева–Клапейрона. Составив это уравнение для каждого из рассматриваемых состояний, газа и записав дополнительные условия в виде формул, можно сравнительно легко решить почти любую задачу на газы элементарного курса физики.
Однако этот метод решения в ряде случаев усложняет решение и приводит к лишним математическим выкладкам, мало поясняющим физическую сущность явления.
Учитывая это, задачи на расчет параметров состояния газов можно разделить на две основные группы.
К первой следует отнести такие задачи, где даны два или несколько состояний газа, в которых его масса остается неизменной (m = const) и к которым, следовательно, применимо уравнение объединенного газового закона:

Вторую группу составляют задачи, в условии которых дана масса газа или рассматриваются такие процессы, в которых масса газа изменяется. При решении этих задач пользоваться объединенным газовым законом нецелесообразно, более удобно применять уравнение Менделеева — Клапейрона:

Решение задач на нагревание и работу газа при изохорическом и изобарическом процессе основано на первом начале термодинамики и формулах:


Если по условию задачи даны два состояния газа и при переходе газа из одного состояния в другое его масса не меняется, то для решения задачи можно рекомендовать следующую последовательность:

1. Прочитав условие задачи, нужно ясно представить, какой газ участвует в том или ином процессе, и убедиться, что при изменении параметров состояния газа его масса не меняется.
2. Сделать, если это возможно, схематический чертеж и, отметив каждое состояние газа, указать параметры р, V, Т, характеризующие эти состояния. Определить из условия задачи, какой из этих трех параметров не меняется и какому газовому закону подчиняются переменные параметры.
   В общем случае могут изменяться все три параметра р, V и Т.
3. Записать уравнение объединенного газового закона Клапейрона для двух данных состояний. Если какой-либо параметр остается неизменным, уравнение автоматически переходит в одно из трех уравнений:
   закон Бойля —Мариотта, Гей-Люссака или Шарля.
   В тех случаях, когда газ заключен в цилиндрический сосуд и объем газа меняется только за счет изменения высоты его столба , но не сечения, уравнение Клапейрона нужно сразу записывать в виде:
   
4. Представить в развернутом виде параметры р ₁, V ₁, р ₂, V ₂ выразив их через заданные величины. Вполне естественно, что расшифровывать нужно только те параметры, которые заданы косвенно, но не те, что даны явно.
   Особое внимание здесь следует обратить на определение давления. Чтобы его найти, часто приходится использовать закон Паскаля: провести нулевой уровень через границу, отделяющую газ от жидкости, и записать уравнение равновесия жидкости.
5. Записать математически все вспомогательные условия и решить полученную систему уравнений относительно неизвестной величины.
   Если в задаче рассматривают процессы, связанные с изменением состояния двух или трех газов, отделенных друг от друга поршнями или входящих в состав смеси, то все указанные действия нужно проделать для каждого газа отдельно. ~
   В задачах на газовые законы рекомендуется пользоваться только абсолютной температурой и сразу же переводить значения температуры по шкале Цельсия в значения по шкале Кельвина.

Если по условию задачи дано только одно состояние газа и требуется определить какой-либо параметр этого состояния или же даны два состояния с разной массой газа, то рекомендуется поступать так:

1. Установить, какие газы участвуют в рассматриваемых процессах.
2. Для каждого состояния каждого газа (если их несколько) составить уравнение Менделеева — Клапейрона.
   Если дана смесь газов, то это уравнение записывают для каждого компонента. Связь между значениями давлений отдельных газов и результирующим давлением смеси устанавливается законом Дальтона.
3. Записать математически дополнительные условия задачи и решить полученную систему уравнений относительно искомой величины.
   В комбинированных задачах, где рассматривается движение сосуда с газом, уравнение газового состояния добавляют к уравнениям механики.

Решение задач термодинамики основано на уравнении закона сохранения и превращения энергии с учетом формул изменения внутренней энергии тел и некоторых уравнений механики. Умение правильно применять закон сохранения энергии к конкретным физическим процессам представляет основную трудность при решении задач на теплоту.
Особое внимание здесь нужно обратить на различие между количеством теплоты и изменением внутренней энергии и на выбор системы тел (или тела), для которой составляется основное уравнение.
Нередко возникают затруднения при числовых расчетах в задачах, связанных с превращением одного вида энергии в другой. Здесь нужно помнить, что в уравнении закона сохранения и превращения энергии (1):

все три величины количество теплоты Q, изменение внутренней энергии Δ U и работы А должны быть выражены в одних единицах.

Задачи об изменении внутренней энергии тел можно разделить на три группы.

В задачах первой группы рассматривают такие явления, где в изолированной системе при взаимодействии тел изменяется лишь их внутренняя энергия без совершения работы над внешней средой.
Одни из тел, участвующих в теплообмене, при этом охлаждаются, другие — нагреваются. Согласно закону сохранения и превращения энергии (1) для тел, внутренняя энергия которых уменьшается, можно записать:

поскольку ни сами тела, ни над телами работу не совершают (А = 0).

Аналогично для тел, энергия которых возрастает, мы получим:

Из определения понятия количества теплоты и закона сохранения энергии как следствие вытекает:

Перенеся все члены в левую часть равенства, уравнение (3) представим в ином виде:

или короче:

Последнее уравнение является очевидным следствием первого начала термодинамики — в изолированной системе тел, где происходят только процессы теплопередачи, внутренняя энергия системы не изменяется и, следовательно, алгебраическая сумма изменений энергии отдельных тел равна нулю.
Уравнение (3) называют уравнением теплового баланса, оно обычно служит основным расчетным соотношением для всех задач первой группы.

Правила решения задач первой группы:

1. Прочитав условие задачи, нужно установить, у каких тел внутренняя энергия уменьшается, у каких — возрастает.
   Особое внимание следует обращать на то, происходят ли в процессе теплообмена агрегатные превращения или нет.
2. Составить уравнения (2) для тел, энергия которых уменьшается, и (2') — для тел, энергия которых возрастает, и приравнять полученные суммы.
3. При записи уравнения теплового баланса в виде (3) нужно в выражении
   
   для изменения внутренней энергии всегда вычитать из большей температуры тела меньшую и суммировать все члены арифметически, если же уравнение записывается в виде (3'), необходимо вычитать из конечной температуры тела начальную и суммировать члены с учетом получающегося знака.
4. В ряде задач задается к.п.д. (η) — теплообмена; в этом случае его всегда нужно ставить сомножителем перед Q _отд.

В задачах второй группы рассматривают явления, связанные с превращением одного вида энергии в другой при взаимодействии двух тел. Результат такого взаимодействия — изменение внутренней энергий одного тела вследствие совершенной им или над ним работы. Теплообмен между телами здесь, как правило, не учитывают.
Уравнение закона сохранения и превращения энергии в этом случае имеет вид:

Решение задач второй группы удобно проводить по следующей схеме:

1. Анализируя условие задачи, нужно прежде всего установить, у какого из двух взаимодействующих тел изменяется внутренняя энергия и что является причиной этого изменения — работа, совершенная самим телом, или работа, совершенная над телом. Кроме того, следует убедиться, что в процессе взаимодействия тел теплота извне к ним не подводится, т.е. действительно ли Q = 0.
2. Записать уравнение (4) для тела, у которого изменяется внутренняя энергия, учтя знак перед А и КПД (η) рассматриваемого процесса. При записи уравнения (4) с учетом к.п.д. удобно воступать так. Если по смыслу задачи работа совершается за счет уменьшения внутренней энергии одного из тел и по каким-либо, причинам лишь часть ее идет на совершение работы А, то
   
   Если же из условия видно, что внутренняя энергия тела увеличивается за счет работы, совершенной над телом, и по каким-либо причинам лишь часть ее идет на увеличение U, то
   
3. Составив уравнение (4') или (4''), нужно найти выражение для А и Δ U.
   Для А возможно одно из следующих соотношений:
   
   Здесь F – сила, s – перемещение, N – мощность, τ – время выполнения работы,
   W – энергия.
4. Для Δ U чаще всего достаточно использовать одну из формул:
   
   Подставляя в исходное уравнение вместо А иΔ U их выражения, получим окончательное соотношение для определения искомой величины. Если в условиях задачи даются дополнительные условия, то к основному уравнению следует, как обычно, добавить вспомогательные.
5. Далее нужно выписать числовые значения известных величин, проверить число неизвестных в уравнениях и решить систему уравнений относительно искомой величины.

Задачи третьей группы объединяют в себе две предыдущие. В этих задачах рассматривают взаимодействие трех и более тел. В процессе такого взаимодействия к одному из тел подводится некоторое количество теплоты Q, в результате чего изменяется его внутренняя энергия и совершается работа.
Для решения этих задач надо составить полное уравнение закона сохранения и превращения энергии (1). Составление такого уравнения включает в себя приемы, описанные в предыдущих пунктах.

 

КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ: «СПОСОБЫ ПЕРЕДАЧИ ТЕПЛОТЫ. КОЛИЧЕСТВО ТЕПЛОТЫ»

1. В каком случае горячая вода в стакане охладится больше: если в него опустить серебряную или алюминиевую ложку той же массы?
2. Что эффективнее использовать в качестве грелки - 2 кг воды или 2 кг песка при той же температуре?
3. Почему железные печи скорее нагревают комнату, чем кирпичные, но не так долго остаются теплыми?
4. По куску свинца и куску стали такой же массы ударили молотком одинаковое число раз. Какой кусок нагрелся больше?

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ: «ПРЕВРАЩЕНИЕ ЭНЕРГИИ В ТЕПЛОВЫХ ПРОЦЕССАХ».

1. На сколько изменилась внутренняя энергия газа, который совершил работу 100 кДж, получив количество теплоты 135 кДж?
2. Над газом была совершена работа 75 кДж, при этом его внутренняя энергия увеличилась на 25 кДж. Получил или отдал тепло газ в этом процессе? Какое именно количество теплоты?
3. Какое количество теплоты нужно передать газу, чтобы его внутренняя энергия увеличилась на 45 кДж и при этом газ совершил работу 65 кДж?
4. Во время расширения газа, вызванного его нагреванием, в цилиндре с поперечным сечением 100 см² газу было передано количество теплоты 0,75 ·10⁵ Дж, причем давление газа оставалось постоянным и равным 1,5·10⁷ Па. На сколько изменилась внутренняя энергия газа, если поршень передвинулся на расстояние 40 см?
5. Для изобарного нагревания газа, количество вещества которого 800 моль, на 500 К ему сообщили количество теплоты 9,4 МДж. Определить работу газа и приращение его внутренней энергии.

 

Ответы

1. На 50 кДж

1. На 35 кДж
2. -50 кДж
3. 110 кДж
4. 3, 3 МДж

 

ЗАДАЧИ ПО ТЕМЕ: «ТЕПЛОВЫЕ ДВИГАТЕЛИ»

1. Каков КПД идеальной тепловой машины, если температура нагревателя равна 140 ^ОС, а температура холодильника 17 ^оС?
2. КПД идеального теплового двигателя 40%. Газ получил от нагревателя 5 кДж теплоты. Какое количество теплоты отдано холодильнику?
3. КПД идеальной паровой турбины 60%, температура нагревателя 480 ^оС. Какова температура холодильника?
4. В идеальной тепловой машине, КПД которой 30%, газ получил от нагревателя 10 кДж теплоты. Какова температура нагревателя, если температура холодильника 20 ^оС? Сколько джоулей теплоты машина отдала холодильнику?
5. Температура пара, поступающего в турбину, 227 ^оС, а температура холодильника 30 ^оС. Определите КПД турбины и количество теплоты, получаемой от нагревателя каждую секунду, если за это же время бесполезно теряется 12 кДж энергии.

 

Ответы

1. 30%

1. 3кДж
2. 301К
3. 419 К; 7000 Дж
4. 40%; 20000Дж

Методика решения задач по электростатике

1. ТИПИЧНЫЕ ЗАДАЧИ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ СОСТОЯТ В ТОМ, ЧТОБЫ:

а) По заданному распределению зарядов в пространстве найти созданное ими поле — вычислить напряженность и потенциал поля в произвольной точке, или, наоборот, зная характеристики поля, найти создающие его заряды.

б) По заданному расположению и форме проводников, зная потенциал каждого проводника или их общий заряд, найти распределение зарядов в проводниках и вычислить поля, создаваемые этими проводниками.

Иногда в эти задачи включают элементы механики, и задачи получаются комбинированными, однако главное внимание в них стараются уделять идеям электричества.

 

2. ЗАДАЧИ ПО ЭЛЕКТРОСТАТИКЕ В КУРСЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ФИЗИКИ УДОБНО РАЗДЕЛИТЬ НА ДВЕ ГРУППЫ.
Ко второму типу относятся все задачи о заряженных телах, размерами которых нельзя пренебречь.

Решение задач первой группы:

основано на применении законов механики с учетом закона Кулона и вытекающих из него следствий.

Такие задачи рекомендуется решать в следующем порядке:

• Расставить силы, действующие на точечный заряд, помещенный в электрическое поле, и записать для него уравнение равновесии или основное уравнение динамики материальной точки.
• Выразить силы электрического взаимодействия через заряды и поля и подставить эти выражения в исходное уравнение.

Если при взаимодействии заряженных тел между ними происходит перераспределение зарядов, к составленному уравнению добавляют уравнение закона сохранения зарядов.
Задачи на расчет полей, созданных точечными зарядами, заряженными сферами и плоскостями, — нахождение напряженности или потенциала в какой-либо точке пространства основаны на использовании формул для расчета этих величин.
Особое внимание следует обращать на векторный характер напряженности и помнить, что знак перед потенциалом φ определяется знаком заряда, создающего поле.

Вычисление работы, совершенной полем над точечным зарядом, а также энергии, которую приобретает заряд в результате действия сил поля, особых затруднений не представляет.
Эти величины могут быть найдены с помощью формул и уравнения закона сохранения и превращения энергии А = W ₁− W ₂.
Как и раньше, под W ₁ и W ₂ здесь можно понимать только полную механическую энергию заряженного тела, под А — работу внешних сил, к которым можно отнести и силы электрического поля.
Решение задач второй группы

основано на использовании формул для расчета энергии (работы) электрического поля и емкости заряженного конденсатора.

В задачах на систему заряженных тел (обычно плоских конденсаторов) необходимо установить тип соединения; выяснить, какие из конденсаторов соединены между собой последовательно, какие параллельно.

Точки с одинаковым потенциалом всегда есть в схемах, обладающих осью или плоскостью симметрии относительно точек подключения источника питания. Здесь можно различать два случая.

Если схема симметрична относительно оси (плоскости), проходящей через точки входа и выхода тока (имеется продольная плоскость симметрии), то точки одного потенциала находятся на концах симметричных сопротивлений, поскольку по ним идут одинаковые токи.

Если схема симметрична относительно оси (плоскости), перпендикулярной линии, на которой лежат точки входа и выхода тока — в схеме имеется поперечная ось (плоскость) симметрии, то одинаковым потенциалом обладают все точки, лежащие на пересечении этой оси (плоскости) с проводниками.

3. ПРИ РЕШЕНИИ ЗАДАЧ ЭЛЕКТРОСТАТИКИ И ОТВЕТАХ НА ОТДЕЛЬНЫЕ КАЧЕСТВЕННЫЕ ВОПРОСЫ ПОЛЕЗНО ИМЕТЬ В ВИДУ СЛЕДУЮЩЕЕ:

1. Положительные электрические заряды, предоставленные самим себе, движутся в электрическом поле от точек с большим потенциалом к точкам, где потенциал меньше. Отрицательные заряды перемещаются в обратном направлении.
2. Напряженность электрического поля внутри статически заряженного проводника равна нулю. Этот результат не зависит от того, наложено ли на проводник внешнее электрическое поле или нет. Потенциал всех точек, лежащих на проводнике, имеет при этом одинаковое значение, т.е. поверхность проводника является эквипотенциальной.
3. Потенциал земли и всех тел, соединенных проводником с землей, принимается равным нулю.
4. Работа сил электростатического поля по любому замкнутому контуру равна нулю.
5. Если два уединенных шара соединить тонким и длинным проводом, то их общая емкость будет равна сумме емкостей отдельных шаров, поскольку потенциалы шаров будут одинаковыми, а общий заряд системы равен сумме зарядов шаров.
   По этой же причине уединенный шар можно рассматривать как два конденсатора, соединенные между собой параллельно, с емкостями, равными .
6. Если конденсатор состоит из двух проводящих сфер радиусами R и r с общим центром (сферический конденсатор), то его емкость равна:
   
   где ε — диэлектрическая проницаемость среды, разделяющей сферы.
7. Электрическое поле заряженного конденсатора можно рассматривать как результат наложения двух полей, созданных каждой обкладкой конденсатора. Если поля, создаваемые обкладками плоского заряженного конденсатора, можно считать однородными, то напряженность поля в конденсаторе будет в 2 раза больше напряженности поля, создаваемое одной бесконечной заряженной плоскостью.
8. В плоском конденсаторе одну пластину можно рассматривать как тело с зарядом q, помещенное в однородное электрическое поле с напряженностью Е₁, созданное другой пластиной. Тогда со стороны первой пластины на вторую (и наоборот) будет действовать сила:
   
   Если плоский конденсатор подключить к источнику питания, зарядить его и затем отключить, то при изменении емкости С конденсатора вследствие раздвижения (сближения) или смещения пластин, внесения (удаления) диэлектрика заряд на конденсаторе не меняется.
   Что при этом происходит с величинами q, U, Е, F или W, устанавливают, анализируя формулы связи напряженности электрического поля с разностью потенциалов, определения емкости, емкости плоского конденсатора.
   В том случае, когда между пластинами конденсатора вставляют (или вынимают) незаряженную металлическую пластинку, не замыкающую конденсатор, область поля конденсатора уменьшается на величину объема этой пластинки. Все величины будут при этом изменяться точно так же, как если бы мы сближали (или раздвигали) обкладки. Если конденсатор подключен к источнику постоянного напряжения, то при всех указанных выше изменениях емкости конденсатора между его пластинками остается неизменным напряжение. Величины q, С, Е и F могут при этом меняться.
9. Если батарею конденсаторов, подключить к источнику напряжения и сообщить ей некоторый заряд, то алгебраическая сумма зарядов любой группы обкладок, изолированных от источника, всегда должна быть равна нулю, поскольку заряды в этой группе пластин разделяются вследствие индукции.
10. При расчете полей, возникающих в системе заряженное тело — незаряженная проводящая поверхность, удобно использовать метод зеркального изображения зарядов. Этот метод основан на следующем принципе:
    Если в электрическом поле заменить какую-либо эквипотенциальную поверхность проводником, имеющим потенциал и форму этой поверхности, то электрическое поле после такой замены останется прежним. Отсюда, в частности, следует, что при помещении точечного заряда вблизи бесконечной проводящей плоскости на последней заряды перераспределяются так, что электрическое поле между плоскостью и зарядом оказывается тождественным полю, создаваемому рассматриваемым зарядом и его зеркальным изображением в проводящей плоскости.

Памятка

1. Сделать рисунок с изображением взаимодействующих зарядов, заданных проводников, емкостей, полей;
2. При изображении электростатических полей обязательно использовать правила проведения силовых линий и эквипотенциальных поверхностей;
3. Помнить, что сила взаимодействия между зарядами рассчитывается по закону Кулона только в том случае, если заряды можно считать точечными;
4. Учитывать, в какой среде находятся заряды или создано электростатическое поле (если в условии задачи не указана среда, то подразумевается вакуум (ε = 1) или воздух, диэлектрическая проницаемость которого близка к единице);
5. Для нахождения величин зарядов после соприкосновения заряженных тел применять закон сохранения зарядов;
6. При действии на точечный заряд нескольких сил или полей использовать принцип суперпозиции (наложения);
7. Знать, что точечный заряд или система точечных зарядов будут в равновесии, если сумма всех сил, действующих на каждый заряд, равна нулю;
8. Расчет скоростей, энергий точечных зарядов или работы по их перемещению в неоднородных полях производить на основании закона сохранения энергии.

КАЧЕСТВЕННЫЕ ЗАДАЧИ С ТЕХНИЧЕСКИМ СОДЕРЖАНИЕМ ПО ТЕМЕ: «ЭЛЕКТРИЗАЦИЯ ТЕЛ».

1. Правильно ли выражение: «При трении создаются заряды»? Почему?

2. а) Что надо сделать, чтобы наэлектризовать металлический предмет, держа его в руке?

б) Как с помощью отрицательно заряженного металлического шарика зарядить положительно другой такой же шарик, не изменяя заряда первого шарика?

3. а) Можно ли на концах эбонитовой палочки получить одновременно два разноименных заряда? Как это сделать?

б) Как с помощью отрицательно заряженного металлического шарика зарядить отрицательно другой такой же шарик, не изменяя заряда первого шарика?

4. а) На тонкой шелковой нити висит заряженная бумажная гильза. Как узнать знак заряда гильзы, имея каучуковую расческу?

б) На тонких шелковых нитях подвешены две одинаковые легкие бумажные гильзы. Одна из них заряжена, а другая - нет. Как определить, какая из них заряжена?

5. Почему шарик, висящий на шелковой нити, притянувшись к наэлектризованному предмету, после соприкосновения с ним отскакивает?

6.а) Почему электризация при трении раньше всего была замечена на непроводящих электричество телах?

б) К легкой незаряженной станиолевой гильзе, подвешенной на шелковой нити, поднесли наэлектризованную стеклянную палочку и слегка коснулись гильзы пальцем руки. Что произойдет?